En un ejercicio te piden que tienes que utilizar la regla de Ruffini. Te dispones a hacerlo pero te das cuenta que no sabes ni empezar. Has visto en clase a tu profesor hacerlo varias veces, pero ahora tú no sabes cómo se el método de Ruffini.
En este post vas a encontrar un ejemplo resuelto con una explicación muy sencilla de la regla de Ruffini paso a paso. Si necesitas clases de matemáticas online, indicarte que lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas:
Sólo tienes que dejarte guiar por mí verás como tu nota y tu tiempo libre subirán como la espuma.
Pero ahora, ¿qué es la regla o método de Ruffini y para que se utiliza? La regla de Ruffini es un método que permite:
- Resolver ecuaciones de tercer grado o mayor (cuarto grado, quinto grado …)
- Dividir un polinomio entre un binomio que sea de la forma x-a
- Factorizar polinomios de tercer grado o mayor (cuarto grado, quinto grado …)
- Calcular las raíces de polinomios de grado mayor o igual a 3
Regla de Ruffini para resolver ecuaciones y factorizar
Aquí tienes un vídeo con ejercicios resueltos sobre la factorización de polinomios con la regla de Ruffini:
Sigue leyendo si quieres entenderlo todo más despacio
Como hemos comentado en la introducción, la regla de Ruffini se utiliza para resolver ecuaciones de tercer grado o mayor.
Para resolver ecuaciones de primer grado utilizamos un método, para las ecuaciones de segundo grado se utiliza otro método y para resolver las ecuaciones de tercer grado o mayor, o dicho de otra forma, para ecuaciones de grado superior a dos, se utiliza el método de Ruffini.
Con la regla de Ruffini, solamente se obtienen las soluciones enteras. Si la ecuación tiene soluciones complejas o reales, éste método no es válido.
Veremos que para obtener las soluciones de la ecuación, previamente hay que factorizar, por lo que con el mismo ejemplo explicaremos ambos conceptos.
Vamos a resolver un ejemplo explicando paso por paso.
Tenemos la siguiente ecuación:
1 – Identificamos los coeficientes de cada término, que son los números que van delante de la incógnita. Para la ecuación anterior, los represento en verde para identificarlos:
2 – Trazamos dos líneas perpendiculares de esta forma:
3 – Colocamos los coeficientes ordenados por su grado de mayor o menor:
En la regla de Ruffini, el grado va disminuyendo de 1 en 1 y cada grado tiene su lugar. Por ejemplo si no tuviérmos ningún término que tenga x², en el lugar del grado 2, se colocaría un 0.
Los números que hemos escrito hasta ahora en el método de Ruffini, es equivalente a escribir la ecuación, es decir:
4 – Ahora escribimos un número a la izquierda de la línea vertical. Más adelante explicaremos qué número colocar aquí y por qué. De momento, empezamos con el 1.
Ese número corresponde al número (a) del binomio x – a:
En este caso, escribir ahí un 1, significa el binomio (x – 1) en el método de Ruffini
5 – Empezamos a ejecutar el método. El primer hueco de la segunda fila, siempre se deja libre:
6 – Se hace la suma de la primera columna y el resultado de pone abajo:
7 – Se multiplica el número de la izquierda por el resultado de la suma de la primera columna. El resultado se coloca en el hueco de la segunda columna:
8 – Se realiza la suma de la segunda columna:
9 – Se multiplica el número de la izquierda por el resultado de la suma de la segunda columna. El resultado se coloca en el hueco de la tercera columna:
10 – Así sucesivamente hasta completar todas las columnas:
El objetivo es que en la última columna tengamos un 0. Esta es la explicación de qué número colocar a la izquierda de la línea:
Si no tenemos un cero, tendríamos que probar con otro número a la izquierda de la línea vertical y reiniciar el proceso.
En el Curso de Polinomios, te enseño el método para que encuentres con facilidad el número para que resulte 0 en la última columna. Además de aprender como hacer Ruffini, tendrás más ejemplos del método de Ruffini y ejercicios explicados paso a paso.
Una vez hemos obtenido un cero al final, vamos a ver qué significa lo que tenemos hasta aquí:
Lo que nos ha quedado en la última fila es otra ecuación, pero ahora, el número que está a la izquierda del 0, tiene grado 0 y éste va aumentando de 1 en 1 hacia la izquierda. En este caso, nos queda lo equivalente a tener esta ecuación:
Y como hemos visto antes, el 1 a la izquierda de la línea vertical significaba:
Lo que quiere decir que lo que tenemos hasta ahora es el producto de esas dos ecuaciones, que es igual a la ecuación original:
[hr]
11 – Con la fila que nos ha quedado, volvemos a empezar. Empezamos probando con el 1:
12 – Igual que antes, vamos multiplicando con el resultado de sumar en cada columna:
Al final tenemos un 6, y lo que queremos es tener un cero. Por tanto, debemos seguir probando, con -1, con 2, con -2… hasta encontrar el número que nos haga tener un cero en la última columna.
El número que nos hace tener un 0 al final es el -2:
¿Y ahora que hacemos? ¿Cómo sabemos que hemos terminado?
El mayor grado de la última fila es 1, por tanto hemos terminado:
El resultado de la factorización de la ecuacuón por el método de Ruffini es el producto de la última fila y de los números que están a la izquierda de la línea vertical, pero expresados en forma de ecuación:
Por tanto, nuestra ecuación será:
Hasta aquí hemos factorizado la ecuación. Ahora vamos a resolverla:
1 – Igualamos a 0, tal y como estaba en un principio
2 – Recuerda que cuando una multiplicación de dos o más factores tiene como resultado 0, quiere decir que uno de los factores es 0, ya que cualquier valor multiplicado por 0 es 0. Por tanto, cualquier factor podría ser 0.
Nos quedan tres ecuaciones de primer grado para despejar, de donde obtenemos las tres soluciones (ya que es una ecuación de tercer grado):
Soluciones: -1, -2 y 1
La Regla de Ruffini para Dividir entre Binomios de la forma x-a
En este caso, la regla de Ruffini sirve para realizar una división de polinomios, donde el divisor es un binomio de la forma (x-a).
Por ejemplo, nos piden realizar la siguiente división:
Como el divisor es x-2, es decir, es de la forma x-a, utilizamos la regla de Ruffini. Solo debemos aplicar la regla una sola vez.
Esta vez, el número que tenemos que colocar a la izquierda de la línea vertical es 2 (la a de x-a) y no tenemos que preocuparnos de si tenemos un cero en la columna final o no. El resultado que nos dé, será el resto de la división:
El cociente de la división será el polinomio formado por los coeficientes de la última fila:
Y el resto será el último elemento de la última fila:
Ejercicios propuestos
Ejercicio 1
Realiza las siguientes divisiones por la regla de Ruffini:
Ejercicio 2
Calcula el valor de a en cada caso:
a) La siguiente división es exacta:
b) El resto de la siguiente división es 4:
Ejercicio 1
Aquí tienes un vídeo con las soluciones de los ejercicios:
Y aquí tienes los resultados del vídeo:
Ejercicio 2
Apartado a:
Tenemos la siguiente división, cuyo resultado es exacto:
En primer lugar colocamos los coeficientes en la primera fila. Como no tenemos término con x al cuadrado, en su lugar colocamo un 0:
Como estamos dividiendo entre x-3, a la izquierda de la línea vertical, colocamos un 3 y como la división es exacta, colocamos un 0 en el último lugar de la fila que queda por debajo de la línea horizontal:
Ahora aplicamos la regla de Ruffini para completar el resto de huecos:
En la última columna nos queda:
Donde despejamos el coeficiente a:
Apartado b:
Tenemos la siguiente división, cuyo resto es igual a 4:
Colocamos los coeficientes en la primera fila:
Como dividimos entre x+2, a la izquierda de la línea vertical, colocamos un -2 y como la división el resto de la división es igual a 4, escribimo un 4 en el último lugar de la fila que queda por debajo de la línea horizontal:
Para completar el resto de huecos aplicamos la regla de Ruffini:
En la última columna nos queda que, donde despejamos a: 
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hola podías resolverme estos ejercicios de división (6X4+3X3-2X):(3X2+2)
Hola Pedro,
Ese tipo de divisiones no se resuelven con la Regla de Ruffini, ya que con esta regla sólo se pueden dividir entre monomios de la forma x-a y en tu caso divides entre 3X²+2.
Debes realizar una división de polinomios con el método general
Saludos
Buenos días, tengo la siguiente interrogante ¿cuantas soluciones o raíces tiene una ecuación de grado 6?
Hola Francis,
El número de soluciones de una ecuación coinciden con su grado. Las ecuaciones de primer grado tienen 1 solución, las de segundo grado 2 soluciones…
Por tanto, una ecuación de sexto grado tendrá 6 soluciones, de las cuales puedes ser reales o complejas
Saludos
Hola, buenas noches, lamento las molestias, pero quisiera saber si hay manera de resolver este problema con el método de Ruffini
5x^8 + 18x^7 + 7x^6 – 16x^5 – 6x^4 + 4x^3
Hola Alex,
Antes de aplicar el método de Ruffini a este polinomio, hay que sacar factor común a x^3 e igualarlo a cero. El polinomio se nos queda de la siguiente manera:
5x^5 + 18x^4 + 7x^3 – 16x^2 – 6x + 4 = 0
Ahora, probando con los divisores positivos y negativos del término independiente (4) comprobamos que con ninguno de ellos sale y por tanto, no es posible resolverlo por la regla de Ruffini. Esto quiere decir que el polinomio es irreducible
Hola
no puedo llegar a entender y a resolver este problema de inecuacion con metodo de rufini.
2x+3 ≤ 2x+5
x-1 x-2
Hola,
Las inecuaciones no se resuelven con la regla de Ruffini. La regla de Ruffini sirve para descomponer polinomios o dividir un polinomio entre un monomio de la forma x-a
Hola, buen día.
Necesito ayuda con este, por favor, lo intento por este método, pero no me da. -7x^3+8x^2-4x+11
Hola,
Ese polinomio es irreducible, por eso no te sale con la regla de Ruffini
Buenas noches por favor necesito ayuda por favor.
Cómo se resuelve el ejercicio x^3-x^2+9x-9
Aplicando la regla de Ruffini.
Gracias
Hola,
Ese polinomio solo sale con la regla de Ruffini con -1. Al aplicar el método de Ruffini con -1 tendrás como resultado un polinomio de segundo grado irreducible
Hola no puedo resolver este de rufini 4x⁴-4x³-16x²+16x=0
Y este otro ejercicio
X³-8 =0 por favor.
Hola,
La ecuación 4x⁴-4x³-16x²+16x=0 sí que puedes, ya que sus soluciones son enteras y pertenecen al conjunto de los números reales.
En la ecuación X³-8 =0 no es posible, ya que tiene una solución real y dos soluciones complejas
Saludos
Hola buenas tardes. Quisiera consultar lo siguiente; si tengo un polinomio sin término i dependiente puedo aplicar Ruffini? O debo completar primero con un cero?
Hola,
Puedes poner un cero en ese lugar o bien puedes sacar factor común antes.
Saludos
Buenas, si quiero dividir (x3-3×2+2x)/(2x-1/2) ayúdeme :c
Me podrías indicar si para esta ecuación se puede resolver por Ruffini, ya lo intente y no logro hacerlo
x³+3x^2 +2x-2 =0 tengo problemas cuando llego al +2-2
Hola,
Esa ecuación no es posible resolverla por el método de Ruffini, ya que no tiene soluciones enteras. Te das cuenta de esto cuando pruebas con 1, -1, 2 y -2 (divisores del término independiente) y no sale.
Saludos
Oye perdona y esta x^4-9x^2-4x+12=0. ¿ Es posible?
Yo lo he estado intentando y no me da. A lo mejor si es posible no lose
Hola Javier,
Sí que es posible. Sale con -1, 2 y -3
Ten en cuenta que en este caso falta el término de grado 3 y entonces debes colocar un cero en su lugar
Saludos
que sucede cuando ya no se puede operar por el metodo de ruffino, la operacion queda igual
Hola,
Si no es posible seguir descomponiendo por Ruffini, significa que el último polinomio que nos ha quedado es irreducible
Saludos
-6×3+6×2+18x-2=0 me está volviendo loco…no da exacto por ruffini verdad?
Hola,
No, esa ecuación no sale con el método de Ruffini, ya que no tiene soluciones enteras
Un saludo
el ruffini se puede aplicar tanto en el numerador como en el denominador? porque siempre veo ejemplos en el numerador…
Hola,
El método de Ruffini se emplea para descomponer polinomios. El polinomio puedes estar en el numerador o en el denominador
HOlaaa buenas PREGUNTA URGENTE!
si no se puede hacer ruffini que se hace?? por ejemplo:
si tenemos 2x^4 – 8 en principio factorizamos sería 2( x^4 – 4) no????
si hago ruffini de (x^4 – 4) si los divisores son +-(1, 2, 4) PORQUEEE NO ME DAAA???? 🙁
no hay ninguno que me deje hacer rufinni porque seria 1 0 0 0 -4 es imposible?
AUXILIOOO!!
2(x^2+2)(x^2-2)=2(x^2+2){x+2^(1/2)}{x-2^(1/2)}
Espero que se entienda
se puede usar como raiz el cero?
Hola,
El cero no puede usarse como raíz ya que ningún número es divisible entre 0. El método de Ruffini no funcionaría
Tengo una duda, ¿tienen que existir los exponentes en forma decreciente para que se pueda resolver con ese método? ejem: x^4+ x^3 + x^2 +x
Intente resolver este ejercicio con ese método pero no funciona
x^3 – 7x + 6
————-
x + 3
Hola,
Sale con 2 y después con 1. Acuérdate de poner un 0 en el lugar de x^2
Un saludo
Hola, buenas tardes. Disculpe profesor necesito que me explique cómo resolver este ejercicio 3 2
X +8X +15X aplicando la regla de ruffini. Este ejercicio no tiene el termino independiente cómo lo resulvo?
Hola. Antes debes extraer factor común. Un saludo
Muchas Gracias
Buenas! Tengo este ejercicio y se me está complicando entender cómo hacerlo:
(No puedo escribir las potencias por eso lo escribo entre paréntesis, espero se entienda)
Sea f(x)= X (elevado a la 6) + a X (elevado a la 5) – 10X (elevado a la 4)
con a perteneciente a los núm reales. Se sabe que -2 es un cero de f. Determinar a
y el conjunto de ceros de f .
1)no tengo término independiente por lo que no sé si lo puedo hacer con Ruffini. Leí que sí se puede sacando factor común pero no sé cómo hacer eso.
2)utilizaría el -2 ese que me dan para colocarlo a la izq de la tabla de Ruffini para resolver?
3)me están faltando las potencias 2 y 1 entiendo que tengo que colocar un 0 (cero) en ese lugar en la tabla de Ruffini
Podrías ayudarme a resolverlo??
Hola Romina,
Este problema se resuelve con el teorema del resto haciendo f(-2)=0 y despejando a
Un saludo!
Hola buenas noches muy buena su explicación queria preguntarle si en este ejercicio puedo Factorizar por Ruffini X⁶-X⁴+X²- 1
Hola Nayde! Sí que puedes aplicar la regla de Ruffini, pero no podrás aplicarlo hasta factorizar con monomios de grado 1, ya que antes llegarás a un polinomio irreducible. Es decir, sale con 1 y con -1 y después ya no puedes seguir ya que el polinomio que te queda de grado 4 es irreducible. Saludos!
En serio Mesirvio muchas grasias . Pero ay una pregunta que quiere pregunta le Es neeesario poner el GRADO
eu, se mucho de mates y me va bien, estaba ayudando a una amiga y encontramos tu sitio, es muy bueno de verdad, ame como lo explicaste
es un metodo de lo mejor si se puede
🙂
xd
FELICIDADES POR TUS CONOCIMIENTOS Y MIL GRACIAS. ACABO DE APRENDER EL PROCEDIMIENTO DE FORMA SENCILLA PARA FACTORIZAR POLINOMIOS DE GRADO 3 Y DIVIDIRLOS MEDIANTE ESTE METODO. SEGUIRE CONSULTANDO ESTA PAGINA. SALUDOS!!
Hola mi consulta es: debo utilizar ruffini en una funcion racional, ambas de primer grado, para expresarla en forma general. Por ejemplo, la funcion es (3x+2)/(x+1) aplicando la regla obtengo 3 y resto -1 y alli no se como continuar. Una ayudita? Gracias
Hola,
Cuando el grado del dividendo es menor que el grado del divisor, has terminado de dividir, por tanto, en tu caso, ya habrías terminado.
Un saludo!
HOLA EN UN EXAMEN TENIAMOS UN EJERCICIO x{4}+4x{3}-2x{2}-12 el tema es derivadas había que hallar máximos minimos puntos críticos y punto de inflexión . no habían explicado en clases como hallar las raíces si al derivar el polinomio queda de grado 3
Hola,
Pues con la regla de Ruffini puedes obtener las raíces del polinomio de tercer grado.
Un saludo
Por fin tengo a alguien que me entiende!!
Hola tengo una duda, en el apartado 10. explicas esto:
«Lo que nos ha quedado en la última fila es otra ecuación, pero ahora, el número que está a la izquierda del 0, tiene grado 0 y éste va aumentando de 1 en 1 hacia la izquierda. En este caso, nos queda lo equivalente a tener esta ecuación:»
Mi pregunta es que ¿Que pasa si a la izquierda del «0» tienes tambien por ejemplo un 0?
Ejemplo: Despues de aplicar ruffini me quedan estos numeros a la izquierda del cero de derecha a izquierda -1, 0, 1, ¿Que pasa con ese cero? y que grado tendria el 1 positivo? No se si me he explicado bien agradeceria tu ayuda. este es el unico sitio donde he podido aprender bien ruffini 😀
Hola Manu,
En ese 0 se quedaría un hueco, tal y como hacemos cuando planteamos Ruffini. En el caso que me dices, no tendríamos término con x.
Un saludo
pero como aplico ruffini al tener do variables ej 3a^5-12a^3b^4????
Me salvaste men de que mi profe me matara gracias we :v…. 7u7 ☺
Me alegra haberte ayudado! 🙂
mm creo que te equivocaste; deberia dar como resultado : (x-1)(x+2)(x+1), eso me dio a mi, te equivocaste en los signos
Hola Remi,
Si te das cuenta el resultado es exactamente igual que el mío. El orden de los factores no altera el producto 😉
Un saludo
Hola ekuatio,
Como se hace si en el divisor la x está al cuadrado si la fórmula es x-a? Se puede hacer?
Hola!
Ruffini sólo se puede aplicar si dividimos entre un binomio de la forma x-a. Si quieres dividir entre un polinomio con términos con x al cuadrado, debes utilizar el método general.
Un saludo
Vale, gracias. Me has sido de mucha ayuda.
Hola!
Si la forma de mi ejercicio es de x+a se puede hacer?
Hola!
Sí claro. Siempre puedes poner x-(-a) y ya lo tienes!
hola, me podría explicar por favor ¿qué hacer cuando el polinomio no posee un término independiente? Respondame lo mas antes posible por favor, llevo estudiando mas de 4 horas y todavía me faltan muchos temas
Hola Diego,
Si el polinomio no tiene término independiente, previamente a aplicar la regla de Ruffini hay que sacar factor común.
Un saludo
Tengo
Lim x ->0 de -3x/2x³+5x
¿Puedo aplicar ruffini hay?
Por lo que entiendo
Sería con 0
Hola Víctor,
Ahí tienes que sacar factor común a la x, para simplificar una x arriba y abajo y eliminar la indeterminación.
Si quieres aprender a resolver límites paso a paso, te recomiendo mi Curso de Límites.
Saludos
como se aplica ruffini cuando el coeficiente del exponente mayor es distinto de uno
Hola Rubén,
Si te refieres a que no tienes términos de todos los grados, debes colocar un 0 por cada término que te falte de ese grado.
Saludos
Hola!! Muy buena explicación, sabes como puedo usar las TICS en clase referido a este tema?
Hola Eugenia,
Siento no poder ayudarte en ese sentido. Si veo algo que te pueda interesar te lo digo.
Saludos
Hola no puedo resolver este ejercicio : x³-12x+16
Porfavor requiero su ayuda!!!
Hola Alinda,
No olvides que si te falta un término de grado 2, debes colocar un cero en su lugar. Prueba con 2 y ya verás ;).
Saludos
Que buena pagina amigo!
Me alegra que te guste!
Un saludo 🙂
me gusto mucho la explicacion y pude entender muy bien el metodo rufini me seria muy util si me explicara este ejercicio 14×2
-12+22x entre 7x-3
Hola Nikol,
Esa división no puedes realizarla por Ruffini. Tienes que dividir con el método general.
Un saludo!
excelente. Gracias. |
Gracias por el comentario Caro!
Larga vida al señor David
🙂 Me alegra haberte ayudado
Saludos!
Hola quisiera saber si conoces algún ejercicios que pueda ser contextualizado a la agricultura y que se resuelva mediante el método de Ruffini
Hola Isabel,
Lamento no poder ayudarte, pero no tengo ningún ejercicio que esté contextualizado en la agricultura. No obstante, todas las ecuaciones de grado mayor o igual a 3 se resuelven de la misma forma, sin depender del contexto.
Saludos 🙂
Hola me sirvió mucho tu explicación pero lo que no pude entender es que como sacas (x-1)osea como sabes que es para 1 ¿se intenta con todos ? ¿o tienen que ser divisibles para todos los números? ¿o solo tiene que ser divisible para el ultimo numero? no entinedo muy bien y quisiera que me ayudes por favor
Hola Diane!
Debes empezar probando con 1, -1… hasta conseguir que como resultado un cero en la última columna. No hay ningún método directo para saber con qué número acertaremos a la primera, aunque sí existe una forma de saber con qué números hay que probar. Todo eso te lo cuento más en detalle en el Curso de Polinomios.
Saludos! 🙂
Hola, me gustó mucho tu explicación, pero no entendí porque se cambió el orden de los números que estaban en paréntesis, según el método de ruffini queda como (x-1) (x+2) (x+1) pero luego lo cambias y pones al revés. como sería esa parte?.
gracias.
Hola Nicolle!
El orden de los factores no altera el producto 😉
(x+1)(x+2)(x-1)=(x-1)(x+2)(x+1)=(x+2)(x-1)(x+1)=…
Saludos! 🙂
Hola tengo 35 años y me encantaría aprender matemáticas , por hobby, matemáticas de bachillerato o Universidad…
Hola Antonio. No hay ningún problema. Sólo tienes que registrarte como alumno premium y ya puedes empezar a aprender.
Te espero!
Muy bien explicado. Me ha servido para recordar rápido y fácil lo que había olvidado hace muchos años. Felicidades.
¡Me alegra haberte ayudado!
Buenas tardes,
Tengo que resolver mediante ruffini (x2+ax+b) : (x+2) pero con tres incógnitas no se por donde empezar a resolverlo. ¿Me podrías ayudar?
Un saludo.
Hola Jesstexe,
Si claro. Envíame tu consulta a través del formulario de contacto y te contesto por email.
Un saludo
Muchas gracias muy bien explicado… me ayudo mucho
Me alegra haberte ayudado Frank.
Un saludo 🙂
la es muy buena tu explicación pero desearía saber como puedo resolver una ecuación de 8vo grado..???
Hola Nohemi,
Una ecuación de octavo grado tendrías que resolverla también mediante Ruffini, pero tendrías que utilizar 9 lugares, que corresponderían desde el grado 0 hasta el grado 8.
Saludos 🙂
¿se puede resolver por este metodo las ecuaciones de grado dos?
Hola,
Sí se pueden resolver las ecuaciones de segundo grado por este método, siempre y cuando tengan dos soluciones enteras, pero sería más directo resolverlas utilizando su método, dependiendo si son completas o incompletas.
Un saludo
Gracias por ayudarme para mi examen de algebra sigue haci