Teorema de Gauss para factorizar polinomios. Ejercicios resueltos

A continuación te voy a explicar cómo aplicar el teorema de Gauss para factoizar un polinomio en factores. Este teorema hay que combinarlo con el teorema del resto y con las propiedades de las raíces para obtener la descomposición del polinomio.

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Teorema de Gauss

El teorema de Gauss nos dice que las posibles raíces de un polinomio se obtienen mediante del cociente entre los divisores del término independiente y los divisores del coeficiente principal (coeficiente del término de mayor grado).

Por ejemplo, imaginemos que tenemos un polinomio de grado 4:

Sus posibles raíces serían todos los cocientes de cada divisor de el coeficiente e y cada divisor del coeficiente a:

Tendríamos que ir realizando los cocientes de todas las combinaciones de cada uno de los divisores del término independiente entre cada divisor del coeficiente principal.

Para calcular cuales de estas posibles raíces corresponden a las raíces del polinomio, aplicamos el teorema del resto, es decir, serán raíces aquellas que hagan que el valor del polinomio sea cero.

Una vez obtenidas las raíces, el polinomio lo podemos expresar como:

Donde a es el coeficiente principal y los diferentes x1, x2, x3… son las raíces del polinomio. Te recuerdo que el número de raíces de un polinomio coincide con el grado de ese polinomio.

Ejercicio resuelto del teorema de Gauss para descomponer polinomios

Vamos a ver todo esto con un ejemplo para que lo asimiles mejor: aplicar el teorema de Gauss para descomponer el siguiente polinomio:

En primer lugar, vamos a simplificar todos los términos del polinomio, dividiéndolos entre 3, para simplificar todo el procedimiento:

Lo hacemos así porque al tener como coeficiente principal un 1, las posibles raíces coincidirán con los divisores del término independiente y no tendremos que estar combinando ambos divisores para encontrar las raíces. De esta forma, el número posibles raíces se reduce considerablemente.

Los divisores primo del término independiente, que en este caso es 24 son:

Pero no hay que olvidar, que también tenemos divisores compuestos, como son:

Para comprobar, cuales de estas posibles raíces corresponden a las raíces del polinomio, no nos queda más remedio que ir aplicando el teorema del resto, comprobando cuáles de ellas hace que el valor del polinomio sea 0.

Como el polinomio es de grado 4, debemos encontrar 4 raíces de entre todas las posibles.

Empezamos por los divisores más pequeños, ya que las operaciones son más simples. Empezamos comprobando el valor del polinomio con el 1:

El valor del polinomio es igual a 0, por lo que 1 es raíz del polinomio:

Seguimos con -1:

El valor del polinomio es distinto de cero, por lo que -1 no es una raíz del polinomio:

Seguimos con 2:

El valor del polinomio es igual a -24, distinto de cero, por lo que 2 no es una raíz del polinomio:

Seguimos con -2:

El valor del polinomio con x=-2 es igual a 0, por lo que -2 es la segunda raíz del polinomio.

Nos quedan otras dos raíces.

Probamos con el 3:

El valor del polinomio es 0, por tanto x=3 es otra raíz del polinomio:

Ya hemos encontrado tres raíces. Sólo nos queda una más.

Seguimos probando con x=-3:

El valor del polinomio con x=-3 no es igual 0, por lo que -3 tampoco es raíz del polinomio:

Seguimos con 4:

El valor del polinomio no es 0 con x=4, por tanto, 4 no es raíz del polinomio:

Probamos con x=-4:

El valor del polinomio xon x=-4 es 0. Por tanto x=-4 es otra raíz del polinomio:

Y con esta raíz ya llevamos las cuatro raíces que estábamos buscando, que son éstas:

Según el método de Gauss para factorizar polinomios el polinomio descompuesto tiene esta forma:

Por lo que tenemos que sustituir el valor de a y de las raíces por sus valores:

Finalmente operamos y nos queda:

Como ves, descomponer polinomios mediante el teorema de Gauss es ir probando con distintas posibles raíces hasta ir encontrándolas una a una, por lo que no se trata de un método directo de descomposición de polinomios. Es todavía menos directo que el método de Ruffini, ya que con el método de Ruffini, conforme vamos avanzando, vamos descartando más posibilidades.

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