A Regra de Ruffini. Exercícios resolvidos passo a passo.

Em um exercício você é convidado a usar a régua Ruffini. Você está pronto para fazê-lo, mas você percebe que nem sabe como começar. Você já viu seu professor fazer isso várias vezes na sala de aula, mas agora você não sabe como usar o método de Ruffini.

Mas agora, o que é a regra ou método Ruffini e para que é usado? A regra de Ruffini é um método que permite:

• Resolver equações de terceiro grau ou maiores (quarto grau, quinto grau …)
• Dividir um polinômio entre um binômio que é da forma x-a
• Polinômios de fator de terceiro grau ou superior (quarto grau, quinto grau …)
• Calcular as raízes de polinômios de grau maior ou igual a 3

Régua de Ruffini para resolver equações e fator

Como discutido na introdução, a regra de Ruffini é usada para resolver equações de terceiro grau ou maiores.

Para resolver equações de primeiro grau usamos um método, para equações de segundo grau outro método é usado e para resolver equações de terceiro grau ou maiores, ou em outras palavras, para equações maiores que dois graus, o método de Ruffini é usado.

Com a regra de Ruffini, só se obtêm soluções completas. Se a equação tem soluções complexas ou reais, este método não é válido.

Veremos que, para obter as soluções da equação, é necessário fatorar previamente, por isso, com o mesmo exemplo, explicaremos ambos os conceitos.

Vamos resolver um exemplo explicando-o passo a passo.

Temos a seguinte equação:

1 – Identificamos os coeficientes de cada termo, que são os números que vão antes do desconhecido. Para a equação acima, eu os represento em verde para identificá-los:

2 – Desenhamos duas linhas perpendiculares desta forma:

3 – Colocamos os coeficientes ordenados pelo seu grau de maior ou menor:

Na regra de Ruffini, o grau diminui um por um e cada grau tem o seu lugar. Por exemplo, se não tivéssemos nenhum termo que tivesse x², no lugar do grau 2, seria colocado um 0.

Os números que temos escrito até agora no método Ruffini, é equivalente a escrever a equação, ou seja,:.

4 – Agora escrevemos um número à esquerda da linha vertical. Explicaremos mais tarde qual número colocar aqui e por quê. Por enquanto, começamos com 1.

Esse número corresponde ao número (a) do binômio x – a:

Neste caso, escrever um 1 significa o binômio (x – 1) no método Ruffini.

5 – Começamos a executar o método. O primeiro buraco na segunda fila é sempre deixado livre:

6 – A soma da primeira coluna é feita e o resultado é anotado:

7 – O número à esquerda é multiplicado pelo resultado da soma da primeira coluna. O resultado é colocado na cavidade da segunda coluna:

8 – É aditada a segunda coluna:

9 – O número à esquerda é multiplicado pelo resultado da soma da segunda coluna. O resultado é colocado na cavidade da terceira coluna:

10 – Assim por diante até que todas as colunas estejam completas:

O objetivo é que na última coluna tenhamos um 0. Esta é a explicação de qual número colocar à esquerda da linha:

Se não tivermos um zero, teremos de tentar outro número à esquerda da linha vertical e reiniciar o processo.

[hr]

Assim que tivermos um zero no final, vamos ver o que significa o que temos até agora:

O que nos resta na última linha é outra equação, mas agora, o número que está à esquerda do 0, tem grau 0 e este está aumentando de 1 em 1 para a esquerda. Neste caso, ficamos com o equivalente de ter esta equação:

E como já vimos antes, o 1 à esquerda da linha vertical significava:

O que significa que o que temos até agora é o produto dessas duas equações, que é igual à equação original:

[hr]

11 – Com a fila que nos resta, começamos de novo. Vamos começar com o teste 1:

12 – Como antes, multiplicamos pelo resultado da adição em cada coluna:

No final temos um 6, e o que queremos é ter um zero. Portanto, devemos continuar testando, com -1, com 2, com 2, com -2… até encontrarmos o número que nos faz ter um zero na última coluna.

O número que nos faz ter um 0 no final é -2:

O que fazemos agora? Como sabemos que acabámos?

A nota mais alta da última fila é 1, por isso estamos despachados:

O resultado da ponderação da equação pelo método de Ruffini é o produto da última linha e dos números que se encontram à esquerda da linha vertical, mas expressos sob a forma de uma equação:

Portanto, a nossa equação será:

Até agora, temos computado a equação. Agora vamos resolvê-lo:

1 – Nós igualamos 0, como era no começo

2 – Lembre-se que quando uma multiplicação de dois ou mais fatores resulta em 0, significa que um dos fatores é 0, já que qualquer valor multiplicado por 0 é 0. Portanto, qualquer fator pode ser 0.

Ficamos com três equações de primeiro grau para limpar, das quais obtemos as três soluções (pois é uma equação de terceiro grau):

Soluções -1, -2 y 1

A Regra de Ruffini para Dividir entre Binómios da forma x-a

Neste caso, a regra de Ruffini serve para fazer uma divisão de polinômios, onde o divisor é um binômio da forma (x-a).

Por exemplo, pedem-nos que façamos a próxima divisão:

Desde que o divisor é x-2, isto é, é do formulário x-a, nós usamos a regra de Ruffini. Devemos aplicar a regra apenas uma vez.

Desta vez, o número que temos que colocar à esquerda da linha vertical é 2 (o a de x-a) e não temos que nos preocupar se temos um zero na coluna final ou não. O resultado que você nos dá será o resto da divisão:

O quociente de divisão será o polinômio formado pelos coeficientes da última linha:

E o resto será o último elemento da última fila: