Dans un exercice, ils vous demandent d’utiliser la règle de Ruffini. Tu es sur le point de le faire, mais tu réalises que tu ne sais même pas par où commencer. Vous avez vu votre professeur en classe le faire plusieurs fois, mais maintenant vous ne savez pas comment je connais la méthode des Ruffini.
Mais maintenant, quelle est la règle de Ruffini ou la méthode de Ruffini et à quoi sert-elle ? La règle de Ruffini est une méthode qui permet :
- Résoudre les équations du troisième degré ou plus (quatrième degré, cinquième degré…)
- Diviser un polynôme entre un binôme de la forme x-a
- Polynômes factoriels du troisième degré ou plus (quatrième degré, cinquième degré…)
- Calculer les racines des polynômes de degré supérieur ou égal à 3
Règle de Ruffini pour résoudre les équations et le factoring
Comme nous l’avons vu dans l’introduction, la règle de Ruffini est utilisée pour résoudre des équations du troisième degré ou plus.
Pour résoudre les équations du premier degré, nous utilisons une méthode, pour les équations du deuxième degré, nous utilisons une autre méthode et pour résoudre les équations du troisième degré ou plus, ou en d’autres termes, pour les équations supérieures à deux degrés, nous utilisons la méthode de Ruffini.
Avec la règle de Ruffini, seules des solutions entières sont obtenues. Si l’équation a des solutions complexes ou réelles, cette méthode est invalide.
Nous verrons que pour obtenir les solutions de l’équation, précédemment il faut factoriser, donc avec le même exemple nous allons expliquer les deux concepts.
Résolvons un exemple en expliquant une étape à la fois.
Nous avons l’équation suivante :
1 – Nous identifions les coefficients de chaque terme, qui sont les nombres qui précèdent l’inconnu. Pour l’équation ci-dessus, je les représente en vert pour les identifier :
2 – Nous traçons deux lignes perpendiculaires sur cette route :
3 – Nous plaçons les coefficients ordonnés par leur degré de plus ou moins grand :
Dans la règle de Ruffini, le grade diminue de 1 en 1 et chaque grade a sa place. Par exemple, si nous n’avons pas de terme qui a x², au lieu de grade 2, un 0 serait placé.
Les nombres que nous avons écrits jusqu’à présent dans la méthode de Ruffini sont équivalents à l’écriture de l’équation :
4 – Nous écrivons maintenant un nombre à gauche de la ligne verticale. Nous vous expliquerons quel numéro mettre ici et pourquoi. Pour l’instant, nous commençons par 1.
Ce nombre correspond au nombre «a» dans le binôme(x – a) :
Dans ce cas, écrire ici un 1, signifie le binôme (x – 1) dans la méthode de Ruffini :
5 – Nous commençons à exécuter la méthode. Le premier trou de la deuxième rangée est toujours laissé vide :
6 – Les valeurs de la première colonne sont additionnées et le résultat est placé au bas de la colonne.
7 – Le nombre à gauche est multiplié par le résultat de la somme de la première colonne. Le résultat est placé dans le creux de la deuxième colonne :
8 – Les valeurs de la deuxième colonne doivent être additionnées :
9 – Le nombre à gauche est multiplié par le résultat de la somme de la deuxième colonne. Le résultat est placé dans le creux de la troisième colonne :
10 – Et ainsi de suite jusqu’à ce que toutes les colonnes soient remplies :
L’objectif est que dans la dernière colonne nous ayons un 0, c’est l’explication du numéro à mettre à gauche de la ligne :
Si nous n’avons pas de zéro, nous devrons essayer avec un autre chiffre à gauche de la ligne verticale et recommencer le processus.
Une fois qu’on aura un zéro à la fin, voyons ce que ça veut dire :
Ce qu’il nous reste dans la dernière rangée est une autre équation, mais maintenant, le chiffre à gauche de 0 a un degré 0 et il augmente de 1 en 1 vers la gauche. Dans ce cas, nous avons l’équivalent de cette équation :
Et comme nous l’avons déjà vu, 1 à gauche de la ligne verticale signifiait :
Ce qui signifie que ce que nous avons jusqu’à présent est le produit de ces deux équations, qui est égal à l’équation originale :
11 – Avec la ligne qu’il nous reste, nous recommençons. Nous commençons par tester 1 :
12 – Comme précédemment, on multiplie par le résultat de l’addition dans chaque colonne :
En fin de compte, nous avons un 6, et ce que nous voulons, c’est avoir un zéro. Par conséquent, nous devons continuer à essayer, avec -1, avec 2, avec -2… jusqu’à ce que nous trouvions le nombre qui nous fait avoir un zéro dans la dernière colonne.
Le nombre qui nous fait avoir un 0 à la fin est -2 :
Qu’est-ce qu’on fait maintenant ? Comment savoir si c’est fini ?
Le degré le plus élevé de la dernière rangée est 1, donc c’est fini :
Le résultat de la factorisation de l’équation par la méthode de Ruffini est le produit de la dernière ligne et des nombres qui sont à gauche de la ligne verticale, mais exprimés sous forme d’équation :
Donc notre équation sera :
Jusqu’à présent, nous avons pris en compte l’équation. Maintenant, nous allons le résoudre :
1 – Nous sommes égaux à 0, comme au début :
2 – N’oubliez pas que lorsqu’une multiplication de deux ou plusieurs facteurs donne 0, cela signifie que l’un des facteurs est 0, car toute valeur multipliée par 0 est 0, donc tout facteur pourrait être 0.
Nous avons trois équations du premier degré à éclaircir, d’où nous obtenons les trois solutions (car il s’agit d’une équation du troisième degré) :
Solutions : -1, -2 et 1
La règle de Ruffini pour diviser entre les binômes de la forme (x-a) forme
Dans ce cas, la règle de Ruffini est utilisée pour faire une division des polynômes, où le diviseur est un binôme de forme (x-a).
Par exemple, vous devez effectuer le découpage suivant :
Comme le diviseur est x-2, je veux dire, il est sous la forme (x-a), nous utilisons la règle de Ruffini. Nous ne devons appliquer la règle qu’une seule fois.
Cette fois, le nombre que nous devons placer à gauche de la ligne verticale est 2 (le a du binôme x-a) et nous n’avons pas à nous inquiéter si nous avons un zéro dans la dernière colonne ou non. Le résultat sera le reste de la division :
Le quotient de la division sera le polynôme formé par les coefficients de la dernière ligne :
Et le reste sera le dernier élément de la dernière rangée :
