Cómo resolver ecuaciones de segundo grado completas. Soluciones

A continuación vamos a explicar los pasos básicos para que aprendas cómo resolver ecuaciones de segundo grado completas. Las ecuaciones de segundo grado también se conocen como ecuaciones cuadráticas.

Si quieres aprenderlo todo sobre las ecuaciones de segundo grado, te recomiendo el Curso de Ecuaciones de Segundo Grado. Con ejercicios resueltos y ejercicios propuestos con la solución para que practiques.

¿Quieres aprender a resolver todas las ecuaciones de segundo grado sin ayuda? ¿No sabes muy bien cómo llegar a la solución? Con el Curso de Ecuaciones de Segundo Grado aprenderás paso a paso cómo resolver todas las ecuaciones de segundo grado: completas, incompletas, con paréntesis, denominadores…

Si has llegado hasta aquí es porque seguramente hay algún ejercicio que no sabes resolver. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Ecuaciones de segundo grado completas.

En general, las ecuaciones de segundo grado son aquellas donde la x aparece elevada a 2 en alguno de sus términos.

Pueden ser ecuaciones de segundo grado completas o incompletas, en función de si tienen todos su términos o no. Aquí me voy a centrar en explicarte las ecuaciones de segundo grado completas.

Qué son las ecuaciones de segundo grado completas.

Las ecuaciones de segundo grado completas o ecuaciones cuadráticas son las que se representan de la siguiente forma:

1 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS

Donde a, b y c son las constantes de la ecuación:

  • a es el número que va siempre delante de x al cuadrado.
  • b es el número que va siempre delante de la x.
  • c es el número.

Es decir, las ecuaciones de segundo grado completas son las que tienen término con x elevada a 2, término con x elevada a 1 (o simplemente la x). Si faltara alguno de estos términos, estaríamos hablando de ecuaciones de segundo grado incompletas, que se resuelven con otro procedimiento distinto.

En la primera lección del curso de ecuaciones de segundo grado, comento más detalladamente cómo reconocer una ecuación de segundo grado

Al ser ecuaciones de segundo grado, tienen 2 soluciones. Recuerda que el grado de una ecuación es igual al número de soluciones.

Cómo Resolver Ecuaciones de Segundo Grado Completas.

Identificación de Constantes.

El primer paso para resolver ecuaciones de primer grado completas es identificar las constantes correctamente. Como hemos dicho antes, las constantes son los números que van delante de x al cuadrado, x y el término que no lleva x.

Vamos a verlo en un ejemplo:

2 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS

En este caso, delante de x al cuadrado, no hay nada, por tanto a = 1.

Delante de x hay un 5, por lo que b=5.

Y el término que no lleva x es un 4, por lo que c=4.

Recuerda que cuando no hay nada delante de las incógnitas, es porque están multiplicadas por 1, o en otras palabras, equivale a que haya un 1 delante. En el curso de cómo resolver ecuaciones de segundo grado, se explica paso a paso cómo hacerlo para que no te equivoques.

Veamos otro ejemplo:3 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS

Ahora, si nos damos cuenta, la ecuación es ligeramente diferente, pero que es causa de muchos errores si no estamos atentos. Veamos por qué:

En la forma general no hay ningún signo menos:

1 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS

Por tanto, debemos de transfomar nuestra ecuación para que esté de la misma forma que la forma general de las ecuaciones de segundo grado completas:

4 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS

Ahora ya la tenemos de la misma forma, donde no aparece ningún signo menos y entonces a, b y c se obtiene igual que en el primer caso:

5 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS

Cuando tengamos más práctica, identificaremos las constantes directamente, sin necesidad de transformar nuestra ecuación, pero para empezar es una muy buena forma de evitar errores.

Resolución de las ecuaciones de segundo grado completas.

Una vez identificadas las constantes, para resolver las ecuaciones de segundo grado completas hay que aplicar la siguiente fórmula:

resolución de ecuaciones de segundo grado completas

Vamos a ver como se utiliza, resolviendo los ejemplos anteriores:

Tenemos la primera ecuación de segundo grado, en la que hemos identificado las constantes:

2 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS

Ahora, tenemos que sustituir el valor de cada constate en la fórmula general:

7 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS

Y ahora operamos, dentro de la raiz, teniendo en cuenta la jerarquía de operaciones:

8 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS

Llegados a este punto, tenemos que resolver por un lado el signo + y por el otro el signo – :

9 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO COMPLETAS

Luego las dos soluciones sería -1 y -4. Si tuviéramos el caso de que las fracciones no fueran exactas, habría que simplificarlas.

Mucho cuidado con los signos – de las constantes. En el curso de cómo resolver ecuaciones de segundo grado, explico más detalladamente cómo resolver paso a paso cuando se nos presenta este caso. Es una de las causas de que no llegar al resultado correcto.

Existen casos particulares donde el resultado de la raíz es negativo, o que sus soluciones no son exactas o bien el resultado de la raíz no es exacto.

Soluciones de una Ecuación de Segundo Grado con Soluciones en forma de Raíz

Las soluciones de una ecuación de segundo grado no tienen por qué ser dos números enteros distintos. En algunos casos, pueden tener una solución doble o tener dos soluciones complejas.

Muchas veces cuando las soluciones no son enteras, empiezas a dudar si tu solución es correcta o no.

Y ahora, vamos a ver cómo pueden ser las soluciones de una ecuación de segundo grado.

Nos encontramos con este caso cuando la raíz no tiene una solución entera. Como norma general, se dejará en forma de raíz para no tener que operar con decimales, aunque si estamos resolviendo un problema y se necesita el resultado exacto, no tendremos más remedio que resolver la raíz cuadrada con la calculadora

Por ejemplo, tenemos la siguiente ecuación de segundo grado:

soluciones de una ecuación de segundo grado

El primer paso es resolver la ecuación de segundo grado mediante la fórmula general:

soluciones de una ecuación de segundo grado

Llegados a este punto, vemos que la raíz de 5 no tiene solución exacta. Por tanto, matemáticamente, se deja en forma de raíz:

soluciones de una ecuación de segundo grado

No es obligatorio dejarlo en forma de raíz, pero es más cómodo dejarlo así, para no tener que arrastrar decimales. El resultado podría darse con decimales y estaría igual de correcto. Ocurre lo mismo que con las fracciones, que cuando un resultado no da exacto, se deja en forma de fracción.

Soluciones de una Ecuación de Segundo Grado con una Solución Doble.

Cuando estamos resolviendo una ecuación de segundo grado y el resultado de la raíz o el discriminante es 0, se dice que tenemos una solución doble, ya que vamos a tener la misma solución repetida 2 veces. Veamos cómo actuar en este caso:

soluciones de una ecuación de segundo grado

Como a priori no sabemos cómo van a ser las soluciones, resolvemos la ecuación como cualquier otra: soluciones de una ecuación de segundo grado Al llegar a esta parte de la resolución,vemos el resultado de la raíz es 0.

Un grave error es dejar solamente 1 solución. Esto nunca lo hagáis porque estaréis suspensos directamente. Lo que se hace en estos casos es trabajar con el 0:

soluciones de una ecuación de segundo grado

Se resuelve siguiendo el procedimiento habitual, aunque parezca obvio sumar y restar 0, pero es una buena forma de llegar a las 2 soluciones.

Otra forma de indicar las soluciones es desarrollar la fórmula general hasta el final, llegar a una solución pero indicar con letra de que se trata de una solución doble.

Ecuaciones de Segundo Grado con Soluciones Complejas

Nos encontramos con este caso cuando en la fórmula general, el discriminante o el resultado de la raíz es negativo. 

Si aún no has estudiado los números complejos, al llegar a raíz negativa debes poner lo siguiente:

No tiene solución real 

Esa frase equivale a decir, que dentro del conjunto de los números reales, no tiene ninguna solución (la solución se encuentra en el conjunto de los números complejos).

Vamos a verlo con un ejemplo:

soluciones de una ecuación de segundo grado

soluciones de una ecuación de segundo grado

Es decir, en cuanto vemos la raíz con un contenido negativo, directamente indicamos que no tiene solución real y ya está. Es importante no olvidad la palabra real, porque si se indica simplemente “no tiene solución”, no estará correcto, ya que sí que tiene solución, pero no en el conjunto de los números reales.

Por otro lado, si ya has estudiado los números complejos, tienes que desarrollar la ecuación hasta encontrar las soluciones complejas. Es decir, debes sustituir la raíz de -1 por el número i:

soluciones ecuación segundo grado 8 soluciones ecuación segundo grado 9

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