Elipse: Elementos, ecuación de la elipse y rectas tangente y normal

Elipse: Elementos, ecuación de la elipse y rectas tangente y normal

A continuación vamos a ver todo lo referente a la elipse. Veremos los elementos de la elipse, la ecuación de la elipse, la excentricidad, así como la ecuación de la recta tangente a la elipse en un punto. Todo ello, con ejercicios resueltos paso a paso.

¡Empezamos!

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Qué es una elipse

Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos del plano, cuya suma de distancias a dos puntos fijos (llamados focos) siempre es constante y es igual a 2a (donde 2a es la longitud del eje mayor de la elipse).

La distancia del punto P al punto F más la distancia del punto P al punto F’ es igual a la longitud del eje mayor (2a):

Elementos de la elipse

En la elipse se distinguen los siguientes elementos:

  • Focos: Son los puntos fijos F y F’
  • Los radio vectores de un punto P son los segmentos PF y PF’
  • El centro de la elipse es el punto O en el que se cortan los ejes.

  • Vértices: Son los puntos A, A’, B y B’
  • Eje mayor: Es el segmento AA’, cuya longitud es 2a
  • Eje menor: Es el segmento BB’, cuya longitud es 2b
  • Distancia focal: Es el segmento FF’, cuya longitud es 2c
  • Semieje mayor: Es la longitud “a”
  • Semieje menor: Es la longitud “b”
  • Semidistancia focal: Es la longitud “c”
  • Eje focal: Es la recta que pasa por los focos y por el eje mayor
  • Eje secundario: Es la mediatriz del segmento FF’

Relación entre las longitudes de los semiejes y la semidistancia focal

Las longitudes de los semiejes y la semidistancia focal están relacionadas.

En primer lugar, debemos saber que la distancia de los segmentos BF y BF’ es igual al valor de “a”:

Entre los puntos O, B y F se forma un triángulo rectángulo cuyos catetos son “b” y “c” y su hipotenusa es “a”:

Por tanto, las distancias “a”, “b” y “c” están relacionadas por el teorema de Pitágoras:

Excentricidad de la elipse

Las elipses pueden ser más redondeadas o más alargadas o achatadas. Esta característica de ser más o menos redondeada se mide con un número llamada excentricidad que es el cociente entre la semidistancia focal “c” y el semieje mayor “a”:

La excentricidad es un número comprendido entre 0 y 1.

Para un mismo valor de “a”, cuanto más se aproxima la excentricidad a 0, la elipse más se parece a una circunferencia:

De hecho, una elipse con excentricidad igual a 0 es una circunferencia.

Cuanto más se aproxima la excentricidad a 1, más achatada será la elipse, tendiendo a confundirse con el eje mayor:

Ecuación de la elipse con centro fuera del origen

No voy a demostrar cómo obtener la ecuación de una elipse. Tan sólo te voy a indicar que la ecuación de la elipse se obtiene a partir de la relación de que la suma de las distancias a un punto fijo es igual a 2a:

Calculando la distancia entre dos puntos a partir de la semidistancia focal, operando y reordenando términos se llega a la siguiente ecuación de la elipse:

Donde X0 e Y0 son las coordenadas del centro de la elipse, “a” es la longitud del semieje mayor y “b” es la longitud del semieje menor.

Ecuación de la elipse con centro en el origen

Si la elipse se encuentra en el origen de coordenadas, es decir, que X0 y Y0 son iguales a cero, entonces la ecuación de la elipse se queda de la siguiente forma:

Donde “a” es la longitud del semieje mayor y “b” es la longitud del semieje menor.

Si no nos especifican nada sobre las coordenadas del centro de la elipse, suponemos que la elipse se tiene su centro en el origen de coordenadas (0,0).

Ejercicios resueltos sobre la elipse

Ejercicio 1

Halla las coordenadas de los focos, las longitudes de los semiejes, las coordenadas de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses:

Empezamos con la primer elipse:

La ecuación de la elipse con el centro en el origen de coordenadas es la siguiente:

Por tanto, el denominador de la primera fracción es igual a a², de donde despejamos el valor de “a”:

Una vez sabemos el valor de “a”, podemos obtener las coordenadas de los vértices Ay A’:

Del denominador de la segunda fracción podemos obtener el valor de “b”, ya que es igual a b²:

Sabiendo el valor de “b”, las coordenadas de los vértices B y B’ son:

Por otro lado, la relación entre “a”, “b” y “c” es:

De donde podemos despejar c²:

Y como conocemos los valores de “a” y “b”, podemos calcular directamente el valor de “c”:

A partir del valor de “c”, obtenemos las coordenadas de los focos:

Por último calculamos su excentricidad:

Vamos con la segunda elipse:

En este caso no tenemos la ecuación de la misma forma que la ecuación de una elipse:

Por tanto, tenemos que transformarla para que tenga la misma forma.

En primer lugar, dividimos cada uno de los términos de la ecuación entre 108, para conseguir que en el segundo miembro tengamos un 1:

Al simplificar las fracciones nos queda:

Que ya tiene la forma de la ecuación de una elipse. Ahora procedemos igual que en apartado anterior.

A partir del denominador de la primera fracción obtenemos el valor de “a” y las coordenadas de los vértices A y A’:

A partir del denominador de la segunda fracción obtenemos el valor de “b” y las coordenadas de los vértices B y B’:

Con la relación entre “a”, “b” y “c”, despejamos “c” y calculamos su valor:

Con el valor de “c”, obtenemos las coordenadas de los focos:

Y por último calculamos su excentricidad:

Ejercicio 2

Halla las ecuaciones de las elipses que cumplan las condiciones siguientes:

a) Pasa por el punto (3,4) y su excentricidad es 3/5

b) Su semidistancia focal es 3 cm y el semieje menor 4 cm

c) Pasa por el punto (6,4) y el semieje mayor es 10 cm.

Apartado a:

Que la elipse pase por le punto (3,4), quiere decir que en ses punto, en la ecuación de la elipse x=3 e y=4:

Que operamos y nos queda:

Del dato de la excentricidad podemos despejar “c” en función de “a”:

En la relación entre “a”, “b” y “c”:

Sustituimos “c” por su valor en función de “a”:

Desarrollamos el cuadrado del paréntesis:

Y despejamos b², que nos queda en función de “a”:

Ese valor de b² lo sustituimos en la expresión donde que teníamos en función de a² y b²:

Y nos queda:

De donde despejamos el valor de a²:

Una vez tenemos el valor de a², lo sustituimos en la expresión donde despejamos b² y operamos:

Por tanto, la ecuación de la elipse es:

Apartado b:

Tenemos los siguientes datos:

En la relación entre “a”, “b” y “c”:

Sustituimos “b” y “c” por sus valores y obtenemos el valor de a²:

Ya podemos expresar la ecuación de la elipse, que queda:

Apartado c:

El punto (6,4) pertenece a la elipse, luego sustituimos x=6 e y=4 en la ecuación:

Y operamos:

Tenemos también el valor de “a”:

Que lo sustituimos en la expresión anterior:

Y despejamos b²:

Con los valores de a² y b² ya tenemos la ecuación de la elipse:

Ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la elipse en un punto

Vamos a ver ahora cómo calcular la ecuación de la recta tangente a la elipse en un punto y la ecuación de la recta normal.

Recta tangente a la elipse

La recta tangente es aquella que toca a la elipse en un punto:

La ecuación de la recta tangente a la elipse en un punto es la siguiente:

Donde X0 e Y0 son las coordenadas del punto, “a” es la longitud del semieje mayor y “b” la longitud del semieje menor.

Recta normal a la elipse

La recta normal a la elipse en un punto es perpendicular a la recta tangente:

La ecuación de la recta normal a la elipse en un punto es:

Donde X0 e Y0 son las coordenadas del punto, “a” es la longitud del semieje mayor y “b” la longitud del semieje menor.

Vamos a resolver un ejercicio pasa saber cómo aplicar estas dos fórmulas:

Ejercicio resuelto

Halla las ecuaciones de la tangente y la normal a la siguiente elipse en el punto de abcisa x=3, teniendo en cuenta que el punto se encuentra en el primer cuadrante de los ejes de coordenadas:

En primer lugar debemos obtener las coordenadas del punto. Tenemos la coordenada x y hay que calcular la coordenada “y”. Para ello sustituimos x por 3 en la ecuación de la elipse:

Y despejamos “y”:

Resultan dos valores de “y”, uno positivo y otro negativo. Nos quedamos con el positivo, ya que el enunciado nos indica que el punto está en el primer cuadrante, luego las coordenadas del punto son:

La fórmula de la ecuación de la recta tangente a una elipse es:

Sustituimos X0 e Y0 por las coordenadas del punto y “a²” y “b²” por sus valores en la ecuación de la elipse:

Operamos:

Y obtenemos la ecuación de la recta tangente.

Vamos ahora a calcular la ecuación de la recta normal, cuya fórmula es:

Sustituimos X0, Y0, “a” y “b” por sus valores:

Y operamos:

Obteniendo la ecuación de la recta normal.

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