A continuación vamos a ver qué son las funciones definidas a trozos, cómo representarlas, así como obtener su dominio y su imagen, con ejercicios resueltos paso a paso.
Para entender muy bien esta lección, debes saber cómo representar funciones de primer grado, cómo representar funciones de segundo grado, qué es el valor de una función, cómo obtener el dominio de una función y cómo obtener su imagen. Todos estos conceptos los tienes explicados en el Curso de Funciones.
¡Empezamos!
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Qué son las funciones definidas a trozos
Una función a trozos es un tipo de función que necesita dos o más expresiones para poder definirla. Cada expresión corresponde a una parte de la función (o a un trozo de función) y existe solamente para un determinado intervalo de valores de x, como por ejemplo:
Valor de la función en funciones definidas a trozos
Para cualquier valor de x que sea menor que -1, la función quedaría definida por el primer tramo:
Si queremos calcular el valor de la función para x=-5, que es menor que -1, sustituimos la x por -5 en este tramo. En este caso, como esta parte de la función es constante, cualquier valor de x menor que -1 sería igual a 3 (ya que no hay ninguna x para sustituir):
Para cualquier valor de x que sea mayor o igual que -1 y menor que 1, la función queda definida por el segundo tramo:
Por ejemplo, si queremos calcular el valor de la función cuando x=0, tendríamos que sustituir la x por 0 en este segundo tramo, ya que 0 perteneces a este rango de valores de x:
¿Que tramo tendríamos que utilizar para calcular el valor de la función cuando x=-1? ¿El primero o el segundo?
x=-1 es un punto crítico. Los puntos críticos son los puntos donde la función cambia de tramo.
El primer tramo está definido para los valores de x menores que -1, no iguales y el segundo tramo para los valores de x mayores o iguales a -1, por tanto, para calcular el valor de la función en x=-1, tendríamos que sustituir la x por -1 en el segundo tramo:
Para los puntos críticos, se elige siempre el tramo donde el intervalo tiene el signo «mayor o igual» o «menor o igual». Si ninguno de los tramos tuviera el signo igual, entonces la función no existe en ese punto.
Para cualquier valor de x que sea mayor o igual que 1, la función queda definida por el tercer tramo:
Por tanto, si por ejemplo queremos calcular el valor de la función cuando x=3, que es mayor que 1, tendríamos que sustituir la x por 3 en el tercer tramo:
También puedes encontrar los intervalos de las funciones definidas a trozos expresados con esta otra nomenclatura:
Donde el intervalo que sea cerrado por la izquierda o por la derecha es al que pertenece cada punto crítico. Puedes saber más sobre intervalos en esta lección.
Cómo representar una función definida a trozos
Para representar una función definida a trozos debemos representar cada uno de los tramos, teniendo en cuenta los puntos críticos que pertenezcan o no pertenezcan a cada intervalo.
Vamos a ver a representar la función definida a trozos del ejemplo anterior:
Empezamos representando el primer trozo:
En este caso es una función constante, que siempre vale 3. Aun así, vamos a darle dos puntos igual que hacemos al representar una recta, para que veas cómo funciona. Los puntos que podemos darle a la x deben ser menores que -1.
Le vamos a dar a x los valores -2 y -1. Aunque x=-1 no pertenece a este intervalo, la recta sí llega a este punto. Por tanto, le damos este valor, pero en la tabla de valores indicamos que no pertenece. La tabla queda de la siguiente forma:
A la hora de representar este tramos en los ejes de coordenadas, el punto -1, que no pertenece al tramo, lo representamos como un punto hueco, lo que quiere decir, que es un punto vacío y la función no existe en ese punto:
Seguimos representando el segundo tramo:
Este tramo se trata de una recta. Para representar una recta solamente necesitamos 2 puntos y esos 2 puntos deben estar ser mayores o iguales que -1 y menores que 1.
Una vez más, voy a darle a la x los valores -1 y 1 que son los puntos críticos de este intervalo. x=-1 sí pertenece al intervalo pero x=1 no pertenece, por lo que lo dejo indicado en la tabla de valores:
A la hora de representar este tramo, como x=-1 sí que pertenece al tramo, el punto (-1,3) lo represento como un punto relleno, en este caso de color azul, que es el del segundo tramo. En x=1, el punto (1,-1) queda hueco al no pertenecer al intervalo:
Por último representamos el tercer tramo:
La tabla de valores queda de la siguiente forma, donde indicamos que esta vez x=1 sí pertenece al intervalo de valores de x:
En x=1, el punto (1,1) queda relleno de color verde, ya que es el color del tercer tramo:
Vemos gráficamente que f(1) es igual a 1, que es donde el punto está relleno. Analíticamente puedes comprobar que da el mismo resultado, ya que x=1 pertenece al tercer tramo:
Dominio de una función definida a trozos
El dominio de una función definida a trozos será el resultado de la unión de los dominios de cada tramo, teniendo en cuenta también la existencia de la función en los puntos críticos.
Por ejemplo, en la función definida a trozos del ejemplo anterior:
El domino de cada tramo es el conjunto de valores de x para los que existe cada tramo.
El dominio del primer tramo es:
Si no estuviera restringido por la condición de si x<-1, el domino de este tramo sería todo R, pero de esta forma, los valores para los que existe la función son desde menos infinito hasta -1 sin incluirlo.
El dominio del segundo tramo lo obtenemos de la misma forma y nos da:
El dominio del tercer tramo es:
El domino de la función es la unión de los dominios de cada tramo:
Para realizar la unión de los dominios vamos a ir representándolos en la recta real.Si representamos en la recta real el primer dominio queda:
Si a este dominio, le sumamos el dominio del segundo tramo queda:
Y finalmente, a estos dominios le sumamos el domino del tercer tramo:
Toda la recta queda cubierta, por lo que el dominio de la función es todo R:
También podemos obtener el dominio a partir de la representación gráfica de la función, observando que la función existe para todos los valores de x.
Vamos a ver otro ejemplo. Obtener el dominio de la siguiente función:
El primer tramo, por un lado, existe si el denominador es distinto de cero, es decir si x es distinto de cero. Por otro lado, existe en el intervalo que va desde menos infinito hasta 3, sin incluirlo, por tanto su dominio es:
El dominio del segundo tramo es:
El dominio de la función es la unión de todos los dominios:
Si representamos todos los dominios en la recta queda:
Por lo que el dominio de esta función definida a trozos es todo R menos el 0 y el 3:
Imagen de una función definida a trozos
Vamos a ver ahora cómo obtener la imagen de una función definida a trozos.
La forma más fácil es obtener la imagen después de representar la función en los ejes de coordenadas.
Vamos a ver un ejemplo. Vamos a obtener la imagen de la función de los ejemplos anteriores:
Cuya representación en los ejes es:
La imagen del primer tramo es:
La imagen del segundo tramo es:
La imagen del tercer tramo es:
La imagen de la función es la unión de todas las imágenes:
Es decir, la imagen de la función es desde y=-1, sin incluirlo, hasta infinito:
Ejercicios resueltos de funciones definidas a trozos
Vamos a resolver unos ejercicios sobre funciones definidas a trozos para aplicar todo lo aprendido
Ejercicio resuelto 1
Representa la siguiente función definida a trozos y halla su dominio y su imagen:
Representamos la función y queda:
El dominio del primer tramo es:
El dominio del segundo tramo es:
El dominio del tercer tramo es:
El dominio de la función es la suma de todos los dominios:
Que es igual a:
La imagen de la función la obtenemos a partir de la gráfica y queda:
Ejercicio resuelto 2
Representa la siguiente función definida a trozos y halla su dominio y su imagen:
Empezamos representando la función.
La tabla de valores del primer tramo, indicando el punto que no pertenece al tramo es:
Para el segundo tramo, al ser una función de segundo grado, previamente obtenemos su vértice, que es:
La tabla de valores del segundo tramo, indicando el punto que no pertenece al tramo es:
La función representada queda:
Observando al gráfica, el domino es:
Y su imagen:
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