¿Quieres saber cómo calcular la ecuación de una recta? ¿Qué datos necesitas para calcularla? ¿Cómo interpretar la ecuación de una recta?
Uno de los mayores problemas se suelen tener para hallar la ecuación de la recta, es que la mayoría de las veces no se tiene claro que forma tiene esta ecuación. Por tanto, tampoco se sabe qué significa cada uno de los términos de la ecuación ni mucho menos cómo calcularla.
Por eso, a continuación voy a explicarte una forma muy sencilla para calcular la ecuación de una recta y qué datos necesitas como mínimo.
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Existen otras formas de calcular la ecuación de una recta, pero lo que te voy a enseñar a continuación, te servirá como punto de partida y te sacará de más de un apuro. Para mí es la forma más fácil de calcular la ecuación de una recta y además vas a poder resolver todos los ejercicios que necesites calcular rectas, a excepción de los que te digan concretamente que calcules una forma determinada de ecuación.
Una vez lo asimiles, podrás obtener otras formas de la ecuación de una recta con más facilidad, pero eso lo dejamos para más adelante.
Voy a empezar explicándote cómo es la ecuación de una recta
¿Cómo es la ecuación de la recta? La ecuación explícita de la recta
La ecuación de una recta puede tener muchas formas. Pero ahora, nos vamos a centrar en ésta:
Esta es la ecuación explícita de una recta. En el primer miembro tenemos la y despejada y en el segundo miembro tenemos dos términos, uno con x multiplicado por el coeficiente m y otro término formado por el coeficiente n.
¿Qué significan coeficientes m y n?
Voy a explicarte brevemente qué significa cada uno de ellos. No quiero entrar al detalle porque daría para otro artículo entero y tampoco es el objetivo de este post. Sólo quiero que tengas una visión global.
m es la pendiente. La pendiente tiene que ver con la inclinación de la recta con respecto al eje x. A mayor pendiente, la recta es más inclinada y a menor pendiente, menos inclinada. Puede ser positiva o negativa.
n es el punto donde la recta corta al eje y.
Por ejemplo, estas son dos ecuaciones de dos rectas:
Si las representamos, nos queda:
La primera recta:
Tiene una pendiente es m=2 y corta al eje y en el punto 1, ya que n=1
La segunda recta:
Su pendiente es m=3, por tanto es más inclinada que la anterior. Por otro lado, n=2, por lo que esta recta corta al eje y en el punto 2.
¿Cómo calcular la pendiente de una recta?
Hay muchas formas de calcular la pendiente de una recta. Te voy a enseñar algunas de ellas, que va a ser las que más utilices.
Como hemos dicho antes, la pendiente indica la inclinación que tiene la recta con respecto al eje x. Esta inclinación se calcula dividiendo la distancia vertical entre la distancia horizontal entre dos puntos de una recta.
Esos dos puntos de una recta, en general tendrán de coordenadas (x1,y1) y (x2,y2) para los puntos 1 y 2 respectivamente:
La distancia vertical la calculamos restando las coordenadas del eje y de cada punto, y la distancia horizontal, restando las coordenadas del eje x de cada punto. Por tanto m se puede calcular con esta fórmula:
Por otro lado, la recta forma un ángulo α con la horizontal. Otra forma de calcular la pendiente, si se conoce este ángulo es con la tangente:
Rectas paralelas y perpendiculares.
Otra forma de obtener la pendiente de una recta es indicando que es paralela o perpendicular a otra recta dada.
Siendo m’ la pendiente de la recta perpendicular.
Por tanto, lo primero que hay que hacer en estos casos es calcular la pendiente de la recta dada. Para ello, debemos ponerla en su forma explícita:
Y el coeficiente m, será la pendiente de la recta, es decir, el número que quede multiplicando a la x. Te recuerdo que si no tiene nada, es equivalente a que tenga un 1.
Por ejemplo, ¿qué pendiente tiene esta recta?
Para obtenerla, en primer lugar dejamos la ecuación en su forma explícita:
Y ahora ya se ve más claro que la pendiente es:
¿Qué pendiente tendría otra recta paralela a ésta?
Cualquier recta paralela a la anterior tendrá la misma pendiente, es decir, el mismo coeficiente m:
¿Qué pendiente tendría otra recta perpendicular?
Una vez tenemos definida la pendiente de la recta dada, la pendiente de la recta perpendicular, guarda esta relación como hemos visto antes:
Por tanto, la pendiente de la recta perpendicular será:
Cómo hallar la ecuación de una recta
Fórmula de la ecuación punto pendiente
Bien, ya sabemos calcular la pendiente, pero sólo con la pendiente no es suficiente para calcular la ecuación de una recta.
Rectas con la misma pendiente existen infinitas. Por tanto, para definir la recta que queremos exactamente, necesitamos conocer también un punto por donde pase la recta que queramos calcular.
Por tanto, para calcular la ecuación de una recta necesitamos conocer la pendiente y un punto por donde pase. Con estos dos datos, puedes calcular la ecuación de una recta con ésta fórmula, conocida como ecuación punto pendiente:
Donde m es la pendiente y X0 e Yo son las coordenadas del punto por el que pasa la recta.
Por ejemplo: Calcular la ecuación de una recta que tenga como pendiente m=3 y pase por el punto P(2,1)
Los datos que nos da el enunciado son estos:
Sustituimos los datos en la ecuación punto pendiente:
Operamos:
Y finalmente queda la ecuación de la recta que no están pidiendo
Vamos a ver otro ejemplo: Calcular la ecuación de la recta paralela y otra perpendicular a ésta y que pasen por el punto P(0,0):
En primer lugar, hay que obtener la pendiente. Ya la obtuvimos en el ejemplo anterior. Su pendiente es:
Vamos a calcular la recta paralela a ésta y que pase por el punto P(0,0), con la fórmula de la ecuación punto pendiente:
Sustituimos los datos que tenemos:
Nos queda:
Y operamos para obtener la ecuación de la recta paralela a la dada y que pase por el punto P(0,0):
Ahora vamos a calcular la ecuación de la recta perpendicular. Su pendiente es:
Por tanto tenemos estos datos:
Que sustituimos en la fórmula:
Y finalmente nos queda:
Ecuación que pasa por dos puntos
Ahora vamos a ver cómo podemos obtener la ecuación de una recta cuando conocemos sólo dos puntos por los que pasa.
Una forma de calcularla sería primero calculando la pendiente de la recta a partir de los dos puntos y luego aplicando la fórmula de la ecuación punto pendiente, pero lo vamos a hacer de otra forma más rápida que es aplicando la fórmula de la ecuación que pasa por dos puntos.
Si tenemos dos puntos A y B con coordenadas:
La ecuación que pasa por dos puntos sería:
Por ejemplo:
Calcular la ecuación que pasa por los puntos A (1,3) y B (2, 5).
Tenemos los puntos:
Sustituimos sus coordenadas en la fórmula de la ecuación que pasa por dos puntos:
Operamos en los denominadores:
Pasamos el 2 multiplicando al primer miembro y el 1 multiplicando al segundo miembro:
Operamos paréntesis:
Y finalmente despejamos «y», obteniendo la ecuación explícita de la recta:
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Grandiosa explicación. Muy útil, sobre todo para los chicos que recién están comenzando a aprender esta materia. Como docente (no de esta área, pero nunca está de más aprender algo nuevo- o viejo, pero olvidado), sé que es difícil enseñar, y tú lo haces bien, tienes pedagogía, es decir, lo logras dar a entender de forma amena.
Te recomendaré a mis alumnos.
Saludos
Muchísimas gracias por tus palabras.
Un saludo 🙂