Volumen y área de una esfera. Ejercicios resueltos paso a paso

A continuación te voy a explicar cómo calcular el área de una esfera y el volumen de una esfera, con ejercicios resueltos paso a paso.

¡Empezamos!

Si has llegado hasta aquí es porque necesitas clases online de matemáticas. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

QUIERO APRENDER MATEMÁTICAS

Sólo tienes que dejarte guiar por mí verás como tu nota y tu tiempo libre subirán como la espuma.

Cómo calcular el volumen de una esfera

Vamos a ver cómo calcular el volumen de una esfera de radio r:

Fórmula del volumen de una esfera

El volumen de una esfera se calcula a partir de su radio, mediante la siguiente fórmula, donde r es el radio de la esfera:

El resultado se mide en unidades cúbicas, al tratarse de un volumen.

Ejemplo de cálculo del volumen de una esfera

Veamos un ejemplo de cómo calcular el volumen de una esfera:

Calcular el volumen de una esfera de radio 6 cm:

En este caso, sólo tenemos que sustituir el radio por su valor y operar:

Como el radio nos lo dan en cm, el resultado de la esfera se mide en cm³.

Cómo calcular el volumen de una esfera con diámetro

Hay casos en que en vez del radio de la esfera tenemos el diámetro. ¿Cómo calcular el volumen de la esfera si tenemos el diámetro?

El diámetro es igual al doble del radio, por tanto, si despejamos el radio nos queda que es igual al diámetro partido por 2:

Por tanto, si nos dan el diámetro, indirectamente nos están dando el radio.

Por ejemplo: Hallar el volumen de una esfera cuyo diámetro es igual a 10 m.

Lo primero que debemos hacer es calcular el radio de la esfera, que lo obtenemos dividiendo el diámetro entre 2:

Una vez que tenemos el radio, ya podemos sustituirlo en la fórmula del volumen de una esfera, que nos queda:

Esta vez, como el diámetro (y por lo tanto el radio) estaban en metros, el volumen se mide en m³.

Cómo calcular el volumen de una esfera hueca

Una esfera hueca es aquella que en su interior existe el vacío y está rodeado por una corteza con un determinado espesor:

La esfera hueca consta de dos radios: el radio exterior R, que va desde el centro de la esfera hasta la parte exterior de la corteza y el radio interior r, que va desde el centro de la esfera hasta la parte interior de la corteza. Si partimos la esfera hueca en dos mitades, se puede diferenciar mejor ambos radios:

El volumen de la esfera hueca es igual al volumen de una esfera maciza, es decir, el volumen de una esfera de radio R, menos el volumen de la parte vacía que hay en su interior, que equivale al volumen de una esfera de radio r:

Que si sacamos factor común a 4/3.π nos queda:

Por tanto, para calcular el volumen de una esfera hueca necesitamos saber el radio exterior y el radio interior.

Una forma indirecta de dar estos dos radios es mediante el espesor de la corteza, que es igual a la diferencia de ambos radios:

Por tanto, si nos dan el espesor y alguno de los dos radios, podemos calcular sin problemas el otro radio.

Vamos a ver un ejemplo de cómo calcular el volumen de una esfera hueca: Hallar el volumen de una esfera hueca cuyo radio exterior es 10 mm y su radio interior es 8 mm:

La fórmula el volumen de la esfera hueca es:

Sustituimos ambos radios por su valor y operamos:

Obteniendo el resultado en mm³.

Cómo calcular el volumen de una semiesfera

Vamos a ver ahora cómo calcular el volumen de una semiesfera de radio r:

Ya que una semiesfera es la mitad de una esfera, el volumen de una semiesfera también es la mitad del volumen de una semiesfera:

Por tanto, para calcular el volumen de una semiesfera tan solo tenemos que calcular previamente el volumen de una esfera y dividir el resultado entre 2. Por ejemplo:

Calcular el volumen de una semiesfera de 3 cm de radio.

Empezamos calculando el volumen de una semiesfera de 3 cm de radio:

Y dividimos el resultado entre 2 para obtener el volumen de la semiesfera:

Cómo calcular el área de una esfera

Vamos a ver cómo calcular el área de una esfera de radio r:

Fórmula del área de una esfera

El área de una esfera se calcula en función de su radio, donde r es el radio de la esfera:

El resultado se mide en unidades cuadradas, al tratarse de una superficie.

Por ejemplo: Hallar el volumen de una esfera de radio 6 cm.

Sustituimos r por el valor del radio en la fórmula y operamos:

Al estar el radio en cm, el área se mide en cm².

Cómo calcular el área de una semiesfera

Para calcular el área de una semiesfera de radio r:

Debemos dividir el área de esfera del mismo radio y dividirla entre 2:

Por ejemplo: Calcular el área de una semiesfera de 2 cm de radio.

Empezamos calculando el volumen de una esfera de 2 cm de radio:

Y después dividimos el área de la esfera entre 2:

Ejercicios resueltos sobre el área y volumen de una esfera

Ejercicio 1

Una bola de fundición tiene 15,6 cm de radio. Calcula:

a) El área y el volumen de la bola

b) El peso de la bola, sabiendo que un centímetro cúbico de función pesa 7,2 gramos

En primer lugar calculamos el volumen de la esfera mediante la fórmula:

Sustituimos el radio por su valor y operamos:

Seguimos calculando el área de la esfera mediante su fórmula:

Sustituimos el radio por su valor y operamos:

Para calcular el peso de una bola, utilizamos una regla de tres, sabiendo que 1 centímetro cúbico de función pesa 7,2 gramos:

Despejamos x y queda:

Ejercicio 2

Se quiere construir un jardín con forma de semiesfera, cuyo diámetro mida 4 m ¿Cuántos metros cúbicos de tierra serán necesarios para construirlo?

En este problema debemos calcular el volumen de una semiesfera:

Como nos dan el dato del diámetro, previamente calculamos el radio, dividiendo el diámetro entre 2:

Empezamos calculando el volumen de de una esfera de radio 2 m:

Y el volumen de la semiesfera lo calculamos dividiendo entre 2 el volumen de la esfera:

Por tanto, se necesitan 16,75 metros cúbicos de tierra.

Ejercicio 3

Una cúpula semiesférica tiene 10 m de radio interior. ¿Cuánto costará pintar su interior si nos cobran 30 euros por cada metro cuadrado?

En este caso hay que calcular el área interior de una semiesfera hueca, que no es más que calcular el área de una semiesfera de 10 m de radio.

El área de una semiesfera es:

Calculamos primero el área de una esfera de radio 10 m:

Y lo dividimos entre 2 para calcular el área de la semiesfera:

Para obtener el precio, multiplicamos los metros cuadrados por 30 y nos queda:

¿Necesitas ayuda en matemáticas? ¿Quieres que te explique cualquier duda que te surja?

Puedo enseñarte exactamente lo que necesitas aprender para aprobar las matemáticas.

He diseñado un método práctico y efectivo que te ayudará a entender las matemáticas, paso a paso, explicándote justo lo que necesitas para saber resolver todos tus ejercicios y problemas. Todo con un lenguaje sencillo y ameno que entenderás perfectamente.

Con mi método:

  • Sabrás los pasos exactos que tienes que dar para resolver tus ejercicios y problemas
  • Conseguirás resultados en muy poco tiempo, sin dedicar más horas a intentar entenderlo por tu cuenta sin llegar a ninguna conclusión

Suena bien ¿no?

¿Por qué tardar 2 horas buscando por Internet si puedes aprenderlo en menos de 20 minutos?

Sé lo que te impide entender las matemáticas y sé lo que necesitas para entenderlas. ¿Quieres informarte de como puedes aprender matemáticas conmigo? Pulsa el botón para saber más:

ENSÉÑAME MATEMÁTICAS

Uso de cookies

Usamos cookies propias y de terceros (Google) para que usted tenga la mejor experiencia de usuario, por lo que los terceros reciben información sobre tu uso de este sitio web.

Si continúas navegando, consideramos que aceptas el uso de las cookies. Puedes obtener más info o saber cómo cambiar la configuración en nuestra Política de Cookies.

ACEPTAR
Aviso de cookies