A continuación te voy a explicar el teorema del resto, para obtener el resto de una división de polinomios muy fácilmente. Todo explicado paso a paso y con ejemplos y ejercicios resueltos.
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¡Empezamos!
Calcular el valor de un coeficiente desconocido
Un ejercicio típico que se suele pedir en clase relacionado con la división entre el binomio (x-a) es calcular el valor de un coeficiente para que la división de un polinomio entre un binomio x-a para que la división sea exacta.
Vamos a ver como hacerlo con la regla de Ruffini paso a paso con el siguiente ejemplo:
Calcula el valor de m para que la división sea exacta:
Aplicamos la regla de Ruffini teniendo en cuenta que uno de los coeficientes es una incógnita y que el último valor de la última columna tiene que ser 0:
Para que la última columna sume 0, se tiene que cumplir:
Por tanto, de aquí despejamos m, cuyo resultado es:
Por tanto, cuando m=-3, la división será exacta.
Sin embargo, para obtener el resto de una división entre el binomio (x-a), no es necesario realizar la división. Podemos calcularlo directamente aplicando el teorema del resto.
Te lo explico a continuación.
Teorema del resto
El teorema del resto dice así:
¿Qué significa esto?
Significa que podemos calcular el resto de una división sin tener que hacerla cuando dividamos un polinomio entre (x-a) obteniendo el valor del polinomio para x=a P(a)
Por ejemplo:
Calcular el resto de la siguiente división:
En este caso a es igual a 1:
El valor numérico del polinomio para x=1 es:
Por lo tanto el resto de la división también es 3:
Vamos a ver otro ejemplo:
¿Cuál será el resto de la siguiente división?
El teorema del resto sólo funciona para las divisiones entre el binomio (x-a). En este caso, tenemos x+2, por lo que necesitamos ponerlo en la forma x-a, que es x-(-2). Por tanto a es igual a -2:
El valor numérico del polinomio para x=-2 es:
Por tanto, el resto de la división será igual a 70:
Veamos un último ejemplo:
¿Cuál es el resto de la siguiente división?
Calculamos el valor numérico del polinomio para x=1:
Cuyo resultado es 0, por tanto el resto también es 0:
O lo que es lo mismo, la división es exacta.
Ejercicio resuelto aplicando el teorema del resto
Vamos a resolver el ejemplo de calcular un determinado valor de m, para que la división sea exacta, aplicando el teorema del resto:
Para que la división sea exacta, el valor numérico del polinomio para x=-3 debe ser 0:
Por otro lado, el valor numérico del polinomio para x=-3 es:
Por tanto:
Que operando resulta:
Y de aquí despejamos m:
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