A continuación te voy a enseñar la relación entre las razones trigonométricas de ángulos de distintos cuadrantes, que la utilizamos para calcular las razones de ángulos que guarden relación con un ángulo del primer cuadrante que ya conocemos.
No solo me limitaré a citar las fórmulas que los relacionan sino que te explicaré de dónde se obtiene cada una de ellas para que las entiendas mejor.
Si has llegado hasta aquí es porque necesitas un profesor de matemáticas online. Si después de leer esto, quieres que te ayude a entenderlas de verdad, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.
Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:
Sólo tienes que dejarte guiar por mí verás como tu nota y tu tiempo libre subirán como la espuma.
Ángulos complementarios y suplementarios
Antes de empezar a analizar las relaciones entre las razones de ángulos relacionados, debes conocer dos conceptos: ángulos complementarios y ángulos suplementarios.
¿Qué son los ángulos complementarios?
Los ángulos complementarios son aquellos cuya suma es igual a 90º.
Por ejemplo:
40º y 50º son ángulos complementarios ya que su suma es igual a 90º
¿Qué son los ángulos suplementarios?
Los ángulos suplementarios son aquellos cuya suma es igual a 180º.
Por ejemplo:
45º y 135º son ángulos suplementarios ya que su suma es igual a 180º
Relación entre razones de ángulos complementarios
Cuando dos ángulos suman 90º, las longitudes del coseno de α y del seno de 90º-α son iguales. Date cuenta que 90º-α es igual a otro ángulo α, pero medido desde el eje y:
Y por tanto:
También son iguales las longitudes del seno de α y del coseno de 90º-α:
Por lo que:
La tangente entre estos dos ángulos también está relacionada, aunque no pueda verse gráficamente:
Por ejemplo:
30º y 60º son ángulos complementarios ya que 90-60=30, por tanto:
Relación entre razones de ángulos suplementarios
Cuando los ángulos son suplementarios la longitud del seno de α es igual a la longitud del seno de 180º-α, ya que α, está a la misma distancia de 0º que 180º-α lo está de 180º.
Por otra parte los cosenos tienen el mismo valor, pero cambiados de signo:
Por tanto:
Y la tangente, aunque no se vea gráficamente, se relaciona así entre estos dos ángulos:
Por ejemplo:
Los ángulos 30º y 150º guardan esta relación. 30º está a la misma distancia de 0º, que 150º lo está de 180º y entonces:
Relación entre razones de ángulos que se diferencian en 180º
Cuando los ángulos se diferencian en 180º la longitud del seno de α es igual a la longitud del seno de 180º+α, pero de signo contrario, ya que α, está a la misma distancia de 0º que 180º+α lo está de 180º y además el seno de 180º+α es negativo ya que cae por debajo del eje x
Por otra parte los cosenos tienen el mismo valor, pero cambiados de signo:
Por tanto:
Y la tangente, aunque no se vea gráficamente, se relaciona así entre estos dos ángulos:
Por ejemplo:
Los ángulos 30º y 210º guardan esta relación. 30º está a la misma distancia de 0º, que 210º lo está de 180º y entonces:
Relación entre razones de ángulos opuestos
Cuando los ángulos son opuestos, es decir α y -α, el valor de sus cosenos es el mismo y el de sus senos tiene signo contrario:
Por tanto:
Y para la tangente:
Por ejemplo:
30º y -30º son ángulos opuestos. Entonces:
Relación entre razones de ángulos que se diferencian en 90º
Para ángulos que se diferencian en 90º, el coseno de α tiene la misma longitud que el seno de 90º+α, ambos de signo positivo, y el seno de α tiene la misma longitud que el coseno de 90º+α, pero este último es negativo por estar a la izquierda del eje y:
Por tanto:
Y la tangente de ángulos que se diferencian en 90º se relaciona de esta forma:
Por ejemplo:
30º y 120º se diferencian en 90º, por tanto se cumplirá que:
Como ves, conociendo el valor de las razones del primer cuadrante, puedes ser capaz de calcular razones de ángulos en el resto de cuadrantes con estas relaciones.
Aplicaciones de las relaciones de razones entre distintos ángulos.
¿Para qué te puede servir saber estas relaciones? Pues vamos a verlo con varios ejemplos.
La calculadora solo te da un ángulo de los posibles
Como hemos visto antes con esta representación:
Dos ángulos distintos pueden tener el mismo valor del seno. De hecho:
Por otro lado, si lo que te dan es el valor del seno, tienes que tener en cuenta, que la calculadora solamente te va a dar el resultado de uno de los dos ángulos posibles.
Por ejemplo, te dan este valor:
Y te piden calcular el valor de α.
La calculadora, con la función de arco seno (inversa del seno), tan sólo te dará uno de los dos valores posibles:
El otro, debes calcularlo tú, sabiendo que el ángulo 180º-α tiene el mismo seno:
Y si resolvemos el seno de este último ángulo, podemos comprobar que el valor del seno es el mimo:
Si te dan el valor del coseno par que calcules el ángulo, ocurre lo mismo: habrá dos ángulos que tengan ese valor del coseno:
Por ejemplo, te dan este valor del coseno:
Y te piden calcular el valor de α.
Una vez más, la calculadora tan sólo te va a dar uno de los valores posibles:
El otro valor posible es su ángulo opuesto -72,54º o bien:
Tal y como vemos en la gráfica de la circunferencia.
Si lo comprobamos vemos que los 3 ángulos tienen el mismo valor del coseno:
Podemos calcular razones trigonométricas de ángulos relacionados
Otra aplicación es que si sabemos por ejemplo el valor del seno de 30, somos capaces de calcular las razones trigonométricas de sus ángulos relacionados, es decir:
- Ángulos que esté en torno a 0º (0º+30º, 0-30º): 30º y -30º
- Ángulos que esté en torno a 90º (90º+30º, 90-30º): 120º y 60º
- Ángulos que esté en torno a 180º (180º+30º, 180-30º): 210º y 150º
- Ángulos que esté en torno a 360º (360º-30º): 330º
Ahora eres capaz de obtener las razones trigonométricas de muchos ángulos sin utilizar la calculadora.
Ejercicios resueltos sobre relaciones de razones entre distintos ángulos
Ejercicio 1
Halla los ángulos de la primera vuelta de la circunferencia de forma aproximada (sin decimales), sabiendo el valor de las siguientes razones trigonométricas:
Calculamos α con la función inversa del seno con la calculadora y obtenemos:
Que está en el primer cuadrante, donde los senos son positivos:
El otro ángulo que tiene el mismo valor del seno es su ángulo suplementario, que está en el segundo cuadrante y lo obtenemos restando 54º a 180º, ya que se encuentra a una distancia de 54º en sentido horario del ángulo 180º:
Por tanto, 54º y 126º tienen el valor del seno positivo de un valor de 0,81.
Con ayuda de la calculadora, obtenemos el valor del ángulo con la función inversa del coseno:
Se encuentra en el primer cuadrante, donde los cosenos son positivos:
El otro ángulo con el mismo valor del coseno se encontrará en el cuarto cuadrante, ya que es positivo y será el ángulo opuesto a 76º, que se obtiene restando 76º a 360º, ya que se encuentra a 76º del ángulo 360º en sentido horario:
76º y 284º tienen un valor del coseno de 0,23.
La calculadora nos da el siguiente valor de α realizando la función inversa de la tangente:
65º se encuentra en el primer cuadrante, donde los senos y los cosenos son positivos y por tanto, la tangente también es positiva:
El otro ángulo con el mismo valor de la tangente estará en el tercer cuadrante, donde los senos y cosenos son negativos y por tanto, la tangente también será positiva. El ángulo se diferencia en 180º con el ángulo de 65º y se obtiene por tanto sumando 180º al ángulo de 65º:
Así que tanto 65º como 245º tienen un valor de tangente de 2,14
Con la calculadora, hallamos α mediante la función inversa del seno. El resultado que nos da es:
Expresamos este ángulo como un ángulo equivalente que se encuentre en la primera vuelta de la circunferencia, es decir, que su valor esté entre 0º y 360º. Para ello, a 360º le restamos 29º, ya que -29º se encuentra a una distancia de 29º en sentido antihorario del ángulo 360º:
El ángulo 331º está en el cuarto cuadrante, donde los senos son negativos:
El otro ángulo que tiene el mismo valor del seno es su ángulo suplementario, situado en el tercer cuadrante, que se calcula sumando 29º a 180º, al estar a una distancia de 29º en sentido antihorario del ángulo 180º:
Por tanto, 209º y 331º tienen un valor de seno de -0,49
Obtenemos el valor del ángulo con la función inversa del coseno, con ayuda de la calculadora:
109º está en el segundo cuadrante, donde los cosenos son negativos:
El otro ángulo con el mismo valor de coseno será el ángulo opuesto a 109º. Para poder calcularlo, debemos saber a qué distancia está 109º del ángulo 180º. Para ello, a 180º le restamos 109º:
Es decir, que 109º está a 71º en sentido horario al ángulo 180º. Su ángulo opuesto se encontrará a 71º de 180º pero en sentido antihorario, por lo que se calcula sumando 71º a 180º:
251º está en el tercer cuadrante, donde los cosenos son negativos:
109º y 251º tienen un valor de coseno de -0,34.
Con la calculadora obtenemos el siguiente valor de α realizando la función inversa de la tangente:
Expresamos el ángulo con su ángulo equivalente de a primera vuelta, restando 42º a 360º:
Se encuentra en el cuarto cuadrante, donde el seno es negativo y el coseno positivo y por tanto, la tangente es negativa:
El otro ángulo con el mismo valor de la tangente se encontrará en el segundo cuadrante, donde los senos y cosenos también tienen distinto signo y por tanto, la tangente también será negativa. El ángulo se diferencia en 180º con el ángulo de 318º y se obtiene por tanto restando 180º al ángulo de 318º:
Por tanto, 138º y 318º tienen un valor de tangente de -0,9.
Ejercicio 2
Si se sabe que el sen α=-0,72 y que α es un ángulo del tercer cuadrante:
a) Calcula α de forma aproximada (sin decimales)
b) Calcula cos α a partir de la relación fundamental de la trigonometría
c) Calcula otro ángulo θ en el que se cumplan las siguientes igualdades:
d) Calcula otro ángulo φ en el que se cumplan las siguientes igualdades:
e) Calcula otro ángulo γ en el que se cumplan las siguientes igualdades:
Apartado a:
Sabemos el valor de sen α:
Y que α pertenece al tercer cuadrante:
Con la calculadora obtenemos el ángulo α realizando la función inversa del seno de -0,72:
El resultado que nos da es un ángulo negativo, es decir, medido en sentido horario desde el eje x y además pertenece al cuarto cuadrante:
Debemos buscar un ángulo que tenga el mismo valor de seno y que esté medido en sentido antihorario desde el eje x, es decir, que su valor esté entre 0º y 360º.
El otro ángulo cuyo seno también vale -0,72 es su ángulo suplementario, que está a 46º del eje x en el tercer cuadrante y lo obtenemos sumándole 46º a 180º:
Así que α es 226º, cuyo seno es -0,72 y pertenece al tercer cuadrante:
Apartado b:
Vamos a calcular el coseno de α usando la relación fundamental de la trigonometría:
Sustituimos el sen α por su valor:
Despejamos cos α al cuadrado y operamos la potencia:
Operamos en el segundo miembro y pasamos el cuadrado del coseno al segundo miembro como raíz:
Finalmente resolvemos la raíz:
El resultado es un valor positivo para el coseno, pero como nuestro ángulo α pertenece al tercer cuadrante, el valor del coseno debe ser negativo:
Apartado c:
Vamos a hallar el ángulo θ. Sabemos que:
En primer lugar vamos a obtener la tangente de α, dividiendo el seno de α entre el coseno de α:
Sustituimos seno y coseno por sus valores:
Por tanto la tangente de θ es:
El valor de la tangente es negativa, es decir, que pertenece a un cuadrante con seno y coseno de signos contrarios, como pueden ser el segundo y el cuarto cuadrante.
Por otro lado nos dicen que:
Sustituimos el seno de α por su valor y operamos:
El ángulo θ tiene un seno positivo, lo que quiere decir que pertenece al primer o al segundo cuadrante.
Como la tangente es negativa, entonces θ pertenece al segundo cuadrante, ya que en el segundo cuadrante el seno es positivo y el coseno es negativo y por tanto, la tangente también es negativa.
El ángulo θ es el ángulo opuesto a α=226º, al tener el mismo valor de coseno y los valores de los senos de signo contrario. Los ángulos opuestos distan el mismo ángulo del eje x. Como 226º está a 46º del eje x (180º) en sentido antihorario, el ángulo θ estará 46º del eje x, pero en sentido horario, por lo que para obtener θ restamos 46º a 180º:
Apartado d:
Vamos a hallar el ángulo φ. Sabemos que:
Sustituimos el valor del seno de α por su valor y operamos:
Tenemos un valor del seno positivo, luego γ puede pertenecer al primer o al segundo cuadrante.
Por otro lado:
Sustituimos el coseno de α por su valor y operamos:
Tenemos un valor del seno positivo, luego γ puede pertenecer al primer o al cuarto cuadrante.
Como el ángulo φ tiene el seno y el coseno positivos, pertenecen al primer cuadrante. φ se diferencia del ángulo α=226º en 180º, ya que sus senos y sus cosenos tienen el mismo valor pero con signo contrario:
Así que el ángulo φ lo obtenemos restando 180º a 226º:
Apartado e:
Calculamos ahora el ángulo γ. Nos dicen que:
Sustituimos el coseno de α por su valor y operamos:
Tenemos un valor del seno positivo, luego γ puede pertenecer al primer o al segundo cuadrante.
Por otro lado:
Sustituimos el seno de α por su valor y operamos:
Tenemos un valor del coseno positivo, luego γ puede pertenecer al primer o al cuarto cuadrante.
Los ángulos que tienen seno y coseno positivo pertenecen al primer cuadrante.
Las valores del seno y del coseno del ángulo γ están intercambiados con los valores del seno y coseno del ángulo de 46º, por lo tanto, γ y el ángulo de 46º se tratan de ángulos complementarios:
Así que, para hallar el ángulo γ, 90º le restamos el ángulo de 46º:
Si quieres seguir aprendiendo trigonometría, te recomiendo el Curso de Trigonometría I, donde aprenderás paso por paso y con explicaciones al detalle cosas como resolver triángulos rectángulos, resolver cualquier tipo de triángulo y también sabrás cómo resolver ecuaciones trigonométricas, entre otras cosas.
¿Necesitas clases de matemáticas? ¿Quieres que te explique cualquier duda que te surja?
Puedo enseñarte exactamente lo que necesitas aprender para aprobar las matemáticas.
He diseñado un método práctico y efectivo que te ayudará a entender las matemáticas, paso a paso, explicándote justo lo que necesitas para saber resolver todos tus ejercicios y problemas. Todo con un lenguaje sencillo y ameno que entenderás perfectamente.
Con mi método:
- Sabrás los pasos exactos que tienes que dar para resolver tus ejercicios y problemas
- Conseguirás resultados en muy poco tiempo, sin dedicar más horas a intentar entenderlo por tu cuenta sin llegar a ninguna conclusión
Suena bien ¿no?
¿Por qué tardar 2 horas buscando por Internet si puedes aprenderlo en menos de 20 minutos?
Sé lo que te impide entender las matemáticas y sé lo que necesitas para entenderlas. ¿Quieres informarte de como puedes aprender matemáticas conmigo? Pulsa el botón para saber más: