Teorema del resto. Qué es y como se aplica. Ejercicios resueltos paso a paso

A continuación te voy a explicar el teorema del resto, para obtener el resto de una división de polinomios muy fácilmente. Todo explicado paso a paso y con ejemplos y ejercicios resueltos.

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Calcular el valor de un coeficiente desconocido

Un ejercicio típico que se suele pedir en clase relacionado con la división entre el binomio (x-a) es calcular el valor de un coeficiente para que la división de un polinomio entre un binomio x-a para que la división sea exacta.

Vamos a ver como hacerlo con la regla de Ruffini paso a paso con el siguiente ejemplo:

Calcula el valor de m para que la división sea exacta:

Aplicamos la regla de Ruffini teniendo en cuenta que uno de los coeficientes es una incógnita y que el último valor de la última columna tiene que ser 0:

Para que la última columna sume 0, se tiene que cumplir:

Por tanto, de aquí despejamos m, cuyo resultado es:

Por tanto, cuando m=-3, la división será exacta.

Sin embargo, para obtener el resto de una división entre el binomio (x-a), no es necesario realizar la división. Podemos calcularlo directamente aplicando el teorema del resto.

Te lo explico a continuación. 

Teorema del resto

El teorema del resto dice así:

Si dividimos un polinomio P(x) entre el binomio (x-a), el resto de la división es igual al valor numérico del polinomio P(x) para x=a

¿Qué significa esto?

Significa que podemos calcular el resto de una división sin tener que hacerla cuando dividamos un polinomio entre (x-a) obteniendo el valor del polinomio para x=a P(a)

Por ejemplo:

Calcular el resto de la siguiente división:

En este caso a es igual a 1:

El valor numérico del polinomio para x=1 es:

Por lo tanto el resto de la división también es 3:

Vamos a ver otro ejemplo:

¿Cuál será el resto de la siguiente división?

El teorema sólo funciona para las divisiones entre el binomio (x-a). En este caso, tenemos x+2, por lo que necesitamos ponerlo en la forma x-a, que es x-(-2). Por tanto a es igual a -2:

El valor numérico del polinomio para x=-2 es:

Por tanto, el resto de la división será igual a 70:

Veamos un último ejemplo:

¿Cuál es el resto de la siguiente división?

Calculamos el valor numérico del polinomio para x=1:

Cuyo resultado es 0, por tanto el resto también es 0:

O lo que es lo mismo, la división es exacta.

Ejercicio resuelto aplicando el teorema del resto

Vamos a resolver el ejemplo de calcular un determinado valor de m, para que la división sea exacta, aplicando el teorema del resto:

Para que la división sea exacta, el valor numérico del polinomio para x=-3 debe ser 0:

Por otro lado, el valor numérico del polinomio para x=-3 es:

Por tanto:

Que operando resulta:

Y de aquí despejamos m:

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