A continuación te voy a explicar el teorema del valor medio del cálculo integral y cómo interpretarlo para resolver ejercicios. Realizaremos un ejercicio resuelto paso a paso.
¡Empezamos!
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Teorema del valor medio del cálculo integral
El teorema del valor medio del cálculo integral dice así:
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces existe al menos un punto c, dentro de ese intervalo que cumple lo siguiente:
¿Qué quiere decir esto?
Vamos a verlo
Si tenemos una función definida en un intervalo [a,b], el área limitada por la función y los rectas x=a y x=b es la siguiente:
Pues bien, existe un punto c, entre los puntos a y b, donde la función en ese punto tiene un valor de f(c):
Se puede formar un rectángulo cuya base es la longitud del intervalo [a,b], es decir, b-a y la altura es la longitud correspondiente al valor de la función en el punto c, es decir f(c)
El área de este rectángulo es igual al área encerrada por la función y los puntos de abcisa a y b, por lo que:
Donde (b-a).f(c) corresponde al área del triángulo y f(c) corresponde al valor medio de la función f(x) en ese intervalo (o también lo puedes encontrar como altura media) y el punto c es el punto donde se alcanza dicho valor.
Ejercicios resueltos del teorema del valor medio
Vamos a ver cómo aplicar la fórmula del teorema del valor medio del cálculo integral con un ejercicio resuelto paso a paso.
Es el siguiente:
Hallar el valor medio en el intervalo [1,4] y obtener el valor del punto para el cual se verifica dicho valor, de la siguiente función:
La función es continua en el intervalo [1,4], por lo que se puede aplicar el teorema del valor medio del cálculo integral:
Aplicamos la fórmula y nos queda:
Tenemos que calcular el valor medio, es decir, vamos calcular el valor de f(c).
Para ello, en primer lugar vamos a calcular la integral definida de la función entre 1 y 4 que tenemos en el primer miembro.
Integramos y aplicamos la regla de Barrow:
Cuyo resultado es 69 unidades cuadradas.
Sustituimos la integral del primer miembro por el valor que acabamos de calcular:
Operamos y despejamos f(c), que es el valor medio que nos están pidiendo:
Una vez hemos obtenido cuánto vale el valor medio, vamos a calcular el punto c, para el cual f(c) toma ese valor.
Obtenemos f(c), a partir de f(x), sustituyendo la x por la c y nos queda:
Sustituimos ahora f(c) por el valor que acabamos de calcular:
Nos ha quedado una ecuación de segundo grado. Pasamos todos los términos al primer miembro e igualamos a cero:
Resolvemos la ecuación y las soluciones que nos quedan son:
Deshechamos la solución negativa al queda fuera del intervalo [1,4] y nos quedamos con la solución positiva.
Por tanto, el punto c para el cual la función toma el valor medio es:
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