La Regla de Ruffini

En un ejercicio te piden que tienes que utilizar la regla de Ruffini. Te dispones a hacerlo pero te das cuenta que no sabes ni empezar. Has visto en clase a tu profesor hacerlo varias veces, pero ahora tú no sabes cómo se el método de Ruffini.

En este post vas a encontrar un ejemplo resuelto con una explicación muy sencilla de la regla de Ruffini paso a paso. Si necesitas clases de matemáticas online, indicarte que lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas:

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Pero ahora, ¿qué es la regla o método de Ruffini y para que se utiliza? La regla de Ruffini es un método que permite:

  • Resolver ecuaciones de tercer grado o mayor (cuarto grado, quinto grado …)
  • Dividir un polinomio entre un binomio que sea de la forma x-a
  • Factorizar polinomios de tercer grado o mayor (cuarto grado, quinto grado …)
  • Calcular las raíces de polinomios de grado mayor o igual a 3

Regla de Ruffini para resolver ecuaciones y factorizar

 

Como hemos comentado en la introducción, la regla de Ruffini se utiliza para resolver ecuaciones de tercer grado o mayor.

Para resolver ecuaciones de primer grado utilizamos un método, para las ecuaciones de segundo grado se utiliza otro método y para resolver las ecuaciones de tercer grado o mayor, o dicho de otra forma, para ecuaciones de grado superior a dos, se utiliza el método de Ruffini.

Con la regla de Ruffini, solamente se obtienen las soluciones enteras. Si la ecuación tiene soluciones complejas o reales, éste método no es válido.

Veremos que para obtener las soluciones de la ecuación, previamente hay que factorizar, por lo que con el mismo ejemplo explicaremos ambos conceptos.

Vamos a resolver un ejemplo explicando paso por paso.

Tenemos la siguiente ecuación:

la regla de ruffini

1 – Identificamos los coeficientes de cada término, que son los números que van delante de la incógnita. Para la ecuación anterior, los represento en verde para identificarlos:

la regla de ruffini

2 – Trazamos dos líneas perpendiculares de esta forma:

regla-de-ruffini

3 – Colocamos los coeficientes ordenados por su grado de mayor o menor:la regla de ruffini

En la regla de Ruffini, el grado va disminuyendo de 1 en 1 y cada grado tiene su lugar. Por ejemplo si no tuviérmos ningún término que tenga x², en el lugar del grado 2, se colocaría un 0.

Los números que hemos escrito hasta ahora en el método de Ruffini, es equivalente a escribir la ecuación, es decir:la regla de ruffini

4 – Ahora escribimos un número a la izquierda de la línea vertical. Más adelante explicaremos qué número colocar aquí y por qué. De momento, empezamos con el 1.

Ese número corresponde al número (a) del binomio x – a:

la regla de ruffiniEn este caso, escribir ahí un 1, significa el binomio (x – 1) en el método de Ruffini

la regla de ruffini

5 – Empezamos a ejecutar el método. El primer hueco de la segunda fila, siempre se deja libre:

la regla de ruffini

6 – Se hace la suma de la primera columna y el resultado de pone abajo:

la regla de ruffini

7 – Se multiplica el número de la izquierda por el resultado de la suma de la primera columna. El resultado se coloca en el hueco de la segunda columna:

la regla de ruffini

8 – Se realiza la suma de la segunda columna:

la regla de ruffini

9 – Se multiplica el número de la izquierda por el resultado de la suma de la segunda columna. El resultado se coloca en el hueco de la tercera columna:

la regla de ruffini

10 – Así sucesivamente hasta completar todas las columnas:

la regla de ruffini

El objetivo es que en la última columna tengamos un 0. Esta es la explicación de qué número colocar a la izquierda de la línea:

la regla de ruffini

Si no tenemos un cero, tendríamos que probar con otro número a la izquierda de la línea vertical y reiniciar el proceso.

En el Curso de Polinomios, te enseño el método para que encuentres con facilidad el número para que resulte 0 en la última columna. Además de aprender como hacer Ruffini, tendrás más ejemplos del método de Ruffini y ejercicios explicados paso a paso.

Una vez hemos obtenido un cero al final, vamos a ver qué significa lo que tenemos hasta aquí:

la regla de ruffini

Lo que nos ha quedado en la última fila es otra ecuación, pero ahora, el número que está a la izquierda del 0, tiene grado 0 y  éste va aumentando de 1 en 1 hacia la izquierda. En este caso, nos queda lo equivalente a tener esta ecuación:la regla de ruffini

Y como hemos visto antes, el 1 a la izquierda de la línea vertical significaba:

la regla de ruffini

Lo que quiere decir que lo que tenemos hasta ahora es el producto de esas dos ecuaciones, que es igual a la ecuación original:

la regla de ruffini

11 – Con la fila que nos ha quedado, volvemos a empezar. Empezamos probando con el 1:

la regla de ruffini

12 – Igual que antes, vamos multiplicando con el resultado de sumar en cada columna:

la regla de ruffini

Al final tenemos un 6, y lo que queremos es tener un cero. Por tanto, debemos seguir probando, con -1, con 2, con -2… hasta encontrar el número que nos haga tener un cero en la última columna.

la regla de ruffini

El número que nos hace tener un 0 al final es el -2:

la regla de ruffini

¿Y ahora que hacemos? ¿Cómo sabemos que hemos terminado?

El mayor grado de la última fila es 1, por tanto hemos terminado:

la regla de ruffini

El resultado de la factorización de la ecuacuón por el método de Ruffini es el producto de la última fila y de los números que están a la izquierda de la línea vertical, pero expresados en forma de ecuación:

la regla de ruffini

la regla de ruffini

la regla de ruffini

Por tanto, nuestra ecuación será:
la regla de ruffini

  

Hasta aquí hemos factorizado la ecuación. Ahora vamos a resolverla:

1 – Igualamos a 0, tal y como estaba en un principio

la regla de ruffini

2 – Recuerda que cuando una multiplicación de dos o más factores tiene como resultado 0, quiere decir que uno de los factores es 0, ya que cualquier valor multiplicado por 0 es 0. Por tanto, cualquier factor podría ser 0.

Nos quedan tres ecuaciones de primer grado para despejar, de donde obtenemos las tres soluciones (ya que es una ecuación de tercer grado):la regla de ruffini

Soluciones: -1, -2 y 1

La Regla de Ruffini para Dividir entre Binomios de la forma x-a

En este caso, la regla de Ruffini sirve para realizar una división de polinomios, donde el divisor es un binomio de la forma (x-a).

Por ejemplo, nos piden realizar la siguiente división:

la regla de ruffini

Como el divisor es x-2, es decir, es de la forma x-a, utilizamos la regla de Ruffini. Solo debemos aplicar la regla una sola vez.

Esta vez, el número que tenemos que colocar a la izquierda de la línea vertical es 2 (la a de x-a) y no tenemos que preocuparnos de si tenemos un cero en la columna final o no. El resultado que nos dé, será el resto de la división:

la regla de ruffini

El  cociente de la división será el polinomio formado por los coeficientes de la última fila:

Y el resto será el último elemento de la última fila:

  

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34 Respuestas a La Regla de Ruffini

  1. robero 15 Diciembre, 2016 en 02:15 #

    ¿se puede resolver por este metodo las ecuaciones de grado dos?

    • ekuatio 15 Diciembre, 2016 en 10:59 #

      Hola,

      Sí se pueden resolver las ecuaciones de segundo grado por este método, siempre y cuando tengan dos soluciones enteras, pero sería más directo resolverlas utilizando su método, dependiendo si son completas o incompletas.

      Un saludo

  2. Nohemi 31 Diciembre, 2016 en 01:31 #

    la es muy buena tu explicación pero desearía saber como puedo resolver una ecuación de 8vo grado..???

    • ekuatio 31 Diciembre, 2016 en 12:10 #

      Hola Nohemi,

      Una ecuación de octavo grado tendrías que resolverla también mediante Ruffini, pero tendrías que utilizar 9 lugares, que corresponderían desde el grado 0 hasta el grado 8.

      Saludos 🙂

  3. Frank 13 Enero, 2017 en 03:42 #

    Muchas gracias muy bien explicado… me ayudo mucho

    • ekuatio 13 Enero, 2017 en 08:11 #

      Me alegra haberte ayudado Frank.

      Un saludo 🙂

  4. Jesstexe 23 Enero, 2017 en 16:49 #

    Buenas tardes,
    Tengo que resolver mediante ruffini (x2+ax+b) : (x+2) pero con tres incógnitas no se por donde empezar a resolverlo. ¿Me podrías ayudar?

    Un saludo.

    • ekuatio 23 Enero, 2017 en 16:57 #

      Hola Jesstexe,

      Si claro. Envíame tu consulta a través del formulario de contacto y te contesto por email.

      Un saludo

  5. Olvidadizo 27 Enero, 2017 en 22:44 #

    Muy bien explicado. Me ha servido para recordar rápido y fácil lo que había olvidado hace muchos años. Felicidades.

    • ekuatio 27 Enero, 2017 en 23:04 #

      ¡Me alegra haberte ayudado!

  6. Antonio 17 Febrero, 2017 en 16:47 #

    Hola tengo 35 años y me encantaría aprender matemáticas , por hobby, matemáticas de bachillerato o Universidad…

    • ekuatio 20 Febrero, 2017 en 10:33 #

      Hola Antonio. No hay ningún problema. Sólo tienes que registrarte como alumno premium y ya puedes empezar a aprender.
      Te espero!

  7. Nicolle Meza 31 Marzo, 2017 en 06:25 #

    Hola, me gustó mucho tu explicación, pero no entendí porque se cambió el orden de los números que estaban en paréntesis, según el método de ruffini queda como (x-1) (x+2) (x+1) pero luego lo cambias y pones al revés. como sería esa parte?.
    gracias.

    • ekuatio 31 Marzo, 2017 en 08:04 #

      Hola Nicolle!

      El orden de los factores no altera el producto 😉

      (x+1)(x+2)(x-1)=(x-1)(x+2)(x+1)=(x+2)(x-1)(x+1)=…

      Saludos! 🙂

  8. Diane 5 Abril, 2017 en 00:17 #

    Hola me sirvió mucho tu explicación pero lo que no pude entender es que como sacas (x-1)osea como sabes que es para 1 ¿se intenta con todos ? ¿o tienen que ser divisibles para todos los números? ¿o solo tiene que ser divisible para el ultimo numero? no entinedo muy bien y quisiera que me ayudes por favor

    • ekuatio 6 Abril, 2017 en 07:33 #

      Hola Diane!

      Debes empezar probando con 1, -1… hasta conseguir que como resultado un cero en la última columna. No hay ningún método directo para saber con qué número acertaremos a la primera, aunque sí existe una forma de saber con qué números hay que probar. Todo eso te lo cuento más en detalle en el Curso de Polinomios.

      Saludos! 🙂

  9. Isabel 9 Abril, 2017 en 23:42 #

    Hola quisiera saber si conoces algún ejercicios que pueda ser contextualizado a la agricultura y que se resuelva mediante el método de Ruffini

    • ekuatio 13 Abril, 2017 en 11:41 #

      Hola Isabel,

      Lamento no poder ayudarte, pero no tengo ningún ejercicio que esté contextualizado en la agricultura. No obstante, todas las ecuaciones de grado mayor o igual a 3 se resuelven de la misma forma, sin depender del contexto.

      Saludos 🙂

  10. Pulpitopoul 10 Abril, 2017 en 15:39 #

    Larga vida al señor David

    • ekuatio 13 Abril, 2017 en 11:39 #

      🙂 Me alegra haberte ayudado

      Saludos!

  11. Caro 1 Mayo, 2017 en 21:14 #

    excelente. Gracias. |

    • ekuatio 2 Mayo, 2017 en 10:41 #

      Gracias por el comentario Caro!

  12. nikol 2 Mayo, 2017 en 01:30 #

    me gusto mucho la explicacion y pude entender muy bien el metodo rufini me seria muy util si me explicara este ejercicio 14×2
    -12+22x entre 7x-3

    • ekuatio 2 Mayo, 2017 en 10:43 #

      Hola Nikol,

      Esa división no puedes realizarla por Ruffini. Tienes que dividir con el método general.

      Un saludo!

  13. Camilo 3 Mayo, 2017 en 05:30 #

    Que buena pagina amigo!

    • ekuatio 3 Mayo, 2017 en 08:49 #

      Me alegra que te guste!

      Un saludo 🙂

  14. Alinda 20 Mayo, 2017 en 00:45 #

    Hola no puedo resolver este ejercicio : x³-12x+16
    Porfavor requiero su ayuda!!!

    • ekuatio 22 Mayo, 2017 en 17:08 #

      Hola Alinda,

      No olvides que si te falta un término de grado 2, debes colocar un cero en su lugar. Prueba con 2 y ya verás ;).

      Saludos

  15. Eugenia 14 Junio, 2017 en 10:33 #

    Hola!! Muy buena explicación, sabes como puedo usar las TICS en clase referido a este tema?

    • ekuatio 15 Junio, 2017 en 08:57 #

      Hola Eugenia,

      Siento no poder ayudarte en ese sentido. Si veo algo que te pueda interesar te lo digo.

      Saludos

  16. ruben jimenez 6 Julio, 2017 en 20:09 #

    como se aplica ruffini cuando el coeficiente del exponente mayor es distinto de uno

    • ekuatio 9 Julio, 2017 en 08:53 #

      Hola Rubén,

      Si te refieres a que no tienes términos de todos los grados, debes colocar un 0 por cada término que te falte de ese grado.

      Saludos

  17. Víctor 9 Julio, 2017 en 05:45 #

    Tengo
    Lim x ->0 de -3x/2x³+5x
    ¿Puedo aplicar ruffini hay?
    Por lo que entiendo
    Sería con 0

    • ekuatio 9 Julio, 2017 en 08:48 #

      Hola Víctor,

      Ahí tienes que sacar factor común a la x, para simplificar una x arriba y abajo y eliminar la indeterminación.

      Si quieres aprender a resolver límites paso a paso, te recomiendo mi Curso de Límites.

      Saludos

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