Leyes de Kirchhoff

A continuación te voy a explicar las leyes de Kirchhoff, las cuales nos sirven para resolver circuitos y conocer el comportamiento de todos sus elementos activos y pasivos. Se trata de dos leyes: la primera ley de Kirchhoff o ley de las corrientes y la segunda ley de Kirchhoff o ley de las tensiones.

Veremos cada una de ellas detenidamente y resolveremos ejercicios aplicándolas.

Conceptos previos de las leyes de Kirchhoff

Antes de empezar con las leyes de Kirchhoff es necesario que conozcas una serie de conceptos previos para entender mejor los enunciados.

  • Elementos activos: Son los elementos de un circuito capaces de suministrar energía al circuito. Las fuentes de tensión son elementos activos.
  • Elementos pasivos: Son los elementos de un circuito que consumen energía. Son elementos pasivos las resistencias, las inductancias y los condensadores.
  • Nudo: Punto de un circuito donde concurren más de dos conductores
  • Rama: Conjunto de todos los elementos comprendido entre dos nudos consecutivos
  • Malla: Conjunto de ramas que forman un camino cerrado en un circuito, que no puede subdividirse en otros ni pasar dos veces por la misma rama

Por ejemplo, en el siguiente circuito:

Los elementos activos son los generadores:

Los elementos pasivos son las resistencias:

a, b, c y d son los nudos del circuito.

Tenemos seis ramas: ab, bd,  bc, ad, dc y ac y tres mallas: abda, dbcd y adca.

Primera ley de Kirchhoff. Ley de las corrientes de Kirchhoff

Las corrientes que entran y salen de un nudo están relacionadas entre sí por la ley de las corrientes de Kirchhoff, cuyo enunciado es el siguiente:

“La suma algebraica de todas las intensidades que llegan a un nudo es igual a la suma algebraica de todas las intensidades que salen del nudo, consideradas todas ellas en el mismo instante de tiempo”:

Por ejemplo, en el siguiente nudo “a”, llegan las intensidades I1, I2 e I3 y salen las intensidades I4 e I5:

Por tanto, aplicando la primera ley de Kirchhoff nos quedaría:

La primera ley de Kirchhoff también se puede enunciar como que “la suma algebraica de todas las intensidades que concurren en un nudo es igual a cero”:

Se adopta el convenio de considerar positivas a las intensidades que llegan y negativas a las intensidades que salen.

En el nudo del ejemplo anterior:

Aplicando la ley de las corrientes de Kirchhoff con este segundo enunciado nos queda:

Segunda ley de Kirchhoff. Ley de las tensiones de Kirchhoff

El voltaje generado en un circuito se consume en las caídas de tensión que se producen en todas las resistencias conectadas en el mismo, ya que por la ley de Ohm, la tensión es igual al producto de la intensidad por la resistencia (V=I.R).

Las tensiones generadas y las caídas de tensión producidas en los receptores se relacionan entre sí por la ley de las tensiones de Kirchhoff, cuyo enunciado dice así:

“En toda malla o circuito cerrado, la suma algebraica de todas las tensiones generadas debe ser igual a la suma algebraica de las caídas de tensión en todas las resistencias a lo largo de la malla”:

Si el sumatorio del segundo miembro lo pasamos al primer miembro nos queda:

Expresión que nos permite enunciar la segunda ley de Kirchhoff de esta forma: “La suma algebraica de las tensiones a lo largo de una malla o circuito cerrado es igual a cero”.

Convenio de signos en la segunda ley de Kirchhoff

Para aplicar esta ley, debemos tener en cuenta si la tensión del generador o la caída de tensión del receptor es positiva o negativa y esto lo establecemos con un convenio de signos.

Ojo, los convenios de signos que te voy a indicar a continuación son válidos en esta expresión:

ya que en la otra expresión que está igualada a cero, los signos de I.R cambiarían.

En los generadores, el convenio de signos para la tensión es el siguiente:

  • Cuando recorremos un generador desde el borde negativo hasta el positivo, la tensión es positiva
  • Cuando recorremos un generador desde el borde positivo hasta el negativo, la tensión es negativa

La flecha indica el sentido con el que se recorre la malla.

En las resistencias, el convenio de signos para la caída de tensión es:

  • La caída de tensión será positiva si el sentido de la intensidad que circula por ella coincide con el sentido con el que se recorre la malla.
  • La caída de tensión será negativa si el sentido de la intensidad que circula por ella es contrario al sentido con el que se recorre la malla.

Vamos a ver un ejemplo:

Vamos a aplicar la segunda ley de Kirchhoff al siguiente circuito en la malla con sentido a-b-d-a, donde tenemos también el sentido de las intensidades (veremos más abajo en el ejercicio cómo establecer el sentido de las intensidades):

Aplicamos la siguiente fórmula:

Para E1, el recorrido va del polo positivo negativo al positivo, luego la tensión es positiva. En las tres resistencias, la intensidad y el sentido con el que se recorre la malla es el mismo.

Ahora, pasamos todos los términos del segundo miembro restando al primer miembro y nos queda:

Es decir, nos queda que la suma de tensiones generadas, menos la suma de las caídas de tensión en los receptores es igual a cero:

Procedimiento para resolver circuitos con las leyes de Kirchhoff

Vamos a ver cuál es el procedimiento para resolver cualquier circuito aplicando las dos leyes de Kirchhoff. Es el siguiente:

  1. Le asignamos una letra a cada nudo del circuito
  2. Se dibujan las intensidades por cada rama, asignándoles un sentido al azar.
  3. Se aplica la primera ley de Kirchhoff o la ley de las corrientes a tantos nudos tenga el circuito menos uno
  4. Se aplica la segunda ley de Kirchhoff o la ley de las tensiones a todas las mallas del circuito
  5. Tendremos tantas ecuaciones como número de intensidades tenga el circuito
  6. Se resuelve el sistema de ecuaciones planteado, ya sea por el método de sustitución o aplicando la regla de Cramer si tenemos 3 ecuaciones o más
  7. Las intensidades que tengan signo positivo, tienen el mismo sentido que le asignamos en el segundo paso. Las intensidades con signo negativo tienen sentido contrario al valor asignado inicialmente y debemos cambiarles el sentido.
  8. Una vez tenemos el valor y sentido real de todas las intensidades, ya podemos hacer un balance de potencias y contestar a todas las preguntas sobre el análisis del circuito.

Ejercicio resuelto sobre las leyes de Kirchhoff

Vamos a resolver un ejercicio donde aplicaremos las leyes de Kirchhoff paso a paso, al mismo tiempo que te enseño a resolver ejercicios de este tipo:

En el siguiente circuito, calcula las intensidades de cada una de sus ramas y realiza un balance de potencias:

Ya tenemos las letras asignadas a los nudos. Seguimos dibujando las intensidades de cada rama asignando un sentido al azar:

Tenemos que aplicar la ley de las corrientes de Kirchhoff a tantos nudos tenga el circuito menos uno. Tenemos 2 nudos, el a y el b, luego se la tenemos que aplicar a uno de ellos. Se la aplico al nudo “a” y queda:

Ya tenemos la primer ecuación.

Seguimos aplicando la ley de las tensiones de Kirchhoff a todas las mallas del circuito. En nuestro caso tenemos dos mallas. En primer lugar, establecemos el sentido con el que recorreremos cada malla, que en mi caso será éste:

En la primera malla nos queda:

Operamos y reordenamos términos:

En la segunda malla nos queda:

Operamos y reordenamos términos:

Con la segunda ley de Kirchhoff, nos han salido dos ecuaciones más, teniendo tres en total, igual que el número de intensidades, que son éstas:

Vamos a resolver el sistema que nos ha quedado.

En la primera ecuación tengo I1 despejada en función de I2 e I3. Esa expresión de I1 la sustituyo en la segunda ecuación:

Elimino el paréntesis multiplicando I2 e I3 por 6:

Y agrupo términos:

Esta ecuación junto con la tercera ecuación del sistema inicial forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que paso a resolver por el método de sustitución:

En la primera ecuación:

Despejamos I2. Para ello primer pasamos el 6I3 restando al otro miembro:

Y después pasamos el 9 dividiendo al segundo miembro:

En la segunda ecuación:

Sustituimos I2 por la expresión obtenida anteriormente:

Eliminamos el paréntesis multiplicando el -3 por los términos del numerador:

Obtenemos denominador común:

Eliminamos denominadores:

Agrupamos términos y reordenamos:

Finalmente despejamos I3 y operamos:

En la expresión donde despejamos I2:

Sustituimos I3 por el valor que acabamos de calcular y operamos:

Ya tenemos el valor de I2 e I3, falta el valor de I1. En la primer ecuación del sistema de tres ecuaciones inicial:

Sustituimos los valores de I2 e I3 y operamos:

Nos han quedado los siguientes valores de las intensidades:

Tanto I1 como I3 son negativas, luego debemos cambiar el sentido asignado inicialmente. I2 es positiva, luego el sentido que le asignamos al principio es el real. Las intensidades en el circuito quedan de la siguiente forma:

Una vez las intensidades tienen el sentido correcto, sus valores son todos positivos:

Ahora que tenemos el valor de todas las intensidades del circuito vamos a realizar el balance de potencias, que no es más que calcular la potencia generada por los generadores de tensión y la potencia consumida por la resistencia y luego analizar si la potencia generada es suficiente para abastecer a todos los receptores.

La potencia generada por el circuito es igual a la suma de las potencias de cada generador, que será igual a la tensión de cada generador por la intensidad que la recorre:

En nuestro caso I1 circula por V1, I2 circula por V2 e I3 circula por V3:

Sustituimos los valores de las intensidades y tensiones y operamos:

Seguimos calculando la potencia consumida por el circuito, que es igual a la suma de la potencia de cada resistencia, calculada como el valor de cada resistencia multiplicada por la intensidad que la recorre al cuadrado:

I1 circula por R1 y R3, I2 circula por R4 e I3 circula por R2 y R5:

Sustituimos los valores de las intensidades y resistencias y operamos:

Para que el circuito funcione con normalidad, la potencia generada debe ser mayor que la consumida.

En nuestro caso, la potencia generada y la consumida son prácticamente iguales (la diferencia tal vez se deba al redondeo decimales), por lo que el circuito estaría compensado.

En el caso de que la potencia consumida sea mayor que la generada, el circuito no podría funcionar y estaríamos ante un caso de sobrecarga.

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