Propiedades de las raíces: Aplicación y ejemplos resueltos paso a paso

Saber utilizar las propiedades de las raíces es fundamental para simplificar operaciones con radicales correctamente, al mismo tiempo que para realizar operaciones con radicales.

Si has llegado hasta aquí es porque no sabes resolver algún ejercicio. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Por tanto, a continuación veremos una a una las propiedades de las raíces y cómo tienes que aplicarlas en tus operaciones.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Sólo tienes que dejarte guiar por mí verás como tu nota y tu tiempo libre subirán exponencialmente.

Propiedad 1. Multiplicación de raíces con el mismo índice

Multiplicar dos raíces con el mismo índice es igual a realizar la multiplicación en una sola raíz con ese índice:

propiedades de las raíces

Por ejemplo, si tienes una multiplicación dentro de una raíz, puedes separar cada factor y resolver cada raíz por separado, para obtener el resultado final:

propiedades de las raíces

Esta propiedad va a ser muy útil por ejemplo para entender como introducir o extraer factores en una raíz, que lo explico en el Curso de Raíces.

Propiedad 2. División de raíces con el mismo índice

Lo mismo sucede con la división de dos raíces con el mismo índice. Esa división es equivalente a la raíz de la división.

La raíz de una división es igual a la división de las raíces.

propiedades de las raíces

Por ejemplo:

propiedades de las raíces

Propiedad muy útil también para simplificar operaciones con raíces.

Propiedad 3. Raíz elevada a un exponente

Otra de las propiedades de las raíces es cuando tienes una raíz elevada a un exponente, es equivalente a que ese exponente estuviera dentro de la raíz elevando al radicando:

propiedades de las raíces

Por ejemplo:

propiedades de las raíces

Esta propiedad no hay que confundirla, multiplicando el exponente por el índice. Mucho cuidado.

Para eso ya tenemos la propiedad que viene a continuación.

Propiedad 4. Raíz de otra raíz

Una raíz elevada a otra raíz es igual a otra raíz cuyo índice es el producto los dos índices.

propiedades de las raíces

Por ejemplo:

propiedades de las raíces

Esta propiedad se puede aplicar con todos los niveles de raíces de raíces. Por ejemplo:

propiedades de las raíces

Propiedad 5. Anulación de la raíz

Como ya sabes, la raíz es la operación contraria a la potencia.

Entonces si tienes un número o una variable elevada a un exponente que está dentro de una raíz con el mismo índice, la potencia con la raíz se anula:

propiedades de las raíces

Esta propiedad parece obvia, pero cuando forma parte de una expresión mucho más compleja, hay veces que se olvida.

Es muy útil para simplificar expresiones cuando trabajamos con variables:

propiedades de las raíces

El índice y el exponente se anulan y queda sólo la x

Cuando operas con números, esta propiedad la aplicas indirectamente al obtener el resultado de la raíz.

Por ejemplo, en esta raíz:

propiedades de las raíces

El resultado es 2 porque 2 elevado al cubo son 8.

Si aplicamos esta propiedad y en vez de poner 8, lo ponemos como 2 elevado al cubo, vemos que los 3 del índice del exponente y del índice se anulan y queda sólo el 2, que es el resultado de la raíz.

propiedades de las raíces

Las propiedades de las raíces cobran más sentido cuando se utilizan con algún fin, ya sea para simplificar una expresión o para realizar operaciones con raíces.

Vamos a ir resolviendo unos cuantos ejercicios para que te vayas familiarizando con ellas.

Ejemplos de aplicación de las propiedades de las raíces

Voy a ir resolviendo contigo unos ejercicios para que veas como se tienen que ir aplicando las propiedades de las raíces:

Ejemplo 1:

propiedades de las raíces

Cuanto tengas una raíz con más de un factor, como es este caso, lo primero que tienes que hacer es aplicar la propiedad de la multiplicación de raíces y separar cada factor en una raíz:

propiedades de las raíces

Al tenerlo en dos raíces, ya podemos obtener el resultado de la primera raíz que es 2:

propiedades de las raíces

La segunda raíz de momento la vamos a dejar así, pero se podrían extraer factores.

Ejemplo 2:

Vamos a ver este otro ejemplo con la raíz de una división:

propiedades de las raíces

Para poder resolver esta raíz, mediante la propiedad de la división de raíces, la convertimos en la división de dos raíces para poder resolver cada una de ellas por separado:

propiedades de las raíces

Normalmente, cuando veas una fracción dentro de una raíz, el primer paso será siempre convertirla a una división de dos raíces tal y como acabamos de hacer, pero a veces, se puede simplificar la fracción dentro de la raíz y no es necesario aplicar la propiedad.

Ejemplo 3:

En este ejemplo vamos a tener que aplicar más de una propiedad:

propiedades de las raíces

El primer paso es aplicar la propiedad de la división, por lo que lo convertimos en una división de dos raíces de índice 3:

propiedades de las raíces

Ahora, si te das cuenta, tanto en el numerador como en el denominador tenemos una raíz de más de un factor. Por tanto el siguiente paso es aplicar en cada raíz la propiedad de la multiplicación y separarlo en dos raíces:

propiedades de las raíces

Una vez ya no podemos separar en más raíces, ya se puede proceder a resolver la que tenga solución, tal y como acabamos de hacer.

Se podría simplificar todavía más, extrayendo factores.

Ejemplo 4:

En este otro ejemplo de aplicación de las propiedades de las raíces, hay que aplicar también más de una propiedad, pero la forma de aplicarlas funciona de una forma inversa al ejemplo anterior:

propiedades de las raíces

En este caso tenemos raíces ya separadas. La raíz de 6 no tiene solución entera. Podríamos aplicar la propiedad de la multiplicación de las raíces de 8x y 12x, pero tampoco tendríamos ninguna solución entera.

¿Qué tienes que hacer entonces?

Vamos a juntar todas las raíces en una sola para comprobar si se puede simplificar lo que nos quede dentro de esta única raíz.

Empezamos con el numerador de la fracción, uniendo las dos raíces en una y realizando la multiplicación que nos queda dentro:

propiedades de las raíces

Tenemos ahora la división de dos raíces. La volvemos a unir en una sola, mediante la propiedad de la división.

Dentro de la raíz nos queda una fracción que se puede simplificar y el resultado de esa simplificación sí que tiene solución entera:

propiedades de las raíces

En todo momento debes ir buscando la solución entera de la raíz para aplicar las propiedades de las raíces de la multiplicación y división en un sentido u otro

Tienes que ver si conviene o no la aplicación de una propiedad en un sentido u otro, buscando siempre la solución entera de la raíz.

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