Cómo resolver sistemas de ecuaciones con radicales. Ejercicios resueltos.

A continuación te voy a explicar cómo resolver sistemas de ecuaciones con radicales de dos ecuaciones, es decir, sistemas donde una de las ecuaciones tiene radicales. Te lo explicaré mientras resolvemos un ejercicio paso a paso.

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Procedimiento para resolver sistemas de ecuaciones con radicales

Cuando tenemos un radical en un sistema de ecuaciones, el sistema se resuelve por el método de sustitución.

El procedimiento para despejar sistemas de ecuaciones con radicales es el siguiente:

  1. Debemos despejar una incógnita en la ecuación que no tiene el radical. Hay que procurar despejar la incógnita que sea más fácil despejar, es decir, la que no tenga ningún número delante, ya que al hacerlo así, evitaremos tener denominador, lo que simplificará mucho los cálculos.
  2. Sustituimos la incógnita que acabamos de despejar en la ecuación con radical. Nos quedará una ecuación con radical con una incógnita, que deberemos resolver, elevando ambos miembros al cuadrado para eliminar el radical.
  3. De esta ecuación obtendremos dos soluciones para una de las incógnitas, las cuales deberemos sustituir en la ecuación donde tenemos despejada la otra incógnita, obteniendo otros dos valores para la otra incógnita.
  4. En total tendremos dos pares de valores x e “y”, pero los dos pares no forman parte de la solución, ya que una de las soluciones es añadida al elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación con radical.
  5. Para identificar qué valores de x e “y” son la solución al sistema, sustituimos en la ecuación que tiene el radical. Aquellos valores que cumplan la igualdad, serán la solución del sistema.

Vamos a ver todo esto aplicado en un ejemplo resuelto paso por paso, para que lo tengas más claro.

Ejercicio resuelto de sistema de ecuaciones con radicales

Vamos a resolver este sistema de ecuaciones en el que una de las ecuaciones tiene un radical:

ecuaciones con radicales

En la primera ecuación:

ecuaciones con radicales ejercicios resueltos

Vamos a despejar la “y” ya que es más fácil de despejar y no lleva ningún número delante. La pasamos al segundo miembro y pasamos el 9 al primer miembro y queda de la siguiente manera:

sistema de ecuaciones con raices

Ahora, en la segunda ecuación:

ecuaciones con radicales ejercicios resueltos paso a paso

Sustituimos la “y” por su valor en función de x que acabamos de calcular:

sistemas de ecuaciones con radicales

En este punto del ejercicio, tenemos una ecuación con una incógnita y con un radical que tenemos que resolver. Para ello, vamos a simplificar la ecuación antes de elevar cada miembro al cuadrado.

Eliminamos los paréntesis:

como resolver ecuaciones con radicales

Agrupamos los términos semejantes que quedan dentro de la raíz y pasamos el resto de términos al segundo miembro para dejar la raíz sola:

como resolver radicales

Agrupamos términos en el segundo miembro:

sistema de ecuaciones con radicales

Ya tenemos la ecuación simplificada, por lo que procedemos a elevar ambos miembros al cuadrado para eliminar a raíz:

ecuaciones con radicales ejercicios

En el primer miembro, se elimina la raíz con el cuadrado y en el segundo miembro nos ha quedado un producto notable, que desarrollamos:

ecuaciones radicales

Pasamos todos los términos al primer miembro y agrupamos términos, quedando 0 en el segundo miembro:

ejercicios de ecuaciones con radicales

Nos ha quedado una ecuación de segundo grado que pasamos a resolver con la fórmula general de resolución de ecuaciones de segundo grado:

sistemas de ecuaciones con raices

ecuaciones radicales ejercicios resueltos

Obtenemos dos soluciones:

resolver ecuaciones con radicales

ecuaciones de segundo grado con radicales ejercicios resueltos

Estas dos soluciones, las sustituimos en la ecuación donde dejamos despejada la “y”:

ecuaciones con radicales ejemplos

Para cada valor de x, obtendremos por tanto un valor de “y”:

Sustituimos el valor de x=15 en la ecuación y calculamos su correspondiente valor de “y”:

sistemas de ecuaciones con radicales 4 eso

Hacemos lo mismo con el valor de x=6:

ecuaciones con dos radicales

Tenemos por tanto dos pares de soluciones, pero sólo un par es bueno, ya que el otro par nace de una de las soluciones de haber elevado la ecuación con radical al cuadrado y al ser una solución que hemos añadido nosotros, no va a formar parte de la solución.

Para comprobar qué par de soluciones forma parte de la solución, sustituimos sus valores en la ecuación con radical:

resolver radicales

El par de soluciones que cumpla la igualdad, será la solución del sistema de ecuaciones.

Probamos con las soluciones x=15 e y=21:

ecuaciones con raiz ejercicios

Operamos y comprobamos que no se cumple la igualdad:

ejemplos de ecuaciones con radicales

Por tanto, este par de soluciones no es la solución del sistema.

Probamos con las soluciones x=6 e y=3:

como resolver ecuaciones con raices

Operamos y vemos que en este caso sí que se cumple la igualdad:

solucion de radicales

Por tanto, la solución de este sistema de ecuaciones con radicales es:

ecuaciones con raices

Para resolver todos los sistemas de ecuaciones con radicales hay que seguir el mismo procedimiento. En lo único que se puede diferenciar la resolución de un sistema u otro es en la complejidad de las operaciones, pero en esencia, el procedimiento al seguir es el mismo.

Para resolver este tipo de sistemas, tienes que tener muy claro cómo resolver ecuaciones con radicales, dominar los productos notables y resolver ecuaciones con denominadores, además de controlar el sistema de sustitución. Lo tienes todo explicado en los Cursos de Matemáticas Online.

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