Teorema del valor medio del cálculo integral. Ejercicios resueltos paso a paso.

A continuación te voy a explicar el teorema del valor medio del cálculo integral y cómo interpretarlo para resolver ejercicios. Realizaremos un ejercicio resuelto paso a paso.

¡Empezamos!

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Teorema del valor medio del cálculo integral

El teorema del valor medio del cálculo integral dice así:

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces existe al menos un punto c, dentro de ese intervalo que cumple lo siguiente:

¿Qué quiere decir esto?

Vamos a verlo

Si tenemos una función definida en un intervalo [a,b], el área limitada por la función y los rectas x=a y x=b es la siguiente:

Pues bien, existe un punto c, entre los puntos a y b, donde la función en ese punto tiene un valor de f(c):

Se puede formar un rectángulo cuya base es la longitud del intervalo [a,b], es decir, b-a y la altura es la longitud correspondiente al valor de la función en el punto c, es decir f(c)

El área de este rectángulo es igual al área encerrada por la función y los puntos de abcisa a y b, por lo que:

Donde (b-a).f(c) corresponde al área del triángulo y f(c) corresponde al valor medio de la función f(x) en ese intervalo (o también lo puedes encontrar como altura media) y el punto c es el punto donde se alcanza dicho valor.

Ejercicios resueltos del teorema del valor medio

Vamos a ver cómo aplicar la fórmula del teorema del valor medio del cálculo integral con un ejercicio resuelto paso a paso.

Es el siguiente:

Hallar el valor medio en el intervalo [1,4] y obtener el valor del punto para el cual se verifica dicho valor, de la siguiente función:

La función es continua en el intervalo [1,4], por lo que se puede aplicar el teorema del valor medio del cálculo integral:

Aplicamos la fórmula y nos queda:

Tenemos que calcular el valor medio, es decir, vamos calcular el valor de f(c).

Para ello, en primer lugar vamos a calcular la integral definida de la función entre 1 y 4 que tenemos en el primer miembro.

Integramos y aplicamos la regla de Barrow:

Cuyo resultado es 69 unidades cuadradas.

Sustituimos la integral del primer miembro por el valor que acabamos de calcular:

Operamos y despejamos f(c), que es el valor medio que nos están pidiendo:

Una vez hemos obtenido cuánto vale el valor medio, vamos a calcular el punto c, para el cual f(c) toma ese valor.

Obtenemos f(c), a partir de f(x), sustituyendo la x por la c y nos queda:

Sustituimos ahora f(c) por el valor que acabamos de calcular:

Nos ha quedado una ecuación de segundo grado. Pasamos todos los términos al primer miembro e igualamos a cero:

Resolvemos la ecuación y las soluciones que nos quedan son:

Deshechamos la solución negativa al queda fuera del intervalo [1,4] y nos quedamos con la solución positiva.

Por tanto, el punto c para el cual la función toma el valor medio es:

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