Resolución de integrales irracionales mediante sustitución trigonométrica

Resolución de integrales irracionales mediante sustitución trigonométrica.

A continuación te voy a explicar paso a paso cómo resolver la integrales irracionales mediante sustitución trigonométrica. Te lo explicaré paso a paso mientras resolvemos un ejemplo.

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¡Vamos allá!

Sustituciones trigonométricas en integrales irracionales. Cambios de variable

Empezaré indicándote cuales son los cambios de variable a realizar en función del radical y de los términos que tengamos dentro.

A estos cambios de variable se le llaman sustituciones trigonométricas ya que se utilizan razones trigonométricas en las expresiones.

Tenemos tres casos:

Primer caso de sustitución trigonométrica

Cuando en la función a integrar aparece la raíz cuadrada de un número al cuadrado menos una variable x al cuadrado, es decir, de esta forma:

integrales irracionales

La sustitución trigonométrica que hay que hacer en este caso es igualar la variable x al número multiplicado por el seno de t:

integración de funciones irracionales

Después derivamos en ambos miembros para obtener la equivalencia de dx en función de “t”:

como resolver integrales trigonometricas paso a paso

Segundo caso de sustitución trigonométrica

Cuando en la función a integrar aparece la raíz cuadrada de un número al cuadrado más una variable x al cuadrado, es decir, de esta forma:

integral por sustitucion

En este caso, la sustitución trigonométrica que hay que realizar es igualar la variable x al número multiplicado por la tangente de t:

sustitución trigonométrica

Para hallar la equivalencia de dx en función de “t”, derivamos en ambos miembros:

integrales por sustitucion trigonometrica

Tercer caso de sustitución trigonométrica

El tercer caso de sustitución trigonométrica es cuando en la función a integrar aparece la raíz cuadrada de variable x al cuadrado menos un número al cuadrado:

integrales de funciones irracionales

La sustitución trigonométrica a realizar es igualar x al número dividido entre el seno de t:

integral sustitucion

Derivamos en ambos miembros para obtener dx en función de “t”:

integral sustitucion trigonometrica

Existen otras formas de resolver integrales irracionales, las cuales las tienes explicadas en el Curso de Integrales.

Ejercicio resuelto de una integral irracional mediante sustitución trigonométrica

Vamos a resolver un ejemplo de una integral irracional en la que tengamos que realizar alguno de los cambios de variable propuestos en el apartado anterior.

Tenemos la siguiente integral:

sustitución trigonométrica integrales

Se trata de la integral de una función irracional, ya que tenemos un radical, pero no tenemos por qué saber cuál es el método de resolución o el cambio de variable a realizar. Antes hay que descartar otras posibilidades.

Si la integral hubiera sido de esta forma:

resolucion de integrales irracionales

Se hubiera resuelto de una forma más simple, mediante integrales inmediatas, pero no tenemos el 2x y tampoco se lo podemos añadir, por lo que no podemos resolver la integral por este método.

Tampoco podemos resolver la integral por partes.

Así que, no queda más remedio que utilizar el método de integración con cambios de variable de sustituciones trigonométricas.

En este caso tenemos la raíz cuadrada de un número menos x al cuadrado. Si observamos los casos anteriores, la que más se le parece es el primer caso, pero para ello, necesitamos tener un número al cuadrado:

No tenemos ningún número elevado al cuadrado, por tanto, la primera clave para empezar a resolver la integral es retocarla, para que aparezca el primer término elevado al cuadrado y así podamos realizar el cambio de variable propuesto.

Como queremos que el número aparezca al cuadrado, el 2 lo podemos poner como raíz de 2 y elevarlo al cuadrado. De esta forma, sigue siendo 2 (no hemos variado el número) pero ya aparece elevado al cuadrado que es lo que estábamos buscando:

que es una funcion irracional

Ahora ya podemos realizar el cambio de variable, donde “a” es raíz de 2:

integral irracional

Sustituimos el nuevo valor de x y de dx en nuestra integral:

integrar por cambio de variable

Ahora dentro de la raíz operamos y resolvemos los cuadrados:

integral raiz de x

Sacamos factor común al 2, dentro de la raíz:

sustitucion trigonometrica

Y sacamos el 2 fuera de la raíz, que pasa a multiplicar al raíz como raíz de 2:

integracion por sustitucion trigonometrica

Cambios trigonométricos para simplificar los cálculos

Llegados a este punto, tenemos que realizar varios cambios trigonométricos para simplificar los cálculos.

A partir del teorema fundamental de trigonometría, despejamos coseno de t:

resolver integrales por sustitucion trigonometrica

Y si te das cuenta, es igual a uno de los radicales que tenemos. Por tanto, sustituimos ese radical por coseno de t. En este paso también he multiplicado las raíces de 2, cuyo resultado es 2 y sacado la constante fuera de la integral. Me ha quedado así:

integrales cambio de variable

Multiplicamos los dos cosenos que nos quedan dentro de la integral:

integrales por sustitución

Y realizamos otro cambio trigonométrico, que nos hará la vida más fácil a la hora de integrar:

integrales por sustitución trigonométrica ejemplos

Lo sustituimos en nuestra integral:

integrales por sustitución trigonometrica ejercicios resueltos

Ahora separamos la fracción en una suma de dos fracciones (una por cada sumando del numerador y manteniendo el mismo denominador) y la integral de esa suma de fracciones la ponemos como una suma de integrales:

integrales por sustitucion ejercicios resueltos paso a paso

Sacamos las constantes fuera de cada integral:

integrales por sustitucion trigonometrica resueltas paso a paso

Y por fin, integramos las dos integrales inmediatas que nos han quedado (bueno, la integral de coseno de 2t es casi inmediata):

integrales irracionales ejercicios resueltos

Operamos para eliminar el paréntesis y nos queda:

integrales irracionales cambio de variable

Llegamos ahora a otro cambio trigonométrico, para simplificar el resultado, que es el siguiente:

integrales de funciones irracionales casos

Y lo sustituimos en nuestro resultado:

cambios integrales irracionales

Y operamos las constantes:

integrales irracionales casos

Deshacer el cambio de variable

Ya no podemos simplificar más el resultado realizando cambios trigonométricos, ni operando con las constantes.

Por tanto, vamos a poner la solución en función de x, que es como debe darse el resultado, ya que el cambio de variable lo hemos hecho nosotros para poder integrar, pero el resultado hay que darlo siempre en función de x.

Para ello, debemos buscar una expresión en función de x, para cada uno de los términos en función de t, es decir, tenemos que poner t, seno de t y coseno de t, en función de x y eso lo vamos a ir obteniendo del cambio de variable que hicimos al principio.

Realizamos este cambio de variable:

calculo integrales irracionales

De aquí podemos despejar seno de t, que lo tenemos en nuestra solución:

integrales de irracionales

Ya tenemos una expresión de seno de t en función de x.

De esta última expresión, despejamos t y obtenemos su expersión en función de x

integrales indefinidas de funciones irracionales

Nos queda encontrar la expresión para coseno de t. que la vamos a obtener del teorema fundamental:

integrales indefinidas irracionales

Despejamos coseno de t y queda:

ejercicios de integrales indefinidas irracionales

Como anteriormente hemos obtenido la expresión en función de x para el seno de t, la sustituimos en la expresión del coseno y queda:

integrales de algunas funciones irracionales

Por lo que ya tenemos también la expresión en función de x del coseno de t.

Ahora sustituimos t, sen t y cos t en la solución y llegamos al fin a la solución de la integral irracional en función de x:

integrales funciones irracionales

Hasta aquí ya está resuelta la integral, pero todavía podemos simplificar más el resultado.

Voy a seguir para que veas cómo se hace. Podemos resolver el cuadrado dentro de la raíz:

integrales irracionales tipos

Dentro de la raíz realizamos la suma de fracciones:

integrales de funciones irracionales ejercicios resueltos

Sacamos fuera de la raíz el denominador:

integrales irracionales binomias

Ahora multiplicamos las fracciones que nos quedan en el segundo término y añadimos + C, porque no se puede simplificar más:

integrales irracionales

¡Por fin hemos terminado! 🙂

Como ves, para resolver integrales irracionales de este tipo, hay que tener en cuenta varios cambios trigonométricos. Lo bueno es que son siempre los mismos cambios (por eso te los he puesto en azul) y el procedimiento es siempre el mismo.

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