A continuación te voy a explicar cómo resolver integrales definidas a las que necesitamos realizar un cambio de variable para resolverlas, con ejercicios resueltos paso a paso.
¡Empezamos!
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Cómo hacer integrales definidas con cambio de variable
Para resolver una integral definida con cambio de variable, además de expresar la función f(x) y dx en función de t (f(t) y dt) también debemos expresar los límites de integración en función de t, ya que están expresados en función de x:
Se suelen realiza cambios de variable cuando aparecen funciones trigonométricas o en integrales con radicales que se resuelven con sustituciones trigonométricas.
Es más fácil cambiar los límites de integración en función de t, que volver a deshacer el cambio de variable y dejarlo todo de nuevo en función de x, ya que a veces tenemos funciones trigonométricas que nos dificultan este último paso.
Si aparecen funciones trigonométricas en la solución de la integral, acuérdate que debes tener la calculadora en radianes para sustituir por los límites de integración.
Ejemplo de integrales definidas con cambio de variable
Vamos a ver un ejemplo de cómo resolver una integral definida en la que tengamos que realizar un cambio de variable.
Tenemos la siguiente integral:
Se trata de una integral con radicales, que para resolverla, realizamos el cambio de variable:
Derivamos ambos miembros para obtener la equivalencia de dx en función de t:
También despejamos t en función de x:
Por último, expresamos los límites de integración en función de t:
Sustituimos por sus correspondientes expresiones en función de t y operamos. No te olvides de sustituir también los límites de integración:
Tenemos una integral racional donde el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.
Realizando la división de polinomios nos queda:
Escribimos la integral como la suma de las integrales de los términos obtenidos:
Sacamos fuera las constantes:
Y resolvemos aplicando las fórmulas de las integrales inmediatas :
Aplicamos la regla de Barrow:
Y finalmente operamos para obtener el resultado del área buscada:
Ejercicio resuelto de integrales definidas con cambio de variable
Calcula el área limitada por la parábola x=√2x², la circunferencia x²+y²=1 y el eje OX que aparece rayada en la figura:
Empezamos despejando «y» de la fórmula de la circunferencia para convertirla en una función:
Calculamos el punto de corte de la función de la circunferencia y la parábola resolviendo el sistema que forman ambas ecuaciones:
Tenemos la «y» despejada en ambas ecuaciones, por lo que igualamos los segundos miembros de cada ecuación. Nos queda una ecuación con radicales:
Elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar los radicales:
Operamos:
Reordenamos términos. Nos ha quedado una ecuación bicuadrada:
Aplicaremos el siguiente cambio de variable:
Nos queda:
Resolvemos t:
Nos quedamos solo con el primer resultado, ya que con el segundo obtenemos soluciones complejas:
Ahora despejamos x en función de t:
Por un lado tenemos:
Que racionalizando se nos queda:
Hacemos lo mismo con el otro resultado:
Como el área que queremos calcular está entre x=0 y x=1, nos quedamos sólo con la solución positiva:
Ahora, en la segunda ecuación del sistema:
Sustuimos x por su valor y operamos:
El punto de corte es:
Lo indicamos en la gráfica:
El área a calcular lo podemos dividir en dos partes: S1, que es el área encerrada entre la parábola y el eje OX, desde x=0 hasta x=√2/2 y S2, que es el área encerrada entre la circunferencia y el eje OX y va desde x=√2/2 hasta x=1:
Expresamos cada área con su correspondiente integral:
Vamos a resolver por separado cada integral.
Empezamos por S1:
Sacamos fuera la constante:
Resolvemos la integral:
Aplicamos la regla de Barrow y operamos:
Seguimos con el área S2:
Esta integral se trata de una integral de una función irracional que se resuelve mediante la siguiente sustitución trigonométrica:
Donde por un lado, derivamos en ambos miembros, para obtener la equivalencia de dx:
Y por otro, despejamos t:
Al realizar el cambio de variable en la función a integrar, también tenemos que cambiar los límites de integración y expresarlos en función de t (muy importante que la calculadora esté en radianes):
La nueva integral con los límites de integración en función de t nos queda:
Para resolverla vamos a aplicar algunnos cambios trigonométricos.
A partir del teorema fundamental de trigonometría:
Despejamos cos t:
Sustituimos el radical que tenemos en la integral por cos t y operamos:
Para poder resolver la integral que nos queda, realizamos este otro cambio trigonométrico:
Realizamos la sustitución en nuestra integral:
Separamos la integral como una suma de integrales, una por cada sumando del numerador, manteniendo el denominador:
Sacamos fuera las constantes:
Integramos cada una de las integrales:
Aplicamos la regla de Barrow:
Y operamos para obtener la supercie de S2:
Por tanto, la superficie total del área sombreada que nos pide el ejercicio es:
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