Cómo Sumar y Restar Polinomios Paso a Paso. Ejercicios resueltos.

En esta sección vamos a aprender a sumar y restar polinomios paso a paso y analizaremos las pequeñas dificultades que se nos pueden presentar y cómo resolverlas.

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A continuación voy a explicarte la suma y resta de polinomios, con ejemplos resueltos paso a paso.

Pero antes ¿qué son los términos de un polinomio?

Qué son los Términos de un Polinomio

Antes de empezar a explicar cómo sumar y restar polinomios debemos tener muy claro qué son los términos de un polinomio.

Un término se compone de:

  • Coeficiente: Un número (si no aparece ninguno es que tiene un 1)

suma y resta de polinomios

suma de polinomios ejemplos

como resolver polinomios

polinomios ejercicios resueltos paso a paso

  • Parte literal: Una o más variables, que pueden estar elevadas a algún exponente o no.

como sumar polinomios

Los diferenciamos porque están separados por los signos de suma y resta en el polinomio.

Un polinomio de un solo término se llama monomio, con dos términos se llama binomio y con tres términos trinomio.

Términos Semejantes

Los términos semejantes son aquellos que tienen exactamente la misma parte literal, es decir, las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. Si existiera la más mínima diferencia, ya no serían términos semejantes.

Por ejemplo, los términos de cada línea son semejantes entre sí:

polinomios ejemplos

¿Te das cuenta? La parte literal es exactamente igual (aunque en la segunda línea no están en el mismo orden. Lo que importa es que tengan las mismas variables elevados a los mismos exponentes).

Sin embargo, estos dos términos no son semejantes:

suma de polinomios

Lo parecen, pero no lo son, ya que las variables m y n no están elevados al mismo exponente.

Cómo sumar y restar monomios

Cuando se aprende a sumar y restar números, te enseñan que se suman las manzanas con las manzanas y las naranjas con las naranjas.

Para sumar y restar monomios ocurre algo parecido, ya que debes tener en cuenta de que sólo se pueden sumar términos semejantes, es decir, como hemos indicado antes, los términos con la misma parte literal. Por eso es tan importante dominar el concepto de término semejante. Para poder diferenciar cuándo es posible realizar la suma o la resta.

Realmente, cuando sumamos y restamos términos semejantes, estamos sumando o restando los coeficientes

Entonces, para sumar o restar los términos semejantes, se siguen los siguientes pasos:

1. Asegurarnos de que los términos son semejantes

2. Sumar o restar los coeficientes que tenga delante cada término semejante

3. Mantener la parte literal

Vamos a resolver un sencillo ejemplo paso a paso para que entiendas mejor cómo funciona:

como se suman los polinomios

En este caso, tenemos dos términos: y 3a².

En el término tenemos:

  • Coeficiente: 1 (cuando no lleva nada es que tiene un 1)
  • Parte literal:

En el término 3a² tenemos:

  • Coeficiente: 3
  • Parte literal:

En ambos términos, la parte literal es a² y es exactamente igual. Por tanto, son términos semejantes y se pueden sumar, así que:

2. Sumamos los coeficientes: 1 + 3 = 4
3. Mantenemos la parte literal:

polinomios suma y resta

Estos pasos, cuando se tiene más práctica se hacen de memoria, pero para empezar y entenderlos bien, lo indico así, al detalle.

Vamos a ver otro ejemplo muy similar al anterior, pero con una pequeña diferencia:

suma de polinomio

Tenemos dos términos: y 3a³

En el término tenemos:

  • Coeficiente: 1
  • Parte literal:

En el término 3a³ tenemos:

  • Coeficiente: 3
  • Parte literal: 3a³

Ahora la parte literal de ambos términos no son exactamente iguales. La variables coincide, pero no está elevada al mismo exponente, ya que uno está elevado al cuadrado y el otro al cubo.

Por tanto, estos términos no son semejantes y no se pueden sumar.

Cómo sumar y restar polinomios

Existen polinomios en los que tenemos varios términos con distintas partes literales, como por ejemplo:

suma y resta de polinomios ejemplos

En estos casos, debemos identificar si existen términos semejantes entre ellos y sumarlos o restarlos por separado.

Cada una de estas sumas y restas de términos semejantes, formarán los términos del polinomio final.

Vamos a verlo más despacio:

En el polinomio anterior hay tres tipos de términos:

  • Términos  con parte literal x
  • Términos  con parte literal y
  • Términos  sin parte literal

Términos con parte literal x

Tenemos dos términos con la parte literal x:

ejemplos de suma de polinomios

Al tener la misma parte literal, son términos semejantes y por tanto, pueden sumarse o restarse entre sí. Entonces:

  • Restamos los coeficientes: 2-1=1
  • Mantenemos la parte literal: x

como se suman polinomios

El término resultante, es uno de los términos del resultado final.

Términos con parte literal y

Tenemos dos términos con la parte literal y:

resta de polinomios ejemplos

Al tener la misma parte literal, son términos semejantes y por tanto, pueden sumarse o restarse entre sí. Entonces:

  • Restamos los coeficientes: -3+1=-2
  • Mantenemos la parte literal: y

resta de polinomios

El término resultante, es otro de los términos del polinomio final.

Términos sin parte literal

Los términos que no tienen parte literal son:

como sumar y restar polinomios

Los términos sin parte literal son números, que operamos con ellos y el resultado será el último término del polinomio final:

como se hace la suma de polinomios

Y de esta forma hemos obtenido el resultado final, sumando o restando todos los términos semejantes entre sí, tal y como te indiqué al principio.

Suma y resta de polinomios por separado

Hay ocasiones,  en las que nos piden sumar y restar polinomios, pero nos dan cada uno de ellos por separado.

Por ejemplo: Sumar y restar los siguiente polinomios:

sumar polinomios

Suma de polinomios: Ejemplo resuelto

Vamos a empezar explicando cómo sumar polinomios:

restar polinomios

En primer lugar, sustituimos P(x) y Q(x) por sus términos:

sumas y restas de polinomios

Eliminamos los paréntesis, teniendo en cuenta la regla de los signos. Si no recuerdas como se eliminan los paréntesis, en la lección 2 del Curso de Números Enteros, te explico como hacerlo:

ejemplos de polinomios

Ahora, sumamos y restamos los términos semejantes entre sí y queda:

ejemplos de sumas de polinomios

Resta de polinomios: Ejemplo resuelto

Una vez hemos visto cómo se suman los polinomios, vamos a ver cómo restar polinomios:

Igual que antes, sustituimos P(x) y Q(x) por sus términos:

Y eliminamos paréntesis. En este caso, tenemos un signo menos delante de uno de ellos, que modifica el signo de los términos que hay dentro del paréntesis, ya que es equivalente a multiplicar por -1:

Una vez tenemos el polinomio sin paréntesis, ya podemos sumar y restar los términos semejantes entre sí:

Y así de fácil es sumar y restar polinomios.

Ejercicios resueltos de suma y resta de polinomios

1 – Realiza las siguientes operaciones de polinomios:

2 – Dados los polinomios:

Realiza:

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