En esta lección vamos a ver cuál es el teorema de Rolle, cuál es su enunciado, su demostración y cómo se aplica con ejercicios resueltos paso a paso.
¡Vamos a verlo!
Si has llegado hasta aquí es porque quieres aprender cómo resolver algún ejercicio que no entiendes. ¿Has pensado en apuntarte a clases de matemáticas online?. Si después de leer esto, quieres que te ayude a entender las matemáticas de verdad, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o suscribirte e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.
Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:
Sólo tienes que dejarte guiar por mí verás como tu nota y tu tiempo libre subirán como la espuma.
Enunciado del teorema de Rolle
Michel Rolle (1652 – 1719) fue un matemático francés de finales del siglo XVII que enunció el teorema que lleva su nombre.
El teorema dice así:
Si una función f:
- es continua en un intervalo cerrado [a,b]
- es derivable en un el intervalo abierto (a,b)
- y f(a)=f(b)
Entonces:
- existe al menos un punto c, perteneciente al intervalo abierto (a,b), de modo que la derivada en ese punto es igual a 0 f'(c)=0.
¿Y qué quiere decir esto?
Te lo explico en el siguiente apartado.
Explicación del teorema de Rolle
El valor de la derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente en ese punto:
Por tanto, cuando la derivada en un punto es igual a 0, significa que la tangente en ese punto es una recta horizontal, como por ejemplo:
O lo que es lo mismo, en ese punto hay un máximo.
La pendiente también es igual a 0 cuando hay un mínimo
Así que, lo que el teorema de Rolle nos quiere decir es que en un intervalo cualquiera [a,b], si se cumplen las hipótesis del teorema, habrá al menos un punto que sea un máximo o un mínimo y por tanto su derivada sea iguala 0.
Date cuenta de que el teorema de Rolle dice que existe al menos un punto c, lo que quiere decir que existirá como mínimo un punto donde su derivada sea 0, pero puede existir más de uno.
Si alguna de las hipótesis falla, no es posible aplicar el teorema de Rolle
Demostración del teorema de Rolle
Para que te quede más claro, vamos a ver gráficamente los casos es los que se cumple el teorema de Rolle.
Podemos tener 4 casos.
Primer caso: Que en el intervalo cerrado [a,b] tengamos una función constante:
Aquí, para cualquier valor de x que pertenezca al intervalo [a,b] se cumple que su derivadad es igual a 0.
Segundo caso: Que en el intervalo cerrado [a,b] haya un mínimo:
Tercer caso: Que en el intervalo cerrado [a,b] haya un máximo:
Cuarto caso: Que en el intervalo cerrado [a,b], haya más de un punto c cuya derivada sea 0 y por tanto haya un máximo y un mínimo:
En estos cuatro casos, podemos observar que existe al menos un punto c donde la tangente a la curva es horizontal y por tanto paralela al eje x.
Ejercicios resueltos de aplicación del teorema de Rolle
Ejercicio 1
Halla el valor de m para que la siguiente función:
cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo cerrado [m,3].
Nos piden que la siguiente función:
cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el siguiente intervalo:
por lo que tenemos que obtener el valor de m para que se cumplan dichas condiciones.
f(x) es una función polinómica, por lo que es continua en todo R, así que es continua en cualquier intervalo y por tanto, también es continua en el intervalo cerrado [m,3], sea cual sea el valor de m:
Por ser f(x) una función polinómica, también es derivable en todo R y como consecuencia, también es derivable en el intervalo abierto (m,3), independientemente del valor de m:
La tercera condición para que se cumpla el teorema de Rolle es que el valor de la función sea el mismo en los extremos del intervalo, es decir:
El valor de la función cuando x=m es:
Obtenemos el valor de la función cuando x=3:
Y para que se cumpla el teorema de Rolle, igualamos ambas expresiones:
Nos queda una ecuación de segundo grado, cuyas soluciones son:
De las dos soluciones, m=3 no es válida, ya que si m toma ese valor, no existe ningún intervalo al ser también 3 el otro extremo del intervalo. Por tanto, la solución válida es m=1.
Por tanto, cuando m=1, se cumple el teorema de Rolle y podemos decir que existe al menor un punto c, tal que su derivada es igual 0 y por tanto en c habría un máximo o un mínimo:
Ejercicio 2
Comprueba que la siguiente función verifica el teorema de Rolle en el intervalo [-3,0]:
En caso afirmativo, hallar el valor o los valores de c a los que se refiere el teorema.
Tenemos la siguiente función:
Y tenemos que comprobar que cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el siguiente intervalo:
Al ser f(x) una función polinómica, es continua en todo R y por tanto también es continua en [-3,0]:
Al ser f(x) una función polinómica, es derivable en todo R y por tanto también es derivable en (-3,0):
Ahora hay que comprobar que la función tiene el mismo valor en los extremos del intervalo:
Calculamos el valor de la función cuando x=-3:
Hacemos lo mismo para x=0:
f(-3) y f(0) tienen el mismo valor, luego esta hipótesis también se cumple.
Por tanto, se cumplen todas las condiciones del teorema de Rolle, por lo que existe al menos un punto c perteneciente al intervalo abierto (-3,0), tal que f'(c)=0.
Vamos a calcular el valor de c.
Empezamos calculando la derivada de la función:
La derivada en el punto c es igual a 0:
Por tanto, sustituimos la x por c para obtener f'(c) y la igualamos a 0:
Nos queda una ecuación de segundo grado, cuyas soluciones son:
¿Ambas soluciones son válidas?
Si te das cuenta, c pertenece al intervalo abierto (-3,0), por lo que la c=0 no pertenece al intervalo y por tanto no es válida como solución.
Por tanto, el valor de c que pertenece al intervalo (-3,0) es c=-2.
¿Necesitas ayuda en matemáticas? ¿Quieres que te explique cualquier duda que te surja?
Puedo enseñarte exactamente lo que necesitas aprender para aprobar las matemáticas.
He diseñado un método práctico y efectivo que te ayudará a entender las matemáticas, paso a paso, explicándote justo lo que necesitas para saber resolver todos tus ejercicios y problemas. Todo con un lenguaje sencillo y ameno que entenderás perfectamente.
Con mi método:
- Sabrás los pasos exactos que tienes que dar para resolver tus ejercicios y problemas
- Conseguirás resultados en muy poco tiempo, sin dedicar más horas a intentar entenderlo por tu cuenta sin llegar a ninguna conclusión
Suena bien ¿no?
¿Por qué tardar 2 horas buscando por Internet si puedes aprenderlo en menos de 20 minutos?
Sé lo que te impide entender las matemáticas y sé lo que necesitas para entenderlas. ¿Quieres informarte de como puedes aprender matemáticas conmigo? Pulsa el botón para saber más: