Qué es y cómo calcular el rango de una matriz por determinantes

En esta lección te voy a explicar qué es el rango de una matriz y cómo calcular el rango de una matriz por determinantes.

Aprenderás a calcular el rango de cualquier matriz, tanto cuadrada como no cuadrada.

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Qué es el rango de una matriz

El rango de una matriz es el orden de la mayor submatriz cuadrada cuyo determinante es distinto de 0.

El rango de A se escribe como Rag A o rg(A).

Vamos a ver esta definición un poco más despacio.

En primer lugar, el orden de una matriz cuadrada es el número de filas o de columnas que tiene esa matriz. Por ejemplo, una matriz de orden 2, es lo mismo que decir una matriz de dimensiones 2×2, que tiene 2 filas y 2 columnas.

Por otro lado, se le llama submatriz, a una matriz que está contenida dentro de otra matriz. Dentro de una matriz, podemos elegir filas y columnas que formen otra matriz independiente.

Por ejemplo, en la siguiente matriz de dimensiones 3×4:

rango de una matriz

Puedo elegir las siguientes filas y columnas dentro de A:como calcular el rango de una matriz

Que forman la siguiente submtariz cuadrada de orden 3:

calcular rango de una matriz

O incluso puedo elegir columnas que no estén seguidas:

calcular el rango de una matriz

Y tendría otra submatriz cuadrada de orden 3:

como hallar el rango de una matriz

O puedo elegir menos filas y columnas:

como se calcula el rango de una matriz

Que formarían una matriz cuadrada de orden 2:

que es el rango de una matriz

Para calcular el rango de una matriz, debemos elegir la submatriz de mayor orden posible y calcular su determinante.

El orden de la mayor submatriz cuadrada, cuyo determinante sea distinto de cero, será el rango de la matriz.

Vamos a ver un ejemplo en el siguiente apartado.

Cómo calcular el rango de una matriz no cuadrada

Como veremos a continuación, se puede obtener el rango de cualquier matriz, sin necesidad de que sea cuadrada.

¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?

rango matriz

Es una matriz de dimensiones 3×4, por lo que no es una matriz cuadrada.

Tenemos que elegir la mayor submatriz cuadrada que esté contenida en A para calcular su determinante, que es de orden 3.

Calcularemos los determinantes de todas las posibles submatrices cuadradas de orden 3, hasta encontrar una cuyo determinante sea distinto de 0. Basta con encontrar al menos una submatriz cuadrada de orden 3, cuyo determinante sea distinto de 0, para que el rango de la matriz A sea 3.

Elegimos esta submatriz cuadrada:

hallar el rango de una matriz

Y calculamos su determinante:

como saber el rango de una matriz

Su resultado es distinto de cero, por tanto, como el orden de esta submatriz es 3, el rango de la matriz A es 3

calculo del rango de una matriz

Si todos los determinantes de las submatrices de orden 3 fueran igual a cero, tendríamos que seguir con las submatrices de orden 2, hasta encontrar un determinante que fuera distinto de 0 y en ese caso, el rango de la matriz sería 2.

Vamos a ver otro ejemplo: Calcular el rango de la siguiente matriz:

rango por determinantes

Las mayores submatrices cuadradas, contenidas en A, que podemos elegir son de orden 3. Vamos a ir calculando los determinantes de todas las posibles submatrices cuadradas de orden 3, hasta encontrar una cuyo determinante sea distinto de 0.

Empezamos eligiendo la submatriz cuadrada formada por las tres primeras columnas:

como determinar el rango de una matriz

Su determinante es cero, por lo que tenemos que seguir buscando.

Probamos con la submatriz cuadrada formada por las columnas 2, 3 y 4:

rango de matrices

Su determinante es cero. Tenemos que seguir buscando.

Elegimos la submatriz cuadrada formada por las columnas 1, 2 y 4:

rango de matriz

Su determinante también es cero.

Y por último, elegimos la submatriz cuadrada formada por las columnas 1, 3 y 4:

como calcular rango de una matriz

Que su determinante también es cero.

Ya no quedan más combinaciones de columnas para seguir eligiendo submatrices cuadradas de orden 3. Todas las submatrices cuadradas de orden 3, que están contenidas en A son igual a cero, por tanto, el rango de A, va a ser menor que 3:

calcular rango matriz

Al no encontrar ninguna submatriz cuadrada de orden 3, cuyo determinante sea distinto de cero, vamos a probar con con submatrices cuadradas de orden 2.

Basta encontrar una cuyo determinante sea distinto de cero.

Probamos con la submatriz cuadrada de orden 2, formada por las columnas 1 y 2 y por las filas 1 y 2:

hallar rango de una matriz

Su resultado es distinto de cero, por tanto el rango de la matriz es 2:

determinar el rango de una matriz

Que coincide con el orden de la mayor submatriz cuadrada que hemos encontrado, cuyo determinante es distinto de cero.

Cómo calcular el rango de una matriz cuadrada

Calcular el rango de una matriz cuadrada es algo más sencillo, ya que para empezar, no tenemos que estar buscando la mayor submatriz cuadrada, al ser la propia matriz.

Sin embargo, si la matriz es de orden 4 o mayor, si que tenemos varias submatrices de orden 3 o menor para elegir que estén contenidas en la matriz principal.

Por ejemplo: ¿Cuál es el rango de la siguiente matriz cuadrada?

como calcular el rango

La mayor submatriz cuadrada que podemos elegir es la misma matriz, por lo que empezamos calculando su determinante:

como obtener el rango de una matriz

Que es distinto de cero, por lo que el rango de la matriz A, es de rango 4, que coincide con su orden:

el rango de una matriz

Veamos un último ejemplo: Calcular el rango de la siguiente matriz:

rango de una matriz ejemplos

Empezamos calculando el determinante de la matriz, ya que es la mayor submatriz cuadrada:

matriz por determinantes

Su determinante es igual a cero. Como no podemos elegir más submatrices de orden 4, el rango de B va a ser menor que 4:
como encontrar el rango de una matriz

Buscaremos por tanto una submatriz cuadrada de orden 3, que esté contenida en B, cuyo determinante sea distinto de cero. Sólo con que encontremos una, el rango de B, ya será igual a 3.

Elegimos la submatriz cuadrada de orden 3 formada por las columnas 1, 2 y 3 y las filas 1, 2 y 3. Calculamos su determinante:

como sacar rango de una matriz

Su determinante es distinto de cero, luego ya no tenemos que seguir buscando y el rango de B es 3:

cual es el rango de una matriz

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