Volumen de un cuerpo de revolución. Ejercicios resueltos paso a paso.

Cómo calcular el volumen de un cuerpo de revolución. Ejercicios resueltos paso a paso.

A continuación te voy a explicar cómo calcular el volumen de un sólido de revolución que gira alrededor del eje x o alrededor del eje “y”. Te explicaré las fórmulas que tienes que utilizar en cada caso y las aplicaremos con ejercicios resueltos paso a paso.

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Una función delimitada entre dos puntos, puede girar alrededor del eje x o alrededor del eje y, creando lo que se llama un sólido de revolución. Veremos cómo calcular el volumen de ese cuerpo de revolución que engendra la función.

¡Empezamos!

Volumen de revolución de una función que gira alrededor del eje x

Voy a empezar explicándote cómo calcular el volumen que engendra una función que gira alrededor del eje x.

Tenemos una función que está limitada entre los puntos x=a y x=b:

volumen de un solido de revolucion ejercicios resueltos

Si esa función la hacemos girar alrededor del eje x, se engendra un sólido de revolución:

calculo de volumenes de solidos de revolucion ejercicios resueltos

El volumen del sólido de revolución creado por una función que gira alrededor del eje x se calcula con la siguiente fórmula:

calculo de volumenes de solidos de revolucion ejemplos

Hay que tener en cuenta que los límites de integración se determinan con respecto al eje x y la función a integrar se define también en función de x, ya que integraremos con respecto a x.

Vamos a ver un ejemplo:

Ejercicios resueltos de cálculo del volumen de una función que gira alrededor del eje x

Hallar el volumen que se engendra al girar alrededor del eje x, la superficie comprendida entre la siguiente parábola:

volumen de revolucion

y las rectas x=0 y x=4.

El enunciado nos da la función definida para la variable x y los límites de integración, que son x=0 y x=4.

Por tanto, aplicamos la fórmula para calcular el volumen de un cuerpo de revolución que gira alrededor del eje x:

volumen de solidos de revolucion

Sustituimos los límites de integración por 0 y 4 y f(x) por la función del enunciado:

metodo de discos ejercicios resueltos

Resolvemos el cuadrado del paréntesis:

volumen de un solido de revolucion

Sacamos fuera la constante:

ejercicios resueltos de solidos de revolucion

Y ahora integramos:

ejercicios solidos de revolucion

Aplicamos la regla de Barrow y operamos:

problemas de solidos de revolucion

Finalmente simplificamos la fracción resultante y dejamos el resultado en función de pi:

solido de revolucion ejercicios resueltos

El resultado está en unidades cúbicas, ya hemos calculado un volumen.

Veamos otro ejemplo:

Dada la siguiente función:

volumen de un solido de revolucion alrededor del eje y

Representar gráficamente el sólido engendrado por su rotación alrededor del eje x, entre las rectas x=1 y x=4 y calcular su volumen expresándolo como fracción de π.

Tenemos la función y los límites de integración definidos con respecto a la variable x. Por tanto, aplicamos la fórmula para calcular el volumen de un sólido de revolución que gira alrededor del eje x:

volumen de solidos de revolucion ejemplos

Sustituimos los límites y la función en la fórmula:

volumen de solidos de revolucion por integracion

Desarrollamos el cuadrado que tenemos dentro de la integral:

cuerpos de revolucion ejercicios resueltos

Operamos:

volumenes de revolucion

Y ahora integramos:

solidos en revolucion ejemplos

Aplicamos la regla de Barrow entre los límites de integración 4 y 1:

calculo integral volumenes de revolucion ejercicios resueltos

Operamos y finalmente obtenemos el resultado como fracción de π

ejercicios de solidos de revolucion resueltos

volumenes de solidos de revolucion ejercicios resueltos

volumenes de solidos de revolucion ejercicios resueltos

Nos piden también que representemos el sólido engendrado por la rotación de la función alrededor del eje x. El sólido engendrado quedaría de la siguiente manera:

solidos en revolucion ejercicios resueltos

Volumen de revolución de una función que gira alrededor del eje y

Te voy a explicar ahora cómo calcular el volumen que engendra una función cuando gira alrededor del eje y.

Tenemos la siguiente función que está delimitado por los puntos y=n e y=m:

integrales de volumen ejercicios resueltos

Date cuenta que ahora los puntos por los que está limitada la función están en el eje y.

Si a esta función la hacemos girar alrededor del eje y, se engendra una superficie de revolución:

volumenes de revolucion ejercicios resueltos

El volumen del cuerpo de revolución creado por una función que gira alrededor del eje y se calcula con la siguiente fórmula:

volumen de revolucion ejercicios resueltos

En esta fórmula, los límites de integración se determinan con respecto al eje ” y” y la función a integrar se define en función de “y”, ya que integraremos con respecto a y.

Normalmente, tanto los límites de la función, como la función están definidas en función de x, por lo que para aplicar esta fórmula, en primer lugar hay que redefinir los límites y la función en función de “y”.

Vamos a verlo con un ejemplo:

Ejercicio resuelto de cálculo del volumen de una función que gira alrededor del eje y

Calcular el volumen engendrado por la siguiente función por su rotación alrededor del eje y:

sólidos de revolución ejemplos

y las rectas x=1 y x=4.

En este caso nos están dando la función y los límites con respecto a x, pero para poder aplicar la fórmula para calcular el volumen de un sólido de revolución que gira alrededor del eje “y”, necesitamos los límites y la función definidos con respecto a y.

Vamos a definir primer la función con respecto a y. Para ello, a f(x) le llamamos y:

calculo de volumenes con integrales ejercicios resueltos

Y ahora lo que tenemos que hacer es despejar la x.

En primer lugar le quitamos el 1, que está sumando y pasa restando al otro miembro:

ejercicios de volumen de solidos de revolucion

Ahora le quitamos el 2, que está multiplicando y pasa dividiendo:

ejercicios resueltos solidos de revolucion

Y por último, la raíz pasa como cuadrado al otro miembro:

metodo del disco ejercicios resueltos

Ahora a x le llamamos f(y):

calculo de volumenes de solidos de revolucion

Y esta es la función que tenemos que integrar con respecto a y, pero antes, nos falta determinar los límites de integración con respecto a “y”.

Para ello, en la función original:

metodo de los discos ejercicios resueltos

Tenemos que calcular el valor de la función para x=1 y x=4 y obtendremos los valores de “y” que serán los límites de integración:

volumenes de solidos de revolucion

volumen de un cuerpo de revolucion

Por tanto, los límites de integración con respecto a “y” son 3 y 5:

area de un solido de revolucion ejercicios resueltos

Ya tenemos todo lo que necesitamos para poder aplicar la fórmula para calcular el volumen de un cuerpo de revolución que gira alrededor del eje “y”:

ejercicios de solidos en revolucion

Sustituimos los límites y la función en la fórmula:

volumen solido de revolucion

Resolvemos el cuadrado del paréntesis que hay dentro de la integral y sacamos fuera la constante:

volumen de solidos de revolucion ejercicios resueltos

Ahora desarrollamos el producto notable que queda dentro de la integral:

solidos de revolucion ejemplos resueltos

Integramos:

ejercicios de volumenes de solidos

Y aplicamos la regla de Barrow entre los límites 5 y 3:

solidos de revolución ejercicios resueltos

Operamos y llegamos al resultado final:

ejercicios de volumen de solidos

solidos de revolucion metodo de arandelas ejercicios resueltos

Una vez aplicada la fórmula para calcular el volumen que crea la función girando alrededor del eje x o alrededor del eje y, puedes aplicar el método de integración que quieras. No es necesario que utilices el mismo método que yo. Recuerda que lo importante es que el resultado sea correcto, da igual cómo llegar hasta él.

Si quieres aprender a integrar paso a paso tienes disponibles el Curso de Integrales Indefinidas y el Curso de Integrales Definidas, en los que te explico paso a paso cómo integrar desde cero y cómo calcular áreas encerradas por las funciones, con ejercicios resueltos paso a paso.

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