A continuación te voy a explicar en qué consiste el método de inducción para matrices cuadradas, con ejercicios resueltos paso a paso.
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Las potencias sucesivas de una matriz cuadrada A, van siguiendo un cierto patrón, lo que permite establecer una hipotética fórmula que se supone que se cumple para A elevado a n, que luego habrá que demostrar por inducción.
¿En qué consiste el método de inducción?
El método de inducción se utiliza para demostrar que una hipótesis que se refiere a los números naturales n, es cierta para cualquier número natural n. El procedimiento para demostrar por inducción es el siguiente:
- Demostrar que el paso base se cumple. El paso base es cuando n=1. Por tanto, hay que demostrar que la hipótesis es cierta para n=1
- Demostrar que se cumple el paso de inducción: Suponemos que la hipótesis es cierta para n y calculamos que se cumple para n+1
Si el paso base y el paso de inducción se cumplen, la hipótesis quedará demostrada para cualquier número natural n.
Este proceso de demostración se entiende mejor si lo comparas con demostrar que si en una fila de fichas de dominó puestas de pie y si tiras la primera primera ficha, se caerán todas.
Si tuvieras que demostrar esto con el método de inducción, cumpliendo el paso base, demuestras que la primera ficha se cae y cumpliendo el paso de inducción, demuestras que si se ha caído la siguiente ficha (n+1) es porque previamente se ha caído la anterior (n).
Ejemplo de método de inducción para matrices cuadradas
Vamos a ver un ejemplo del método de inducción para matrices cuadradas de orden 2, cuando tenemos una matriz elevada a n:
Demostrar por inducción la siguiente fórmula es cierta:
En primer lugar demostramos el paso base: vamos a calcular si la fórmula se cumple para n=1. Sustituimos la n por 1 y calculamos:
La fórmula se cumple para el paso base, es decir, cuando n=1.
Seguimos con el paso de inducción: suponemos que la fórmula es cierta para n y partir de ahí vamos a demostrar que es cierta para n+1.
Para ello vamos a calcular la matriz elevada a n+1:
Esta matriz será igual a la matriz elevada a n más la matriz elevada a 1:
Aplicamos la hipótesis de inducción, es decir, suponemos que la fórmula es cierta para n:
Y sustituimos la matriz elevada a n por su resultado:
Multiplicamos matrices y nos queda:
Por lo que, la fórmula es cierta para n+1.
Por tanto, se cumplen los dos pasos, por lo que la fórmula es cierta para todos los números naturales.
Ejercicio resuelto de método de inducción para matrices cuadradas
Vamos a resolver ahora por el método de inducción un ejercicio más complicado:
Dada la matriz:
Calcular las matrices:
Y obtener por el método de inducción la matriz:
Calculamos A al cuadrado, que será la multiplicación de matrices A por A:
Calculamos A al cubo, que será la multiplicación de A por A al cuadrado:
Y calculamos A elevada a 4, que será la multiplicación de A por A al cubo:
Colocamos juntas las 4 matrices:
Y vemos que los elementos de las matrices los podemos escribir como potencias de 2:
Por tanto, podemos suponer que A elevada a n puede tener la siguiente expresión:
Pero tenemos que demostrar por el método de inducción que esta fórmula es cierta.
Vamos a demostrar el paso base, que en este caso, como nos piden que lo demostremos para los n mayores que 4, el paso base será cuando n=5.
Calculamos A elevada a 5, que será la multiplicación de A por A elevada a 4:
Por otro lado, calculamos A elevada a 5 con la fórmula:
Y vemos que coinciden, por lo que la fórmula se cumple para el caso base, cuando n=5.
Seguimos con el paso de inducción: suponemos que la fórmula es cierta para n y partir de ahí vamos a demostrar que es cierta para n+1.
Calculamos A elevada a n+1, que será la multiplicación de A elevada a n por A. A elevada a n la sustituimos según la fórmula y queda:
Ahora multiplicamos matrices. Vemos que sumar el mismo elemento es igual a multiplicarlo por 2:
Y ahora en cada elemento, mantenemos la base y sumamos los exponentes:
La fórmula se cumple para n+1.
Por tanto, se cumple tanto el paso base como el paso de inducción, por lo que queda demostrado que la fórmula es cierta para todos los números naturales.
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