A continuación te dejo una serie de problemas resueltos de optimización de funciones paso a paso, así como el procedimiento a seguir para resolver esta clase de prolemas.
Para entender el procedimiento de resolución de estos problemas, debes comprender por separado las aplicaciones de las derivadas, como saber calcular máximos y mínimos en una función. Lo tienes todo explicado en el Curso de Aplicaciones de las Derivadas.
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Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:
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Procedimiento para resolver problemas de optimización de funciones
El procedimiento para resolver problemas de optimización de funciones es el siguiente:
- Identificar las incógnitas del problema, en función del enunciado del problema
- Plantear las ecuaciones traduciendo el enunciado del problema a lenguaje algebraico
- Obtener la función a optimizar, que dependerá de dos incógnitas
- Expresar la función a optimizar con una sola incógnita, despejando una incógnita en una ecuación y sustituyendo la expresión en la función a optimizar
- Derivar la función, igualarla a cero y resolver la ecuación obtenida para obtener los posibles máximos o mínimos
- Realizar la derivada segunda para comprobar si el resultado del paso anterior son máximos o mínimos
- Obtener el resultado de la otra incógnita
- Interpretar los resultados obtenidos para obtener la solución del problema
Vamos a aplicar este método más despacio resolviendo unos cuantos problemas de optimización de funciones.
Cómo resolver los problemas de optimización de funciones de dos variables
Para resolver los problemas de optimización de funciones, en primer lugar debemos plantear la ecuación que nos indica el enunciado del problema. Si tenemos dos variables, necesitamos dos ecuaciones que relacionen a esas dos variables.
Después necesitamos una ecuación que dependa solamente de una variable. Para ello, debemos despejar una variable en una de las ecuaciones y sustituir la expresión que nos quede en la otra, tal y como se hace para resolver un sistema de dos ecuaciones por el método de sustitución.
Lo que nos queda, es una función que dependerá de una variable del que tendremos que hallar su máximo o su mínimo (depende de lo que nos pida el problema), aplicando derivadas. Esta será una de las soluciones.
Sólo nos queda sustituir el valor obtenido en la expresión donde despejamos la otra variable para obtener la otra solución.
Para que te quede más claro, vamos a verlo paso a paso con unos ejercicios resueltos.
Problemas resueltos de optimización de funciones
Problema 1
Descomponer el número 16 en dos sumandos positivos tales que su producto sea máximo.
En este caso, las incógnitas son los dos números en los que descomponemos el número 16, que los llamaremos x e y.
La primera ecuación la obtenemos del dato de descomponer el 16 en dos sumandos positivos, es decir, en dos números cuya suma sea igual a 16:
Por otro lado, el enunciado nos pide que el producto de esos dos números sea máximo, es decir, que al multiplicar x por y, tengamos el mayor resultado posible. De aquí obtenemos la función a optimizar::
Vamos a transformar esta función para que dependa sólo de una incógnita, por ejemplo de x.
De la primera ecuación, despejamos la y:
Y esta expresión la sustituimos en la función, en el lugar de la y, y operamos:
Nos ha quedado una función a optimizar que sólo depende de la x, por lo que la podemos escribir así:
Esta función representa el producto de dos números, por lo que si encontramos el máximo de la función, estaremos encontrando la solución del problema.
Para hallar el máximo de la función, necesitamos la derivada primera, por lo que la calculamos:
Igualamos la función a 0:
Y resolvemos la ecuación:
Hemos obtenido un valor de x que es un posible máximo.
Para comprobar si es un máximo, calculamos la derivada segunda:
Y comprobamos su signo para el valor de la derivada segunda en x=8
Por tanto, el primer número que nos pide el problema es:
Y para calcular el segundo, vamos a utilizar la expresión donde despejamos la y:
Sustituyendo la y por 8:
Que nos da como resultado el segundo número:
La suma de los dos números da 16 y el producto es el máximo posible:
Problema 2
Encuentra un número tal que al restarle su cuadrado la diferencia sea máxima y sea mayor que cero.
En este problema llamaremos x al número que estamos buscando.
Del enunciado obtenemos la siguiente función, que será la función a optimizar:
Por otro lado, nos dice que el resultado debe ser mayor que cero, es decir, se tiene que cumplir la siguiente condición:
Así que tenemos que resolver esa inecuación de segundo grado con una incógnita para encontrar los valores de x que cumplen esa condición.
Igualamos la inecuación a 0 y la convertimos en una ecuación de segundo grado:
Resolvemos la ecuación de segundo grado que nos queda, obteniendo dos soluciones:
Representamos las dos soluciones en la recta numérica y damos valores a la x en cada tramo para saber si es positivo o negativo:
Por tanto, la solución de la inecuación es:
Es decir, la x debe ser mayor que 0 pero menor que 1 para que se cumpla la condición el enunciado.
Ahora vamos a calcular los posibles máximos de la función. Para ello, calculamos la derivada primera:
Igualamos la función a cero:
Y resolvemos la ecuación:
De donde obtenemos un posible máximo, el cual cumple la condición impuesta por el enunciado, por lo que en principio es válido. Si el resultado no hubiera cumplido la condición, el problema no tendría solución.
Para comprobar si es máximo, obtenemos la derivada segunda de la función:
Y el calculamos el valor de la derivada segunda en ese punto, que vemos que es menor que cero, luego en ese punto hay un máximo:
Y por tanto el número que buscamos es:
Problema 3
Una hoja de papel debe contener 18 cm² de texto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener 2 cm de altura cada uno y los laterales 1 cm. ¿Qué dimensiones debe tener la hoja de papel para que el gasto de papel sea mínimo?
En primer lugar, vamos a identificar las incógnitas. Llamaremos x al ancho del texto impreso e «y» al alto del texto impreso:
Ahora, al texto impreso le añadimos los márgenes que nos indica el enunciado:
Finalmente, expresamos las dimensiones del papel a partir de las dimensiones del texto impreso y los márgenes. El ancho del papel es igual al ancho del texto impreso (x), más 1 cm de margen a cada lado, es decir, x+2. El alto del papel es igual al alto del texto impreso (y), más 2 cm de margen a cada lado, es decir, y+4:
Ahora vamos a plantear las ecuaciones del problema.
Por un lado, nos dicen que la superficie del texto impreso debe ser igual a 18 cm², por lo que multiplicamos el ancho por el alto del texto impreso y lo igualamos a 18:
Por otro lado, nos preguntan por las dimensiones del papel para que la superficie sea mínima, luego la función a optimizar será la superficie del papel, que la obtenemos multiplicando el ancho por el alto del papel:
Ya tenemos la función a optimizar. Vamos a expresarla en función de una sola variable. Para ello, de la ecuación de la superficie del texto impreso despejamos la «y»:
En la función de la superficie del papel sustituimos la «y» por la expresión que acabamos de obtener:
Multiplicamos los paréntesis:
Sumamos los términos obteniendo denominador común:
Agrupamos términos semejantes en el numerador y reordenamos términos:
Por tanto, la función a optimizar, que depende de x es la siguiente:
Calculamos la derivada de la función, que se trata de la derivada de un cociente:
Operamos y simplificamos en el numerador:
Igualamos la primera derivada a cero:
Vamos a resolver la ecuación.
Primero pasamos el denominador al segundo miembro, que nos sigue quedando cero:
Despejamos x²:
Operamos en el segundo miembro:
Pasamos el cuadrado al segundo miembro como raíz y resolvemos:
Da como resultado 3 y -3. El -3 lo desechamos, ya que estamos calculando una longitud y las longitudes no pueden ser negativas. Por tanto, nos quedamos con x=3, que es un posible máximo o mínimo:
Para comprobar si es un máximo o mínimo, realizamos la derivada segunda, que vuelve a ser la derivada de un cociente:
Operamos en el numerador y simplificamos la fracción:
Calculamos el valor de la derivada segunda en x=3, que al ser mayor que cero, en ese punto hay un mínimo:
Como estamos buscando que la superficie sea mínima, x=3 es el valor de x que estamos buscando:
Ahora vamos a calcular el valor de «y» correspondiente a x=3. Para ello, en la expresión donde despejamos «y»:
Sustituimos la x por 3 y operamos:
Por tanto, los resultados para que la superficie del texto impreso sea mínima son x=3 e y=6, pero nos preguntan por las dimensiones del papel, por lo que a x y a «y» debemos sumarle los márgenes, obteniendo las dimensiones del papel que hacen que su superficie sea mínima:
Problema 4
El ayuntamiento va a imprimir postales de la ciudad para ofrecer en sus oficinas de turismo. Sabiendo que quieren que tenga la máxima superficie y que el perímetro tiene que ser igual a 40 cm, hallar las medidas en alto y en ancho de la postal y la superficie de la misma.
Identificamos las incógnitas. Llamamos x al ancho de la postal e «y» al alto de la postal:
El enunciado nos dice que el perímetro tiene que ser igual a 40 cm, de donde obtenemos la primera ecuación:
Y que la superficie debe ser la máxima, luego la función a optimizar es la superficie de la postal, que la calculamos multiplicando el ancho por el alto:
Tenemos la función a optimizar expresada con dos variables y la queremos expresar con una sola variable.
De la ecuación del perímetro, despejamos la «y»:
Y en la función de la superficie sustituimos la «y» por la expresión que acabamos de obtener:
Operamos y simplificamos:
Nos queda la siguiente función a optimizar:
Obtenemos la derivada de la función:
Igualamos la primera derivada a cero para obtener los posibles máximos o mínimos:
Cuya solución es:
Para comprobar si x=10 es un máximo o mínimo, realizamos la derivada segunda:
Y calculamos el valor de la segunda derivada segunda en x=10, que como es mayor que cero quiere decir que en ese punto hay un máximo:
Por tanto, x=10 es el valor que hace que el valor de la función sea máximo, así que es el valor de x que estamos buscando:
Para calcular el valor de «y» que le corresponde a x=10, en la expresión donde despejamos «y» sustituimos la x por 10:
Operamos y nos queda:
Así que el ancho y el alto de la postal son:
Con estas dimensiones, el perímetro es igual a 40 cm:
Y la superficie de la postal con estas dimensiones es:
Problema 5
Se quiere hacer una puerta rectangular coronada con un semicírculo como el de la figura. El hueco de la puerta tiene 16 m². Si es posible, determina la base x y la altura h para que el perímetro sea mínimo.
Tenemos el esquema de la forma de la puerta, donde x es la base y h es la altura y cuya área es de 16 m².
El área total de la puerta está compuesta por el área de un rectángulo más el área de un semicirculo:
El área del rectángulo la calculamos multiplicando la base por la altura:
Y el área del semicírculo, que tiene de radio x/2, la calculamos como el área de un círculo partido por 2:
Operamos para simplificar el área del semicírculo:
Sumamos ambas expresiones para obtener la ecuación del área total de la puerta:
E igualamos ese área a los 16 m² que tiene la puerta
Por otro lado, nos preguntan los valores de la base x y la altura h para que el perímetro sea mínimo. El perímetro será igual a la suma de los 3 lados del rectángulo que dan al exterior más el perímetro de una semicircunferencia de radio x/2:
Operamos en el tercer término para simplificar la expresión:
Y ésta es la función del perímetro que tenemos que optimizar, pero para ello, debemos expresarla en función de una sola variable.
En la ecuación del área:
Despejamos la altura:
Operamos para simplificar:
En la función del perímetro:
Sustituimos h por su expresión:
Operamos para eliminar el paréntesis en el primer término. Concretamente, he simplificado el 2 que multiplica el paréntesis con el 8 del denominador):
Sumamos los términos obteniendo denominador común:
Operamos en el denominador:
Y dividimos los trés terminos del numerador y el denominador entre 2:
La función a optimizar que depende sólo de x nos queda así:
Calculamos su derivada:
En este caso, en vez de realizar el cuadrado del denominador, lo indico como 4.4 y así puedo simplificar todos los términos diviendo entre 4:
Multiplico para eliminar el paréntesis del numerador:
Y opero en el numerador:
Igualamos la primera derivada a cero:
Y resolvemos la ecuación.
Una fracción algebraica es igual a cero cuando el numerador es igual a 0:
Sacamos factor común a x²:
Despejamos x²:
Despejamos x y operamos:
Descartamos la solución negativa por tratarse de longitudes y nos quedamos con x=4,23, que es un posible máximo o mínimo:
Para comprobar si es un máximo o mínimo, realizamos la derivada segunda.
A partir de la primera derivada:
Volvemos a derivar:
Operamos para eliminar paréntesis:
Operamos en el numerador:
Y simplificamos:
Calculamos el valor de la derivada segunda en x=4,23, que al ser mayor que cero, en ese punto hay un mínimo:
Como estamos buscando que el perímetro sea mínimo, x=4,23 es el valor de x que estamos buscando:
Por útlimo, obtenomos el valor de h.
En la expresión donde despejamos h:
Sustituimos x por su valor y operamos:
Por tanto, la base de la puerta debe medir 4,23 m y la altura 2,12 m para que el perímetro sea mínimo.
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