Rango de una matriz. Vectores linealmente independientes. Ejercicios resueltos

A continuación te voy a explicar qué es el rango de una matriz y cómo calcularlo. Además, te enseñaré un concepto relacionado, como los vectores linealmente independientes, fundamental para calcular el rango de una matriz.

Lo veremos todo con ejercicios resueltos paso a paso.

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Qué son los vectores linealmente independientes

Los vectores linealmente independientes son los vectores cuya formación no depende de ningún otro vector de la matriz, es decir, que no se puede componer a partir de la composición lineal del resto de vectores.

Los vectores linealmente de una matriz es el número de vectores distintos de cero que quedan después de haber triangulado la matriz formada por ellos.

Vamos a ver un ejemplo:

¿Cuántos vectores linealmente independientes tiene la siguiente matriz?

Para empezar, los vectores de una matriz a los que nos referimos son los vectores fila, es decir, que cada fila de la matriz corresponde a un vector:

Para obtener el número de vectores linealmente independientes, vamos a triangular la matriz, es decir, vamos a hacer que los elementos que quedan por debajo de la diagonal principal sean ceros.

El primer elemento de la primera columna ya es 1. Sólo nos falta que los elementos que quedan por debajo de ese 1 sean ceros.

Para conseguirlo, a la fila 2 le restamos 4 veces al fila 1 y dejamos el resultado en la fila 2:

Y a la fila 3 le restamos 3 veces la fila 1, dejando el resultado en la fila 3:

La matriz queda:

Sólo nos queda que el último elemento de la segunda columna sea cero. Por tanto, a la fila 3 le restamos la fila 2 y dejamos el resultado en la fila 3:

Nos queda:

Nos ha quedado una fila llena de ceros. Por tanto, esta matriz tiene dos vectores linealmente independientes y como consecuencia, el otro vector es dependiente de los otros dos.

Los vectores V1 y V2 son independientes:

El vector V3, que es el que nos ha quedado con ceros, depende de V1 y V2. De hecho, podemos formar el V3 restando V2 menos V1, o lo que es lo mismo, la fila 3 es igual a la fila 2 menos la fila 1:

Rango de una matriz

¿Qué es el rango de una matriz?

El rango de una matriz es el número de vectores linealmente independientes que hay en la matriz.

Por tanto, calcular el número de vectores linealmente independientes y calcular el rango de la matriz es exactamente lo mismo. Así que, el rango de la matriz anterior es 2, ya que es el número de vectores linealmente que tiene:

También se puede calcular el rango de una matriz por determinantes.

Vamos a ver otro ejemplo de cómo calcular el rango de una matriz:

¿Cuál es el rango de la siguiente matriz?

Vamos a empezar a triangula la matriz, para ello, en el primer elemento de la primer columna, tenemos que hacer que haya un 1. Lo conseguimos si intercambiamos al fila 3 por la fila 1:

La matriz queda:

Ahora tenemos que que hacer que los elementos que quedan por debajo de 1 en la primera columna sean ceros. Para ello a la fila 2 le sumamos la fila 1 y el resultado lo dejamos en la fila 2:

Y a la fila 3 le restamos dos veces la fila 1, dejando el resultado en la fila 3:

La matriz nos queda de la siguiente manera:

Lo siguiente que tenemos que conseguir es que el último elemento de la segunda columna sea un cero. Para ello, a la fila 3 le sumamos la fila 2, dejando el resultado en la fila 3:

La matriz queda:

Ya hemos triangulado la matriz y no nos ha quedado ninguna fila con ceros, luego los 3 vectores de la matriz son linealmente independientes. Por tanto, como la matriz tiene 3 vectores linealmente independientes, su rango es 3:

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Ejercicios resueltos sobre calcular el rango de una matriz

Vamos a realizar un par de ejercicios sobre cómo calcular el rango de una matriz.

Ejercicio 1

Calcular el rango de la siguiente matriz:

Como ya sabes, debemos triangular la matriz.

Ya tenemos un 1 en el primer elemento de la primera columna, por lo que debemos hacer que el resto de elementos de esa columna sean ceros.

Lo conseguimos restando a la fila 2 dos veces la fila 1 y dejando el resultado en la fila 2:

Y sumando la fila 1 a la fila 3 y el resultado lo dejamos en la fila 3:

La matriz queda:

Nos queda hacer cero el último elemento de la segunda columna y para conseguirlo, a la fila 3 le sumamos dos veces la fila 2, dejando el resultado en la fila 3:

La matriz nos queda:

Tenemos  una fila con ceros, luego quiere decir que tenemos 2 vectores linealmente independientes. Por tanto, el rango de la matriz es 2:

En los casos que hemos resuelto aquí, al triangular la matriz nos quedan 2 ceros en la primera columna y 1 cero en la segunda columna, ya que las matrices tenían 3 filas. Recuerda que triangular la matriz es hacer ceros debajo de la diagonal principal y que en cada caso será distinto, en función del número de filas de la matriz.

Como ves, el procedimiento para calcular el rango de una matriz es siempre el mismo. El siguiente ejercicio es un poco distinto, lo cual te permitirá entender también un poco más este concepto.

Ejercicio 2

Calcula el rango de la siguiente matriz según el valor de “a”:

En este ejercicio debemos decir cuál es el rango de la matriz, en función de los valores que pueda tomar “a”. Pero no hay que calcular el rango de la matriz para los infinitos valores que puede tomar “a”. Tan sólo nos interesa cuando el lugar que ocupa “a” sea cero o distinto de cero.

Vamos a verlo más despacio.

Para empezar, triangulamos la matriz como siempre. Para ello, hacemos cero el segundo elemento de la primera columna, restando la fila 1 a la fila 2 y dejando el resultado en la fila 2:

El tercer elemento de la primera columna, como tenemos el parámetro “a”, lo dejamos como está. La matriz queda:

Seguimos triangulando la matriz haciendo cero el último elemento de la segunda columna. Para ello, a la fila 3 le restamos la fila 2 y dejamos el resultado en la fila 3:

La matriz queda:

En teoría, la matriz ya está triangulada. Digo en teoría, porque no tenemos un cero en el tercer elemento de la primera columna, sino que tenemos el parámetro “a”.

Conforme está la matriz, no podemos llegar a ninguna conclusión, ya que el rango de la matriz sería 3 independientemente del valor de “a”, ya que en el último elemento de la tercera fila tenemos un 2. Luego el valor de “a” no influye en el resultado.

Sin embargo, si el resto de elementos de la tercera fila fueran todo ceros, el valor de “a” sí que sería determinante. Antes de decirte por qué, vamos a hacer cero ese elemento.

A la fila 3 le restamos dos veces la fila 1. El resultado lo dejamos en la fila 3:

La matriz queda:

Ahora se ve más claro.

Si el elemento a-4 es igual a cero, de donde se obtiene a=4, la matriz tendría dos vectores linealmente independeintes, luego su rango sería 2:

Para cualquier otro valor de a que no fuera 4, es decir, que el elemento a-4 fuera distinto de cero, entonces la matriz tiene 3 vectores linealmente independientes y por tanto su ranto es 3:

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