Ejercicios resueltos de optimización de funciones de dos variables.

A continuación te dejo una serie de problemas resueltos de optimización de funciones paso a paso.

Para entender el procedimiento de resolución de estos problemas, debes comprender por separado las aplicaciones de las derivadas, como saber calcular máximos y mínimos en una función. Lo tienes todo explicado en el Curso de Aplicaciones de las Derivadas.

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Cómo resolver los problemas de optimización de funciones de dos variables

Para resolver los problemas de optimización de funciones, en primer lugar debemos plantear la ecuación que nos indica el enunciado del problema. Si tenemos dos variables, necesitamos dos ecuaciones que relacionen a esas dos variables.

Después necesitamos una ecuación que dependa solamente de una variable. Para ello, debemos despejar una variable en una de las ecuaciones y sustituir la expresión que nos quede en la otra, tal y como se hace para resolver un sistema de dos ecuaciones por el método de sustitución.

Lo que nos queda, es una función que dependerá de una variable del que tendremos que hallar su máximo o su mínimo (depende de lo que nos pida el problema), aplicando derivadas. Esta será una de las soluciones.

Sólo nos queda sustituir el valor obtenido en la expresión donde despejamos la otra variable para obtener la otra solución.

Para que te quede más claro, vamos a verlo paso a paso con unos ejercicios resueltos.

Problemas resueltos de optimización de funciones

Problema 1

Descomponer el número 16 en dos sumandos positivos tales que su producto sea máximo.

El enunciado del problema nos está pidiendo dos números, x e y, tales que al sumarlos el resultado sea 16. De aquí obtenemos la primera ecuación.

Y que el producto de esos dos números sea máximo, es decir, que al multiplicar x por y, tengamos el mayor resultado posible. De aquí obtenemos la segunda ecuación y como no sabemos el resultado de x por y, al producto le llamamos P:

Vamos a convertir esta ecuación para que dependa sólo de una incógnita, por ejemplo la x.

De la primera ecuación, despejamos la y:

Y esta expresión la sustituimos en la segunda ecuación, en el lugar de la y, y operamos:

Nos ha quedado una función que sólo depende de la x, por lo que la podemos escribir así:

Esta función representa el producto de dos números, por lo que si encontramos el máximo de la función, estaremos encontrando la solución del problema.

Para hallar el máximo de la función, necesitamos la derivada primera, por lo que la calculamos:

Igualamos la función a 0:

Y resolvemos la ecuación:

Hemos obtenido un valor de x que es un posible máximo.

Para comprobar si es un máximo, calculamos la derivada segunda:

Y comprobamos su signo para el valor de la derivada segunda en x=8

Por tanto, el primer número que nos pide el problema es:

Y para calcular el segundo, vamos a utilizar la expresión donde despejamos la y:

Sustituyendo la y por 8:

Que nos da como resultado el segundo número:

La suma de los dos números da 16 y el producto es el máximo posible:

Problema 2

Encuentra un número tal que al restarle su cuadrado la diferencia sea máxima y sea mayor que cero.

Del enunciado obtenemos la siguiente función:

En esta función tenemos que buscar el máximo.

Para ello, calculamos la derivada primera:

Igualamos la función a cero:

Y resolvemos la ecuación:

De donde obtenemos un posible máximo.

Para comprobar si es máximo, obtenemos la derivada segunda de la función:

Y el calculamos el valor de la derivada segunda es ese punto, que vemos que es menor que cero, luego en ese punto hay un máximo:

Y por tanto el número que buscamos es:

Problema 3

Una hoja de papel debe contener 18 cm² de texto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener 2 cm de altura cada uno y los laterales 1 cm. ¿Qué dimensiones debe tener la hoja de papel para que el gasto de papel sea mínimo?

(próximamente)

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