Integrales racionales: Grado numerador mayor o igual que denominador

A continuación te voy a explicar cómo resolver integrales racionales cuando el grado del numerador es igual o mayor que el grado del denominador:

¡Vamos allá!

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Cómo resolver integrales racionales cuando el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador

Te voy a explicar cómo se resuelven las integrales racionales cuando el grado del numerador es igual o mayor que el grado del denominador al mismo tiempo que realizamos un ejemplo paso a paso.

Tenemos la siguiente integral:

Vemos que no se puede integrar mediante integrales inmediatas ni por partes.

Se trata de una integral racional donde el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.

En este caso, el primer paso que hay que realizar es la división de polinomios mediante el método general:

En cualquier división, el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto. En nuestro caso, con polinomios, quedaría de la siguiente manera:

Si en esta última expresión, divido los términos de ambos miembros entre el divisor me queda:

Operando en el primer término del segundo miembro, vemos que Q(x) se anula y finalmente queda:

Con lo que hemos obtenido una nueva forma de expresar una función racional a partir de los elementos de su división, que está formada por dos términos, uno de los cuales corresponde a una nueva fracción, donde el grado del numerador  es menor que el grado del denominador, que es lo que queremos buscar (un poco más abajo sabrás por qué).

En nuestro caso, los polinomios correspondientes al dividendo, el divisor, el cociente y el resto son:

Y aplicando la fórmula anterior, nuestra función racional nos queda de la siguiente forma:

Por lo que podemos expresar la integral racional como la suma de las integrales de los dos términos que acabamos de obtener:

La primer integral la podemos resolver fácilmente mediante la aplicación de las fórmula de integrales inmediatas y la segunda integral, se trata de una integral racional, pero con el grado del numerador menor que el grado del denominador, que se resolverá con su método de integración correspondiente en función de sus raíces y de ahí que hayamos expresado la función racional en función de los elementos de su división.

Vamos a empezar con la primera integral. En primer lugar la dividimos como una suma y resta de integrales y sacamos fuera las constantes:

Ahora cada una de estas integrales las resolvemos mediante la aplicación de la fórmula de la integral inmediata de una función potencial:

Ahora vamos con la segunda integral, que la resolveremos a parte y luego añadiremos el resultado a la solución final:

Se trata de una integral racional donde el grado del numerador es menor que el grado del denominador y no puede resolverse ni por la aplicación de fórmula de integrales inmediatas ni por partes. Por tanto, el siguiente paso es identificar cómo son las raíces del denominador.

Para ello, descomponemos el denominador:

Vemos que tiene dos raíces reales distintas, por tanto, aplicamos el método de integración para este caso, que lo tienes explicado paso a paso en esta lección.

Lo hacemos aquí brevemente.

Descomponemos la función racional en fracciones simples, donde el denominador de cada fracción simple corresponde con cada factor del denominador de la función racional y los numeradores corresponden a constantes, las cuales, tenemos que calcular su valor:

Para ello, sumamos ambas fracciones reduciendo a denominador común:

Y después igualamos el numerador de la función racional con el numerador que de la fracción que acabamos de obtener:

Utilizamos esta última ecuación para obtener los valores de A y de B, para lo cual, le damos valores a x, que serán los correspondientes a las raíces del denominador.

Para x=2, sustituimos la x por 2 y nos queda:

Para x=-2, sustituimos la x por -2 y nos queda:

Expresamos la integral como la suma de las integrales de las fracciones simples que acabamos de calcular:

Sacamos fuera las constantes de cada integral:

Y finalmente resolvemos cada una aplicando la fórmula de la integral inmediata de una función logarítmica:

Recuerda, que estamos resolviendo esta integral:

Y que nos habíamos quedado antes en este punto:

Bien. Ahora sustituimos la integral racional por su resultado y obteniendo la solución final de la integral original:

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Ejercicio resuelto de integrales racionales con el mismo grado en el numerador y en el denominador

El procedimiento para resolver una integral con el grado del numerador igual que el grado del denominador es el que acabamos de ver en el apartado anterior, ya que ese método es válido para cuando el grado del numerador es igual o mayor que el grado del denominador.

Es importante destacar, que en cualquier caso, la integral que obtengamos con el grado del numerador menor que el grado del denominador va a ser distinta en cada caso, por lo que habrá que utilizar el método de integración que le corresponda en función de las raíces del denominador.

Vamos a resolver ahora una integral racional donde el grado del numerador y del denominador sean iguales, como por ejemplo ésta de aquí:

Como tenemos el mismo grado en el numerador que en el denominador, el primer paso es realizar la división de ambos polinomios mediante el método general:

Ahora expresamos la función racional mediante esta fórmula en función de los elementos de la división:

Que en nuestro caso, cada uno de los polinomios son:

Los sustituimos en la fórmula y nos queda:

Entonces, podemos expresar la integral como la suma de las integrales de los dos nuevos términos que hemos obtenido:

La primer integral se resuelve directamente mediante la aplicación de la fórmula de la integral inmediata de una función potencial, por lo que la dejamos ya resuelta:

La segunda integral corresponde a una integral racional donde el grado del numerador es menor que el grado del denominador, por lo que vamos a resolverla a parte utilizando el método de integración que le corresponda en función de las raíces de su denominador:

Por tanto, lo primero es calcular las raíces del denominador. Para ello igualamos el polinomio a cero y resolvemos la ecuación de segundo grado resultante:

Por tanto, es una integral racional con raíces complejas en el denominador. Vamos a resolverla con su método (lo haremos brevemente porque ya lo tienes explicado de forma detallada en su lección).

En primer lugar, expresamos el polinomio de segundo grado irreducible mediante la siguiente fórmula, en función de sus raíces complejas:

Que sustituyendo con nuestros valores nos queda:

Escribimos la integral, expresando el denominador con la nueva forma:

Ahora realizamos un cambio de variable, igualando a t los términos que quedan dentro del paréntesis:

Aplicamos el cambio de variable en la integral:

Y ahora resolvemos la integral aplicando la fórmula de la integral inmediata de la función arco tangente:

Después, deshacemos el cambio de variable, sustituyendo t por su valor en función de x:

Ya tenemos la solución de esta segunda integral.

Anteriormente, resolviendo la integral original, nos quedamos en este punto:

Sólo nos queda sustituir la segunda integral por su resultado para llegar a la solución final:

 

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