Cómo calcular el Máximo Común Divisor. Ejercicios resueltos

Vamos a explicar qué es el máximo común divisor el método para calcularlo y cuando se utiliza, con ejercicios resueltos paso a paso para que te quede totalmente claro.

Si lo necesitas, en el Curso de Múltiplos y Divisores también puedes consultar cómo calcular el mínimo común múltiplo.

Si has llegado hasta aquí es porque seguramente hay algún ejercicio que no sabes resolver. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Divisores de un número

Los divisores de un número son aquellos que al dividir ese número, el resultado da exacto. Por ejemplo:

9:3 = 3

Decimos que el 3 es divisor del 9 y a su vez, el 9 es múltiplo de 3.

Para obtener los divisores de un número se aplican las Reglas de Divisibilidad, que puedes consultarlas si pulsas en enlace.

Qué es el Máximo Común Divisor (m.c.d.)

El máximo común divisor de 2 o más números, es un divisor que es común a esos números y además es el más alto de los divisores que sean comunes.

Por ejemplo, vamos a verlo con los divisores de 20 y de 10:

Divisores de 202, 4, 5, 10, 20

Divisores de 102, 5, 10

Los divisores resaltados en azul son los divisores comunes que tienen 10 y 20.

Al contrario que sucede con los múltiplos, que son infinitos, los divisores son una cantidad concreta y en este caso, los divisores comunes son 2, 5 y 10.

El más alto de los tres es el 10, por tanto, 10 es el máximo común divisor de 10 y 20.

Cómo Calcular el Máximo Común Divisor (m.c.d.)

El procedimiento para calcularlo es el siguiente:

1 – Se descomponen los números en factores primos.

2- Se seleccionan sólo los factores comunes que aparezcan al descomponer los números, elevados al menor exponente

3 – Se multiplican los factores elegidos (con el exponente elegido para cada uno) y el resultado será el máximo común divisor

Ejercicios resueltos de cálculo de Máximo Común Divisor paso a paso

Ejercicio resuelto 1

Calcular el máximo común divisor de 30 y 36

1 – Se descomponen los números en factores primos:

mcd-1

2 –  Elegimos sólo los factores comunes. En el 30 tenemos un 2, un 3 y un 5. En el 36  tenemos un 2 y un 3. Vamos a poner las dos descomposiciones juntas para verlo más claro:

mcd-2

Por tanto los factores elegidos son 2 y 3. El 5 no es común porque el 36 no lo tiene.

Ahora vamos a elegir los exponentes, que será el menor para cada uno:

El 2 lo tenemos elevado a 1 y a 2, por tanto nos quedamos con el 1

El 3 lo tenemos elevado a 1 y a 2, por tanto nos quedamos con el 1

Los factores elevados a sus menores exponentes serían 2 y 3.

El M.C.D. de 30 y 36 es la multiplicación de estos factores con sus exponentes:

mcd-3

Date cuenta que sólo hemos elegido los factores que eran comunes a los dos números. El 5 no lo hemos elegido. Si no es común, no se elige.

Una vez elegidos los factores, se selecciona el menor exponente para cada uno.

¿Te queda claro el método? Tenemos que elegir los factores comunes y luego para cada factor hay que elegir el menor exponente

Ejercicio resuelto 2

Calcular el máximo común divisor de 15, 50 y 125

1 – Descomponemos los números:

mcd-4

2 – Elegimos los factores comunes. Estos son los números descompuestos:

mcd-5

Solamente el 5 es común a 15, 50 y 125. Entonces elegimos el 5.

El menor exponente de 5 es 1

El factor elegido con su menor exponente sería 5.

El M.C.D. de 15, 50 y 125 sería en este caso sólo este factor:

mcd-6

¡Ojo! Puede ser que no tengamos varios números y no haya ningún factor en común a ellos. En ese caso no existirá el máximo común divisor.

Por ejemplo: Calcular el máximo común divisor de 6, 10 y 15

1 – Descomponemos los números:

mcd-7

2 – Elegimos los factores comunes. Estos son los números descompuestos:

mcd-8

No hay ningún factor que sea común a los tres números. Por tanto no podemos elegir ninguno.

Como no tenemos factor, tampoco podemos elegir su exponente.

El M.C.D. de 6, 10 y 15 no existiría:

mcd-9

El mínimo común múltiplo de dos o más números, a diferencia, existe siempre, porque como mínimo será la multiplicación entre ellos.

Ejercicio resuelto 3

Calcular el máximo común divisor de 6, 12 y 30.

Descomponemos en factores primos:

como se calcula el maximo comun divisor

Elegimos los factores comunes a los 3 números. Vemos que el 2 y el 3 se repiten en los 3 y el exponente más pequeño al que se encuentra cada uno de ellos es el 1. Por tanto elegimos 2 y 3.

El máximo común divisor será:

como se obtiene el maximo comun divisor

Si no hubiera ningún factor común, no existiría el máximo común divisor de esos números. En el Curso de múltiplos y divisores, puedes encontrar un ejemplo de esto, explicado paso a paso. Además, en este curso, aprenderás también a descomponer números en factores primos y a utilizar las reglas de divisibilidad.

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