Qué es y cómo calcular el rango de una matriz por determinantes

En esta lección te voy a explicar qué es el rango de una matriz y cómo calcular el rango de una matriz por determinantes.

Aprenderás a calcular el rango de cualquier matriz, tanto cuadrada como no cuadrada.

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Qué es el rango de una matriz

El rango de una matriz es el orden de la mayor submatriz cuadrada cuyo determinante es distinto de 0.

El rango de A se escribe como Rag A o rg(A).

Vamos a ver esta definición un poco más despacio.

En primer lugar, el orden de una matriz cuadrada es el número de filas o de columnas que tiene esa matriz. Por ejemplo, una matriz de orden 2, es lo mismo que decir una matriz de dimensiones 2×2, que tiene 2 filas y 2 columnas.

Por otro lado, se le llama submatriz, a una matriz que está contenida dentro de otra matriz. Dentro de una matriz, podemos elegir filas y columnas que formen otra matriz independiente.

Por ejemplo, en la siguiente matriz de dimensiones 3×4:

calcular el rango de una matriz

Puedo elegir las siguientes filas y columnas dentro de A:calcular el rango de una matriz

Que forman la siguiente submtariz cuadrada de orden 3:

calcular el rango de una matriz

O incluso puedo elegir columnas que no estén seguidas:

calcular el rango de una matriz

Y tendría otra submatriz cuadrada de orden 3:

O puedo elegir menos filas y columnas:

calcular el rango de una matriz

Que formarían una matriz cuadrada de orden 2:

Para calcular el rango de una matriz, debemos elegir la submatriz de mayor orden posible y calcular su determinante.

El orden de la mayor submatriz cuadrada, cuyo determinante sea distinto de cero, será el rango de la matriz.

Vamos a ver un ejemplo en el siguiente apartado.

Cómo calcular el rango de una matriz no cuadrada

Como veremos a continuación, se puede obtener el rango de cualquier matriz, sin necesidad de que sea cuadrada.

¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?

Es una matriz de dimensiones 3×4, por lo que no es una matriz cuadrada.

Tenemos que elegir la mayor submatriz cuadrada que esté contenida en A para calcular su determinante, que es de orden 3.

Calcularemos los determinantes de todas las posibles submatrices cuadradas de orden 3, hasta encontrar una cuyo determinante sea distinto de 0. Basta con encontrar al menos una submatriz cuadrada de orden 3, cuyo determinante sea distinto de 0, para que el rango de la matriz A sea 3.

Elegimos esta submatriz cuadrada:

Y calculamos su determinante:

Su resultado es distinto de cero, por tanto, como el orden de esta submatriz es 3, el rango de la matriz A es 3

Si todos los determinantes de las submatrices de orden 3 fueran igual a cero, tendríamos que seguir con las submatrices de orden 2, hasta encontrar un determinante que fuera distinto de 0 y en ese caso, el rango de la matriz sería 2.

Vamos a ver otro ejemplo: Calcular el rango de la siguiente matriz:

Las mayores submatrices cuadradas, contenidas en A, que podemos elegir son de orden 3. Vamos a ir calculando los determinantes de todas las posibles submatrices cuadradas de orden 3, hasta encontrar una cuyo determinante sea distinto de 0.

Empezamos eligiendo la submatriz cuadrada formada por las tres primeras columnas:

Su determinante es cero, por lo que tenemos que seguir buscando.

Probamos con la submatriz cuadrada formada por las columnas 2, 3 y 4:

Su determinante es cero. Tenemos que seguir buscando.

Elegimos la submatriz cuadrada formada por las columnas 1, 2 y 4:

Su determinante también es cero.

Y por último, elegimos la submatriz cuadrada formada por las columnas 1, 3 y 4:

Que su determinante también es cero.

Ya no quedan más combinaciones de columnas para seguir eligiendo submatrices cuadradas de orden 3. Todas las submatrices cuadradas de orden 3, que están contenidas en A son igual a cero, por tanto, el rango de A, va a ser menor que 3:

Al no encontrar ninguna submatriz cuadrada de orden 3, cuyo determinante sea distinto de cero, vamos a probar con con submatrices cuadradas de orden 2.

Basta encontrar una cuyo determinante sea distinto de cero.

Probamos con la submatriz cuadrada de orden 2, formada por las columnas 1 y 2 y por las filas 1 y 2:

Su resultado es distinto de cero, por tanto el rango de la matriz es 2:

Que coincide con el orden de la mayor submatriz cuadrada que hemos encontrado, cuyo determinante es distinto de cero.

Cómo calcular el rango de una matriz cuadrada

Calcular el rango de una matriz cuadrada es algo más sencillo, ya que para empezar, no tenemos que estar buscando la mayor submatriz cuadrada, al ser la propia matriz.

Sin embargo, si la matriz es de orden 4 o mayor, si que tenemos varias submatrices de orden 3 o menor para elegir que estén contenidas en la matriz principal.

Por ejemplo: ¿Cuál es el rango de la siguiente matriz cuadrada?

La mayor submatriz cuadrada que podemos elegir es la misma matriz, por lo que empezamos calculando su determinante:

Que es distinto de cero, por lo que el rango de la matriz A, es de rango 4, que coincide con su orden:

Veamos un último ejemplo: Calcular el rango de la siguiente matriz:

Empezamos calculando el determinante de la matriz, ya que es la mayor submatriz cuadrada:

calcular el rango de una matriz

Su determinante es igual a cero. Como no podemos elegir más submatrices de orden 4, el rango de B va a ser menor que 4:
calcular el rango de una matriz

Buscaremos por tanto una submatriz cuadrada de orden 3, que esté contenida en B, cuyo determinante sea distinto de cero. Sólo con que encontremos una, el rango de B, ya será igual a 3.

Elegimos la submatriz cuadrada de orden 3 formada por las columnas 1, 2 y 3 y las filas 1, 2 y 3. Calculamos su determinante:

Su determinante es distinto de cero, luego ya no tenemos que seguir buscando y el rango de B es 3:

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