La Regla de Ruffini. Ejercicios resueltos paso a paso.

En un ejercicio te piden que tienes que utilizar la regla de Ruffini. Te dispones a hacerlo pero te das cuenta que no sabes ni empezar. Has visto en clase a tu profesor hacerlo varias veces, pero ahora tú no sabes cómo se el método de Ruffini.

En este post vas a encontrar un ejemplo resuelto con una explicación muy sencilla de la regla de Ruffini paso a paso. Si necesitas clases de matemáticas online, indicarte que lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas:

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Pero ahora, ¿qué es la regla o método de Ruffini y para que se utiliza? La regla de Ruffini es un método que permite:

  • Resolver ecuaciones de tercer grado o mayor (cuarto grado, quinto grado …)
  • Dividir un polinomio entre un binomio que sea de la forma x-a
  • Factorizar polinomios de tercer grado o mayor (cuarto grado, quinto grado …)
  • Calcular las raíces de polinomios de grado mayor o igual a 3

Regla de Ruffini para resolver ecuaciones y factorizar

Aquí tienes un vídeo con ejercicios resueltos sobre la factorización de polinomios con la regla de Ruffini:

Sigue leyendo si quieres entenderlo todo más despacio

Como hemos comentado en la introducción, la regla de Ruffini se utiliza para resolver ecuaciones de tercer grado o mayor.

Para resolver ecuaciones de primer grado utilizamos un método, para las ecuaciones de segundo grado se utiliza otro método y para resolver las ecuaciones de tercer grado o mayor, o dicho de otra forma, para ecuaciones de grado superior a dos, se utiliza el método de Ruffini. 

Con la regla de Ruffini, solamente se obtienen las soluciones enteras. Si la ecuación tiene soluciones complejas o reales, éste método no es válido.

Veremos que para obtener las soluciones de la ecuación, previamente hay que factorizar, por lo que con el mismo ejemplo explicaremos ambos conceptos.

Vamos a resolver un ejemplo explicando paso por paso.

Tenemos la siguiente ecuación:

método de ruffini

1 – Identificamos los coeficientes de cada término, que son los números que van delante de la incógnita. Para la ecuación anterior, los represento en verde para identificarlos:

cómo hacer ruffini

2 – Trazamos dos líneas perpendiculares de esta forma:

regla de ruffini ejemplos

3 – Colocamos los coeficientes ordenados por su grado de mayor o menor:ruffini metodo

En la regla de Ruffini, el grado va disminuyendo de 1 en 1 y cada grado tiene su lugar. Por ejemplo si no tuviérmos ningún término que tenga x², en el lugar del grado 2, se colocaría un 0.

Los números que hemos escrito hasta ahora en el método de Ruffini, es equivalente a escribir la ecuación, es decir:ruffini ejemplos

4 – Ahora escribimos un número a la izquierda de la línea vertical. Más adelante explicaremos qué número colocar aquí y por qué. De momento, empezamos con el 1.

Ese número corresponde al número (a) del binomio x – a:

la regla de ruffini ejercicios resueltosEn este caso, escribir ahí un 1, significa el binomio (x – 1) en el método de Ruffini

metodo ruffini ejemplos

5 – Empezamos a ejecutar el método. El primer hueco de la segunda fila, siempre se deja libre:

la regla de ruffini ejercicios

6 – Se hace la suma de la primera columna y el resultado de pone abajo:

teorema de ruffini

7 – Se multiplica el número de la izquierda por el resultado de la suma de la primera columna. El resultado se coloca en el hueco de la segunda columna:

la regla de ruffini paso a paso

8 – Se realiza la suma de la segunda columna:

ejercicios de ruffini resueltos

9 – Se multiplica el número de la izquierda por el resultado de la suma de la segunda columna. El resultado se coloca en el hueco de la tercera columna:

metodo de ruffini ejercicios resueltos

10 – Así sucesivamente hasta completar todas las columnas:

la regla de ruffini ejercicios resueltos paso a paso

El objetivo es que en la última columna tengamos un 0. Esta es la explicación de qué número colocar a la izquierda de la línea:

método de ruffini

Si no tenemos un cero, tendríamos que probar con otro número a la izquierda de la línea vertical y reiniciar el proceso.

En el Curso de Polinomios, te enseño el método para que encuentres con facilidad el número para que resulte 0 en la última columna. Además de aprender como hacer Ruffini, tendrás más ejemplos del método de Ruffini y ejercicios explicados paso a paso.

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Una vez hemos obtenido un cero al final, vamos a ver qué significa lo que tenemos hasta aquí:

la regla de ruffini pasos

Lo que nos ha quedado en la última fila es otra ecuación, pero ahora, el número que está a la izquierda del 0, tiene grado 0 y  éste va aumentando de 1 en 1 hacia la izquierda. En este caso, nos queda lo equivalente a tener esta ecuación:ruffini división de polinomios

Y como hemos visto antes, el 1 a la izquierda de la línea vertical significaba:

metodo ruffini división de polinomios

Lo que quiere decir que lo que tenemos hasta ahora es el producto de esas dos ecuaciones, que es igual a la ecuación original:

ejercicios de ruffini 3 eso

[hr]

11 – Con la fila que nos ha quedado, volvemos a empezar. Empezamos probando con el 1:

metodo ruffini para factorizar polinomios

12 – Igual que antes, vamos multiplicando con el resultado de sumar en cada columna:

división algebraica metodo de ruffini

Al final tenemos un 6, y lo que queremos es tener un cero. Por tanto, debemos seguir probando, con -1, con 2, con -2… hasta encontrar el número que nos haga tener un cero en la última columna.

cómo resolver ecuaciones de tercer grado ejemplos

El número que nos hace tener un 0 al final es el -2:

raíces de un polinomio ruffini ejercicios

¿Y ahora que hacemos? ¿Cómo sabemos que hemos terminado?

El mayor grado de la última fila es 1, por tanto hemos terminado:

como factorizar por ruffini

El resultado de la factorización de la ecuacuón por el método de Ruffini es el producto de la última fila y de los números que están a la izquierda de la línea vertical, pero expresados en forma de ecuación:

calcula utilizando la regla de ruffini el cociente y el resto

ejercicios factorización ruffini

factorizar ruffini

Por tanto, nuestra ecuación será:
ruffini polinomios

Hasta aquí hemos factorizado la ecuación. Ahora vamos a resolverla:

1 – Igualamos a 0, tal y como estaba en un principio

como factorizar un polinomio ruffini

2 – Recuerda que cuando una multiplicación de dos o más factores tiene como resultado 0, quiere decir que uno de los factores es 0, ya que cualquier valor multiplicado por 0 es 0. Por tanto, cualquier factor podría ser 0.

Nos quedan tres ecuaciones de primer grado para despejar, de donde obtenemos las tres soluciones (ya que es una ecuación de tercer grado):ejercicios de división de polinomios ruffini

Soluciones: -1, -2 y 1

La Regla de Ruffini para Dividir entre Binomios de la forma x-a

En este caso, la regla de Ruffini sirve para realizar una división de polinomios, donde el divisor es un binomio de la forma (x-a).

Por ejemplo, nos piden realizar la siguiente división:

como factorizar por ruffini

Como el divisor es x-2, es decir, es de la forma x-a, utilizamos la regla de Ruffini. Solo debemos aplicar la regla una sola vez.

Esta vez, el número que tenemos que colocar a la izquierda de la línea vertical es 2 (la a de x-a) y no tenemos que preocuparnos de si tenemos un cero en la columna final o no. El resultado que nos dé, será el resto de la división:

division de polinomios ejercicios resueltos

El  cociente de la división será el polinomio formado por los coeficientes de la última fila:

ejercicios de ruffini factorización

Y el resto será el último elemento de la última fila:

teorema de ruffini definición

Te dejo aquí un vídeo con más ejemplos resueltos:

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69 comentarios en «La Regla de Ruffini. Ejercicios resueltos paso a paso.»

  1. Tengo una duda, ¿tienen que existir los exponentes en forma decreciente para que se pueda resolver con ese método? ejem: x^4+ x^3 + x^2 +x
    Intente resolver este ejercicio con ese método pero no funciona
    x^3 – 7x + 6
    ————-
    x + 3

    Responder
  2. Hola, buenas tardes. Disculpe profesor necesito que me explique cómo resolver este ejercicio 3 2
    X +8X +15X aplicando la regla de ruffini. Este ejercicio no tiene el termino independiente cómo lo resulvo?

    Responder
  3. Buenas! Tengo este ejercicio y se me está complicando entender cómo hacerlo:
    (No puedo escribir las potencias por eso lo escribo entre paréntesis, espero se entienda)
    Sea f(x)= X (elevado a la 6) + a X (elevado a la 5) – 10X (elevado a la 4)
    con a perteneciente a los núm reales. Se sabe que -2 es un cero de f. Determinar a
    y el conjunto de ceros de f .

    1)no tengo término independiente por lo que no sé si lo puedo hacer con Ruffini. Leí que sí se puede sacando factor común pero no sé cómo hacer eso.
    2)utilizaría el -2 ese que me dan para colocarlo a la izq de la tabla de Ruffini para resolver?
    3)me están faltando las potencias 2 y 1 entiendo que tengo que colocar un 0 (cero) en ese lugar en la tabla de Ruffini

    Podrías ayudarme a resolverlo??

    Responder
    • Hola Nayde! Sí que puedes aplicar la regla de Ruffini, pero no podrás aplicarlo hasta factorizar con monomios de grado 1, ya que antes llegarás a un polinomio irreducible. Es decir, sale con 1 y con -1 y después ya no puedes seguir ya que el polinomio que te queda de grado 4 es irreducible. Saludos!

      Responder
  4. FELICIDADES POR TUS CONOCIMIENTOS Y MIL GRACIAS. ACABO DE APRENDER EL PROCEDIMIENTO DE FORMA SENCILLA PARA FACTORIZAR POLINOMIOS DE GRADO 3 Y DIVIDIRLOS MEDIANTE ESTE METODO. SEGUIRE CONSULTANDO ESTA PAGINA. SALUDOS!!

    Responder
  5. Hola mi consulta es: debo utilizar ruffini en una funcion racional, ambas de primer grado, para expresarla en forma general. Por ejemplo, la funcion es (3x+2)/(x+1) aplicando la regla obtengo 3 y resto -1 y alli no se como continuar. Una ayudita? Gracias

    Responder
    • Hola,

      Cuando el grado del dividendo es menor que el grado del divisor, has terminado de dividir, por tanto, en tu caso, ya habrías terminado.

      Un saludo!

      Responder
  6. HOLA EN UN EXAMEN TENIAMOS UN EJERCICIO x{4}+4x{3}-2x{2}-12 el tema es derivadas había que hallar máximos minimos puntos críticos y punto de inflexión . no habían explicado en clases como hallar las raíces si al derivar el polinomio queda de grado 3

    Responder
  7. Hola tengo una duda, en el apartado 10. explicas esto:

    «Lo que nos ha quedado en la última fila es otra ecuación, pero ahora, el número que está a la izquierda del 0, tiene grado 0 y éste va aumentando de 1 en 1 hacia la izquierda. En este caso, nos queda lo equivalente a tener esta ecuación:»

    Mi pregunta es que ¿Que pasa si a la izquierda del «0» tienes tambien por ejemplo un 0?
    Ejemplo: Despues de aplicar ruffini me quedan estos numeros a la izquierda del cero de derecha a izquierda -1, 0, 1, ¿Que pasa con ese cero? y que grado tendria el 1 positivo? No se si me he explicado bien agradeceria tu ayuda. este es el unico sitio donde he podido aprender bien ruffini 😀

    Responder
    • Hola Manu,

      En ese 0 se quedaría un hueco, tal y como hacemos cuando planteamos Ruffini. En el caso que me dices, no tendríamos término con x.

      Un saludo

      Responder
  8. hola, me podría explicar por favor ¿qué hacer cuando el polinomio no posee un término independiente? Respondame lo mas antes posible por favor, llevo estudiando mas de 4 horas y todavía me faltan muchos temas

    Responder
    • Hola Víctor,

      Ahí tienes que sacar factor común a la x, para simplificar una x arriba y abajo y eliminar la indeterminación.

      Si quieres aprender a resolver límites paso a paso, te recomiendo mi Curso de Límites.

      Saludos

      Responder
    • Hola Rubén,

      Si te refieres a que no tienes términos de todos los grados, debes colocar un 0 por cada término que te falte de ese grado.

      Saludos

      Responder
    • Hola Alinda,

      No olvides que si te falta un término de grado 2, debes colocar un cero en su lugar. Prueba con 2 y ya verás ;).

      Saludos

      Responder
  9. Hola quisiera saber si conoces algún ejercicios que pueda ser contextualizado a la agricultura y que se resuelva mediante el método de Ruffini

    Responder
    • Hola Isabel,

      Lamento no poder ayudarte, pero no tengo ningún ejercicio que esté contextualizado en la agricultura. No obstante, todas las ecuaciones de grado mayor o igual a 3 se resuelven de la misma forma, sin depender del contexto.

      Saludos 🙂

      Responder
  10. Hola me sirvió mucho tu explicación pero lo que no pude entender es que como sacas (x-1)osea como sabes que es para 1 ¿se intenta con todos ? ¿o tienen que ser divisibles para todos los números? ¿o solo tiene que ser divisible para el ultimo numero? no entinedo muy bien y quisiera que me ayudes por favor

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    • Hola Diane!

      Debes empezar probando con 1, -1… hasta conseguir que como resultado un cero en la última columna. No hay ningún método directo para saber con qué número acertaremos a la primera, aunque sí existe una forma de saber con qué números hay que probar. Todo eso te lo cuento más en detalle en el Curso de Polinomios.

      Saludos! 🙂

      Responder
  11. Hola, me gustó mucho tu explicación, pero no entendí porque se cambió el orden de los números que estaban en paréntesis, según el método de ruffini queda como (x-1) (x+2) (x+1) pero luego lo cambias y pones al revés. como sería esa parte?.
    gracias.

    Responder
  12. Buenas tardes,
    Tengo que resolver mediante ruffini (x2+ax+b) : (x+2) pero con tres incógnitas no se por donde empezar a resolverlo. ¿Me podrías ayudar?

    Un saludo.

    Responder
    • Hola Nohemi,

      Una ecuación de octavo grado tendrías que resolverla también mediante Ruffini, pero tendrías que utilizar 9 lugares, que corresponderían desde el grado 0 hasta el grado 8.

      Saludos 🙂

      Responder

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