Sistemas de inecuaciones con dos incógnitas. Ejercicios resueltos.

En esta lección te voy a explicar cómo resolver sistemas de inecuaciones con dos incógnitas. Lo veremos paso a paso con ejercicios resueltos.

¡Empezamos!

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Cómo resolver sistemas de inecuaciones con dos incógnitas

Tal y como tienes explicado en el Curso de Inecuaciones, una inecuación con dos incógnitas se resuelve de forma gráfica y su solución es un semiplano limitado por la recta que resulta al convertir la inecuación a ecuación.

En un sistema de inecuaciones con dos incógnitas, la solución estará formada por la intersección de los semiplanos de cada una de las inecuaciones, es decir, será el recinto que tengan en común todas las inecuaciones.

Las rectas pueden pertenecer o no a la solución en función de si llevan el signo igual en la desigualdad y si están dentro de esa solución común.

Vamos  a verlo todo más despacio con un ejemplo:

Resolver el siguiente sistema de inecuaciones con dos incógnitas:

Para resolver el sistema, debemos resolver por separado cada inecuación y después el recinto donde coincidan ambas soluciones será la solución del sistema.

Por tanto, empezamos resolviendo la primera inecuación don dos incógnitas (lo tienes explicado con más detalle en su lección:

Obtenemos la ecuación correspondiente a la inecuación cambiando la desigualdad por el signo igual:

Despejamos “y” para dejarlo igual que la ecuación de una recta:

Y pasamos a representarla. Para ello, necesitamos dos puntos de la recta, que los obtenemos dándole cualquier valor a la x y calculando sus valores de “y” correspondientes. Estos valores serán las coordenadas de los puntos.

Le damos a x el valor de x=0 y calculamos el valor de “y”:

Para obtener el segundo punto, le damos a x el valor 1 y calculamos su valor de “y”:

En una tabla de valores queda de la siguiente manera:

Representamos ambos puntos en los ejes de coordenadas:

Y unimos los puntos para representar la recta:

Vamos a ver cuál de los dos semiplanos es la solución de la inecuación. Para ello, debemos elegir un punto de cualquiera de los dos semiplanos y ver si cumple la desigualdad.

Eligiremos el punto (0,0), que está en el semiplano que queda por debajo de la recta.

Por tanto, en la inecuación:

Sustituimos x e “y” por 0:

Lo que nos queda:

0 es menor que 5, por lo que la desigualdad se cumple. Por tanto, ese semiplano es la solución de la desigualdad.

Además, tenemos el signo igual en la desigualdad, por lo que la propia recta también forma parte de la solución.

Representamos la solución de esta inecuación y nos queda

Ahora vamos a resolver la segunda inecuación:

Obtenemos su ecuación correspondiente cambiando la desigualdad por el signo igual:

Despejamos “y”:

Y representamos la recta correspondiente.

Para ello, le damos dos valores a x y calculamos sus valores de “y” y obtendremos los dos puntos de la recta.

Cuando x=0, calculamos su valor de “y”:

Hacemos los mismo para x=1:

La tabla de valores nos queda:

Representamos ambos puntos en los ejes de coordenadas, pero en los mismos ejes donde hemos representado la solución de la inecuación anterior:

Unimos ambos puntos para representar la recta. Esta vez, como la desigualdad no tiene el signo igual, la recta la representamos a trazos, ya que no va a formar parte de la solución. Es una forma visual de decir que esa recta no formará parte de la solución:

Para comprobar qué semiplano es la solución de esta inecuación, elegiremos el punto (0,0) y veremos si se cumple la desigualdad.

Por tanto, en la segunda inecuación:

Sustituimos x e “y” por 0:

Y nos queda:

Nos queda que 0 es mayor que 6, lo cual no es cierto. Por tanto, el semiplano solución es el semiplano contrario a donde está el punto (0,0), es decir, que queda a la izquierda de la recta.

Esta vez, la recta no forma parte de la solución al no tener la desigualdad el signo igual (por eso la hemos representado a trazos).

La solución de la segunda inecuación queda representada de la siguiente manera:

Una vez tenemos la solución de ambas inecuaciones, la solución del sistema es el recinto intersección de ambas soluciones.

La solución es el área en común de ambas soluciones. Además, la parte izquierda de la primera recta, también forma parte de la solución, ya que es solución común a ambas inecuaciones: es solución común a la primera inecuación por el signo igual de la desigualdad y es común a la segunda inecuación porque queda dentro de su semiplano solución.

La solución del sistema queda representada de la siguiente manera, que en este caso es el área y parte de la recta pintada de verde:

Es muy importante tener en cuenta qué rectas forman parte o no de la solución, ya que es una parte que se suele olvidar a la hora de resolver sistemas de inecuaciones de dos incógnitas.

Sistema de tres inecuaciones con dos incógnitas

Vamos a ver ahora cómo resolver un sistema de tres inecuaciones con dos incógnitas.

El procedimiento para resolverlo es el mismo que para los sistemas de dos inecuaciones con dos incógnitas, es decir, hay que resolver cada inecuación por separado y después, la solución del sistema será la intersección de todas las soluciones de cada una de las inecuaciones.

Muy importante este último punto. Si hay alguna solución que no intersecta con las demás, el sistema ya no tendría solución. Es necesario que todas las soluciones tengan un área común.

Por ejemplo, vamos a resolver el siguiente sistema de tres inecuaciones con dos incógnitas:

Resolvemos la primera inecuación:

Obtenemos inecuación, cambiando la desigualdad por el signo igual:

Despejamos “y”:

Y representamos la recta resultante en los ejes de coordenadas. Para ello, necesitaremos dos puntos que pertenezcan a la recta.

El primer punto lo obtenemos dando a la x el valor de x=0:

Y el segundo punto lo obtenemos dando a la x el valor de x=2:

La tabla de valores queda así:

Representamos los dos puntos en los ejes de coordenadas:

Unimos los puntos para representar la recta:

Para hallar el semiplano que es solución, probaremos si se cumple la desigualdad con el punto (0,0).

Por tanto, en la inecuación:

Sustituimos x e “y” por 0:

Y nos queda:

0 es menor que 6, luego ese lado es el semiplano solución. Además, como la desigualdad tiene el signo igual, la recta también forma parte de la solución:

Seguimos con la segunda inecuación:

La convertimos en una ecuación, sustituyendo la desigualdad por el signo igual:

Y la representamos en los mismos ejes de coordenadas que la inecuación anterior:

En este caso, los valores de x que sean mayores o iguales que -2, formarán parte con la solución, que son todos los valores que quedan a la derecha de la recta.

Por tanto, la solución es el semiplano que queda a la derecha y además, la recta también forma parte de la solución:

Seguimos con la tercera inecuación:

Obtenemos su ecuación:

Y la representamos en los mismos ejes de coordenadas que las otras dos inecuaciones:

En este caso, la solución son los valores de y que sean menores que -1, es decir, lo que quedan por debajo de la recta. Además, la recta también forma parte de la solución:

La solución final del sistema es el recinto donde todas las soluciones tienen algo en común que es el recinto que queda con forma de triángulo, además de los tramos de rectas que lo forman:

Si tan sólo una de las soluciones no hubiera coincidido con las otras dos, entonces el sistema no hubiera tenido solución.

Sistema de inecuaciones con dos incógnitas sin solución

Como te he indicado anteriormente, los sistemas de inecuaciones con dos incógnitas no tienen solución cuando no existe ningún recinto que sea común a todas las soluciones.

Por ejemplo, tenemos el siguiente sistema de dos inecuaciones con dos incógnitas:

Resolvemos la primera inecuación:

Obtenemos su ecuación:

Despejamos “y”:

Obtenemos su tabla de valores:

Y la representamos en los ejes. La representamos a trazos, al no formar parte de la solución, por no tener un igual en su desigualdad:

El punto (0,0) es el que cumple la desigualdad, por lo que el semiplano donde cae el punto (0,0) es la solución de esa inecuación:

Resolvemos la segunda inecuación:

Obtenemos su ecuación:

Despejamos “y”:

 

Y obtenemos su tabla de valores para representar la recta:

La representamos en los mismos ejes que la inecuación anterior:

 

El punto (0,0) no cumple la desigualdad, por lo que la solución es el otro semiplano, que queda a la derecha de la recta y la propia recta:

No hay ningún recinto donde ambas soluciones tengan algo en común, por lo que el sistema no tiene solución.

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