Vamos a explicar cómo calcular el mínimo común múltiplo (mcm) y cuándo se utiliza. También resolveremos varios ejercicios paso a paso para que te quede totalmente claro.
Si lo necesitas, en el Curso de Múltiplos y Divisores, también puedes consultar cómo calcular el máximo común divisor.
Si has llegado hasta aquí es porque seguramente hay algún ejercicio que no sabes resolver y necesitas clases de matemáticas online. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.
Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:
Sólo tienes que dejarte guiar por mí verás como tu nota y tu tiempo libre subirán como la espuma.
Múltiplos de un número
Se llama múltiplo de un número al resultado de multiplicar ese número por cualquier otro número natural. Como los números naturales son infinitos, los múltiplos de un número también son infinitos.
Son múltiplos de 5: 5, 10,15, 20, 25, 30… ya que resultan de multiplicar el 5 por el resto de números naturales:
5 x 1 = 5
5 x 2 = 10
5 x 3 = 15
5 x 4 = 20
De esta forma, se pueden obtener los múltiplos de cualquier número:
Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 ….
Múltiplos de 9: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63 ….
Recuerda: Los múltiplos de un número, siempre son mayores que ese número
Qué es el mínimo común múltiplo (mcm)
En el siguiente video te cuento qué es el mínimo común múltiplo y cómo calcularlo:
Aquí tienes el contenido del vídeo:
El mínimo común múltiplo de 2 o más números es el múltiplo que sea común para esos números y además es el más bajo. Por ejemplo, vamos a verlo con el 3 y el 9:
Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 ….
Múltiplos de 9: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63 ….
Vemos que tienen en común como múltiplos el 9, el 18, el 27… El más pequeño de todos ellos es el 9, por tanto, ese será el mínimo común múltiplo de 3 y 9.
Cómo se calcula el mínimo común múltiplo
El método para calcular el mínimo común múltiplo más directamente es el siguiente:
1 – Se descomponen los números en factores primos.
2- Se seleccionan todos los factores que aparezcan al descomponer los números, comunes y no comunes, elevados al mayor exponente
3 – Se multiplican los factores elegidos (con el exponente elegido para cada uno) y el resultado será el mínimo común múltiplo
¿Cuándo se utiliza el Mínimo Común Múltiplo?
Te preguntarás: ¿Y qué aplicaciones tiene el mínimo común múltiplo?¿Cuando lo voy a utilizar?
Pues el m.c.m. se utiliza sobre todo para calcular el común denominador, cuando tienes que sumar o restar fracciones con distinto denominador.
En la resolución de problemas, sabrás que tienes que utilizar el mcm cuando en el problema te pidan calcular una cantidad mayor a los datos que te da el problema y además te digan que esa cantidad debe ser la mínima.
Por ejemplo:
Dos amigos juegan a calcular distancias con los pies. El pie de uno mide 25 cm y el del otro 30 cm ¿Cuál es la distancia mínima que pueden calcular los dos?
En este caso, la distancia a calcular es mayor que la medida de los pies. Uno calcula la distancia sumando de 25 en 25 y el otro de 30 en 30. Nos preguntan cuál es la mínima distancia que pueden calcular los dos.
Por tanto, para resolver este problema hay que aplicar el m.c.m.
Ejercicios resueltos de Mínimo Común Múltiplo paso a paso
En el Curso de Múltiplos y Divisores, además de enseñarte a descomponer los números en factores primos paso a paso, se explica el cálculo de mínimo común múltiplo más despacio, paso a paso, con más ejemplos y ejercicios resueltos. Te lo recomiendo si necesitas clases particulares.
Aquí te dejo un vídeo con ejercicios de cómo calcular el mínimo común múltiplo (mcm) resueltos paso a paso:
Y a continuación tienes más ejercicios:
Ejercicio resuelto 1
Utilizaremos el mismo ejemplo que antes. Vamos a calcular el mínimo común múltiplo de 3 y 9, que se escribe así:
m.c.m. (3 y 9)
1 – Primero descomponemos los números. El 3 no hace falta, ya que es primo.
Por tanto descomponemos el 9:
2 – Después elegimos los factores. Escribimos 3 y 9 pero descompuestos en factores primos:
3 = 3
9 = 3²
Como único factor tenemos el 3.
El máximo exponente al que está elevado es a 2.
Por tanto, se queda como 3².
Por último, realizamos la potencia:
Veamos otro ejemplo algo más complicado. Hallar el mínimo común múltiplo de 6, 12 y 30.
Primero, descomponemos en factores primos:
Ahora elegimos los factores:
Tenemos el 2, el 3 y el 5.
El mayor exponente que aparece para el 2 es a 2. El 3 y 5 están elevados a 1.
Por tanto, elegimos 2² 3 y 5.
En el último paso, volvemos a realizar las potencias y multiplicamos:
Ejercicio resuelto 2
Calcular el mínimo común múltiplo de 4, 24 y 36
1 – Se descomponen los números en factores primos:
2 – Elegimos los factores comunes y no comunes. En el 4 tenemos un 2, en el 24 tenemos un 2 y un 3 y en el 36 otro 2 y otro 3. Vamos a poner las 3 descomposiciones juntas para verlo más claro:
Por tanto los factores elegidos son 2 y 3.
Ahora vamos a elegir los exponentes, que será el mayor para cada uno:
El 2 lo tenemos elevado a 2 y a 3, por tanto nos quedamos con el 3
El 3 lo tenemos elevado a 1 y a 2, por tanto nos quedamos con el 2
Los factores elevados a sus mayores exponentes serían 2³ y 3².
El m.c.m. de 4, 24 y 36 es la multiplicación de estos factores con sus exponentes:
¿Te queda claro el método? Sólo con que un factor aparezca una vez en las descomposiciones, ya hay que elegirlo y luego para cada factor hay que elegir el mayor exponente
Ejercicio resuelto 3
Calcular el mínimo común múltiplo de 12, 45 y 50
1 – Descomponemos los números:
2 – Elegimos los factores comunes y no comunes. Estos son los números descompuestos:
Tenemos el 2, el 3 y el 5 (cada uno de ellos aparece al menos una vez)
El mayor exponente del 2 es 2
El mayor exponente de 3 es 2
El mayor exponente de 5 es 2
Los factores elevados a sus mayores exponentes serían 2², 3² y 5².
El m.c.m. de 12, 45 y 50 es la multiplicación de estos factores con sus exponentes:
Te preguntarás: ¿Y qué aplicaciones tiene el mínimo común múltiplo?¿Cuando lo voy a utilizar?
Pues el m.c.m. se utiliza sobre todo para calcular el común denominador, cuando tienes que sumar o restar fracciones con distinto denominador.
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