En esta lección vamos a ver cuál es el teorema de Rolle, cuál es su enunciado, su demostración y cómo se aplica con ejercicios resueltos paso a paso.
¡Vamos a verlo!
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Enunciado del teorema de Rolle
Michel Rolle (1652 – 1719) fue un matemático francés de finales del siglo XVII que enunció el teorema que lleva su nombre.
El teorema dice así:
Si una función f:
- es continua en un intervalo cerrado [a,b]
- es derivable en un el intervalo abierto (a,b)
- y f(a)=f(b)
Entonces:
- existe al menos un punto c, perteneciente al intervalo abierto (a,b), de modo que la derivada en ese punto es igual a 0 f'(c)=0.
¿Y qué quiere decir esto?
Te lo explico en el siguiente apartado.
Explicación del teorema de Rolle
El valor de la derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente en ese punto:
Por tanto, cuando la derivada en un punto es igual a 0, significa que la tangente en ese punto es una recta horizontal, como por ejemplo:
O lo que es lo mismo, en ese punto hay un máximo.
La pendiente también es igual a 0 cuando hay un mínimo
Así que, lo que el teorema de Rolle nos quiere decir es que en un intervalo cualquiera [a,b], si se cumplen las hipótesis del teorema, habrá al menos un punto que sea un máximo o un mínimo y por tanto su derivada sea iguala 0.
Date cuenta de que el teorema de Rolle dice que existe al menos un punto c, lo que quiere decir que existirá como mínimo un punto donde su derivada sea 0, pero puede existir más de uno.
Si alguna de las hipótesis falla, no es posible aplicar el teorema de Rolle
Demostración del teorema de Rolle
Para que te quede más claro, vamos a ver gráficamente los casos es los que se cumple el teorema de Rolle.
Podemos tener 4 casos.
Primer caso: Que en el intervalo cerrado [a,b] tengamos una función constante:
Aquí, para cualquier valor de x que pertenezca al intervalo [a,b] se cumple que su derivadad es igual a 0.
Segundo caso: Que en el intervalo cerrado [a,b] haya un mínimo:
Tercer caso: Que en el intervalo cerrado [a,b] haya un máximo:
Cuarto caso: Que en el intervalo cerrado [a,b], haya más de un punto c cuya derivada sea 0 y por tanto haya un máximo y un mínimo:
En estos cuatro casos, podemos observar que existe al menos un punto c donde la tangente a la curva es horizontal y por tanto paralela al eje x.
Ejercicios resueltos de aplicación del teorema de Rolle
Ejercicio 1
Halla el valor de m para que la siguiente función:
cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo cerrado [m,3].
Ejercicio 2
Comprueba que la siguiente función verifica el teorema de Rolle en el intervalo [-3,0]:
En caso afirmativo, hallar el valor o los valores de c a los que se refiere el teorema.
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