Cómo calcular el volumen de un cuerpo de revolución. Ejercicios resueltos paso a paso.

A continuación te voy a explicar cómo calcular el volumen de un cuerpo de revolución que gira alrededor del eje x o alrededor del eje “y”. Te explicaré las fórmulas que tienes que utilizar en cada caso y las aplicaremos con ejercicios resueltos paso a paso.

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Una función delimitada entre dos puntos, puede girar alrededor del eje x o alrededor del eje y, creando lo que se llama un cuerpo de revolución. Veremos cómo calcular el volumen de ese cuerpo de revolución que engendra la función.

¡Empezamos!

Volumen de revolución de una función que gira alrededor del eje x

Voy a empezar explicándote cómo calcular el volumen que engendra una función que gira alrededor del eje x.

Tenemos una función que está limitada entre los puntos x=a y x=b:

Si esa función la hacemos girar alrededor del eje x, se engendra un cuerpo de revolución:

El volumen del cuerpo de revolución creado por una función que gira alrededor del eje x se calcula con la siguiente fórmula:

Hay que tener en cuenta que los límites de integración se determinan con respecto al eje x y la función a integrar se define también en función de x, ya que integraremos con respecto a x.

Vamos a ver un ejemplo:

Ejercicios resueltos de cálculo del volumen de una función que gira alrededor del eje x

Hallar el volumen que se engendra al girar alrededor del eje x, la superficie comprendida entre la siguiente parábola:

y las rectas x=0 y x=4.

El enunciado nos da la función definida para la variable x y los límites de integración, que son x=0 y x=4.

Por tanto, aplicamos la fórmula para calcular el volumen de un cuerpo de revolución que gira alrededor del eje x:

Sustituimos los límites de integración por 0 y 4 y f(x) por la función del enunciado:

Resolvemos el cuadrado del paréntesis:

Sacamos fuera la constante:

Y ahora integramos:

Aplicamos la regla de Barrow y operamos:

Finalmente simplificamos la fracción resultante y dejamos el resultado en función de pi:

El resultado está en unidades cúbicas, ya hemos calculado un volumen.

Veamos otro ejemplo:

Dada la siguiente función:

Representar gráficamente el sólido engendrado por su rotación alrededor del eje x, entre las rectas x=1 y x=4 y calcular su volumen expresándolo como fracción de π.

Tenemos la función y los límites de integración definidos con respecto a la variable x. Por tanto, aplicamos la fórmula para calcular el volumen de un cuerpo de revolución que gira alrededor del eje x:

Sustituimos los límites y la función en la fórmula:

Desarrollamos el cuadrado que tenemos dentro de la integral:

Operamos:

Y ahora integramos:

Aplicamos la regla de Barrow entre los límites de integración 4 y 1:

Operamos y finalmente obtenemos el resultado como fracción de π

Nos piden también que representemos el sólido engendrado por la rotación de la función alrededor del eje x. El sólido engendrado quedaría de la siguiente manera:

Volumen de revolución de una función que gira alrededor del eje y

Te voy a explicar ahora cómo calcular el volumen que engendra una función cuando gira alrededor del eje y.

Tenemos la siguiente función que está delimitado por los puntos y=n e y=m:

Date cuenta que ahora los puntos por los que está limitada la función están en el eje y.

Si a esta función la hacemos girar alrededor del eje y, se engendra una superficie de revolución:

El volumen del cuerpo de revolución creado por una función que gira alrededor del eje y se calcula con la siguiente fórmula:

En esta fórmula, los límites de integración se determinan con respecto al eje ” y” y la función a integrar se define en función de “y”, ya que integraremos con respecto a y.

Normalmente, tanto los límites de la función, como la función están definidas en función de x, por lo que para aplicar esta fórmula, en primer lugar hay que redefinir los límites y la función en función de “y”.

Vamos a verlo con un ejemplo:

Ejercicio resuelto de cálculo del volumen de una función que gira alrededor del eje y

Calcular el volumen engendrado por la siguiente función por su rotación alrededor del eje y:

y las rectas x=1 y x=4.

En este caso nos están dando la función y los límites con respecto a x, pero para poder aplicar la fórmula para calcular el volumen de un cuerpo de revolución que gira alrededor del eje “y”, necesitamos los límites y la función definidos con respecto a y.

Vamos a definir primer la función con respecto a y. Para ello, a f(x) le llamamos y:

Y ahora lo que tenemos que hacer es despejar la x.

En primer lugar le quitamos el 1, que está sumando y pasa restando al otro miembro:

Ahora le quitamos el 2, que está multiplicando y pasa dividiendo:

Y por último, la raíz pasa como cuadrado al otro miembro:

Ahora a x le llamamos f(y):

Y esta es la función que tenemos que integrar con respecto a y, pero antes, nos falta determinar los límites de integración con respecto a “y”.

Para ello, en la función original:

Tenemos que calcular el valor de la función para x=1 y x=4 y obtendremos los valores de “y” que serán los límites de integración:

Por tanto, los límites de integración con respecto a “y” son 3 y 5:

Ya tenemos todo lo que necesitamos para poder aplicar la fórmula para calcular el volumen de un cuerpo de revolución que gira alrededor del eje “y”:

Sustituimos los límites y la función en la fórmula:

Resolvemos el cuadrado del paréntesis que hay dentro de la integral y sacamos fuera la constante:

Ahora desarrollamos el producto notable que queda dentro de la integral:

Integramos:

Y aplicamos la regla de Barrow entre los límites 5 y 3:

Operamos y llegamos al resultado final:

Una vez aplicada la fórmula para calcular el volumen que crea la función girando alrededor del eje x o alrededor del eje y, puedes aplicar el método de integración que quieras. No es necesario que utilices el mismo método que yo. Recuerda que lo importante es que el resultado sea correcto, da igual cómo llegar hasta él.

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