Inecuaciones de segundo grado. Ejercicios resueltos paso a paso.

Inecuaciones de segundo grado. Ejercicios resueltos paso a paso.

Voy a explicarte cómo resolver inecuaciones de segundo grado con una incógnita, con ejercicios resueltos paso a paso.

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Tramos positivos y negativos en las funciones de segundo grado

Para entender la resolución de las inecuaciones de segundo grado, es importante que comprendas perfectamente cómo funciona una ecuación de segundo grado, que es lo que te voy a explicar ahora.

Si representas una ecuación de segundo grado en los ejes de coordenadas, es una parábola que puede estar con el vértice apuntando hacia abajo:

inecuaciones de segundo grado

O con el vértice apuntando hacia arriba:

inecuaciones de segundo grado definicion

Los dos puntos donde la función corta al eje x, son las dos soluciones que obtenemos cuando resolvemos una ecuación de segundo grado, es decir, cuando la igualamos a 0.

Por tanto, quiere decir, que en esos dos puntos, la función vale 0.

Por otro lado, la parte de la función que queda por encima del eje x, tiene un valor mayor que cero (la función es positiva) y las partes que queden por debajo del eje x, la función tendrá un valor menor que cero (la función es negativa).

Vamos a aprender a interpretar esto mejor con un ejemplo: ¿En qué tramos es positiva o negativa la siguiente función?

inecuaciones de segundo grado formula

Pues vamos a verlo.

En primer lugar igualamos la función a cero:

inecuaciones de segundo grado paso a paso

Y resolvemos la ecuación de segundo grado que nos queda, obteniendo dos soluciones:

inecuaciones de segundo grado resueltos

Como te he indicado antes, esas dos soluciones corresponden a los puntos donde la función corta al eje x:

inecuaciones de segundo grado representacion grafica

Y en esos dos puntos, la función vale cero (los valores de “y” son igual a 0)

La zona de la gráfica donde la función está por encima del eje x, la función es positiva. Es decir, para los valores de x menores que 2 y mayores que 4, el valor de la función será positivo:

inecuaciones de segundo grado completas

Además, la función es negativa entre x=2 y x=4, ya que la gráfica de la función queda por debajo del eje x:

inecuaciones de segundo grado metodo analitico

Por tanto, debes quedarte con que una función de segundo grado, tiene tramos positivos y negativos, dependiendo de los valores de x.

¿Es necesario dibujar la función de segundo grado para saber si es positiva o negativa?

Afortunadamente no.

Existe un procedimiento, que te lo voy a explicar al mismo tiempo que te explico cómo se resuelven las inecuaciones de segundo grado.

Como resolver inecuaciones de segundo grado con una incógnita. Ejercicio resuelto.

Vamos a resolver la siguiente inecuación de segundo grado:

aprender inecuaciones de segundo grado

En este caso, resolver esta inecuación de segundo grado es determinar los rangos de valores de x en los que la función es mayor o igual a 0

Si al otro lado de la desigualdad no tenemos un 0, debemos pasar todos los términos al primer miembro de la desigualdad. (Esto lo explico más a fondo en el curso de inecuaciones)

Por tanto, lo primero que debemos saber qué puntos de x, hacen 0 esa función, por lo que, igual que antes, igualamos la función a 0:

inecuaciones de segundo grado 1o bachillerato

Y resolvemos la ecuación de segundo grado que nos queda, obteniendo dos soluciones:

inecuaciones de segundo grado 1 bachillerato

Estas dos soluciones las representamos en la recta numérica:

inecuaciones de segundo grado con una incognita

Nos ha quedado la recta dividida en 3 tramos. Ahora debemos saber en qué tramo la función es positiva o negativa.

Para saber si el tramo que está a la izquierda de 2 es positivo o negativo, le damos un valor a la x que esté a la izquierda de 2 en la recta, por ejemplo el 0 y vemos su resultado

Cuando x=0:

inecuaciones de segundo grado concepto

El resultado es 8, por lo que la función es positiva.

Para el tramo central, le damos un valor a la x que esté entre 2 y 4, por ejemplo el 3:

Para x=3:

inecuaciones de segundo grado cuadraticas

El resultado es -1, por lo que la función es negativa.

Y para el tramo de la derecha le damos a la x un valor que quede a la derecha de 4. Por ejemplo el 5. Para x=5:

inecuaciones de segundo grado de secundaria

La función vuelve a quedar positiva.

Representamos en la recta, qué tramos son positivos y cuales negativos

inecuaciones de segundo grado ejercicios resueltos

Esta recta es equivalente a cuando teníamos la parábola, con el vértice apuntando hacia abajo, donde la parte que quedaba entre 2 y 4 era negativa y las otra dos partes positivas:

inecuacion de segundo grado ejemplos

Por tanto, volviendo nuestra inecuación de segundo grado:

inecuaciones de segundo grado faciles

Esa función será positiva en los valores de x que sean menores o iguales que 2 y mayores o iguales que 4:

resolucion de inecuaciones de segundo grado

Por tanto, la solución será la unión de esos dos intervalos:

ejercicios de inecuaciones de segundo grado faciles

Hemos resuelto un ejemplo de inecuación de segundo grado con la desigualdad de “mayor o igual”. En otras inecuaciones de segundo grado habrá con desigualdades “menor o igual que”, “mayor que” o “menor que” habrá que encontrar en cada caso los intervalos que cumplan esas condiciones. Si quieres cada caso explicado paso a paso, sólo tienes que suscribirte y acceder al curso de inecuaciones.

También tienes explicado cómo resolver las inecuaciones de segundo grado incompletas.

Ejercicios propuestos

Resuelve las siguientes inecuaciones:

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