Cómo solucionar ejercicios y problemas de probabilidad paso a paso

A continuación vamos a ver cómo resolver unos cuantos ejercicios y problemas resueltos de probabilidad paso a paso.

Puedes encontrar más ejercicios resueltos de probabilidad, así como otros contenidos y exámenes en solucionarios de problemas.

Ejercicios resueltos de probabilidad

Ejercicio 1

Se tiene una urna vacía y se lanza una moneda al aire. Si sale cara, se introduce en al urna una bola blanca, si sale cruz, se introduce una bola negra. El experimento se repite tres veces y a continuación se extrae una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que en la urna queden una bola blanca y otra negra? Plantea un diagrama de árbol.

Este ejercicio lo resolveremos en dos partes. La primera parte corresponde a los tres lanzamientos y la segunda parte a la extracción de la bola.

Lanzar una moneda tres veces son sucesos compuestos independientes, ya que el resultado del segundo y del tercer lanzamiento no está condicionado por resultado de lanzamientos anteriores.

Introducir una bola blanca o una negra depende directamente del resultado del experimento de lanzar una moneda. La probabilidad de que salga cara o de que salga cruz es de 1/2, por tanto, la probabilidad de meter una bola negra en la urna o de meter una bola blanca es también 1/2.

Así que, para simplificar un poco el diagrama de árbol, vamos a analizar directamente la probabilidad de meter una bola blanca o una negra en cada lanzamiento, teniendo en cuenta lo indicado anteriormente:

La probabilidad de cada uno de los resultados es la misma:

Teniendo en cuenta todos los posibles resultados después de lanzar 3 veces la moneda, podemos tener 4 diferentes situaciones:

1) Que nos queden 3 bolas blancas en la urna, cuya probabilidad es:

2) Que nos queden 2 bolas blancas y 1 negra en la urna, cuya probabilidad es:

3) Que nos queden 2 bolas negras y 1 blanca en la urna, cuya probabilidad es:

4) Que nos queden 3 bolas negras en la urna, cuya probabilidad es:

En las únicas dos situaciones posibles en las que nos puede quedar una bola blanca y otra negra después de sacar una bola es en la situaciones 2 y 3. Por tanto, vamos a partir de estas dos situaciones, con sus correspondientes probabilidades para realizar un nuevo diagrama de árbol:

A partir de aquí, de cada situación, podemos extraer una bola blanca o una negra, cuyo diagrama de árbol es:

La probabilidad de cada uno de los resultados es:

Finalmente, la probabilidad de que nos quede una bola blanca y una negra es la suma de las probabilidades de los dos resultados posibles en los que nos queda una bola blanca y una negra:

Ejercicio 2

Una mesa de despacho tiene dos cajones. El primero contiene 4 rotuladores rojos y 2 azules. El segundo contiene 3 rotuladores rojos y 3 azules. Se abre un cajón al azar y se extrae un rotulador

a) ¿Cuál será la probabilidad de que se haya abierto el segundo cajón y se haya cogido un rotulador rojo?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el rotulador sea azul?

Vamos a ir construyendo el diagrama de árbol paso a paso.

En primer lugar, tenemos dos cajones, el primero y el segundo, luego la probabilidad de abrir el uno o el otro es de 1/2:

Luego, dentro de cada cajón, obtenemos las probabilidades de sacar un rotulador rojo o uno azul en función del número de rotuladores de cada tipo en cada cajón:

Finalmente añadimos una columna con el resultado de cada posibilidad:

La probabilidad de cada uno de los resultados es:

La probabilidad de sacar un rotulador rojo del segundo cajón es P(SR), que ya la tenemos calculada:

La probabilidad de sacar un rotulador azul, es la suma de la probabilidad de sacar un rotulador azul del primer cajón, P(PA), más la probabilidad de sacar un rotulador azul del segundo cajón, P(SA):

Cuyo resultado es:

Ejercicio 3

En un instituto entran nuevos alumnos de otra población, repartidos de la siguiente forma: 40% en 1º, 30% en 2º, 20% en 3º y el resto en 4º. El porcentaje de alumnos nuevos aprobados de cada curso está en el 70% en 1º, 60% en 2º, 40% en 3º y 30% en 4º. Si elegimos un alumno nuevo, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado? ¿Y de que haya suspendido?

Vamos a llamar a los sucesos Aprobar y Suspender de la siguiente manera:

La realización del diagrama de árbol de este ejercicio sería demasiado tediosa. Por eso, vamos a calcular directamente las probabilidades que nos interesan.

Por ejemplo, para obtener la probabilidad de que un alumno nuevo de 1º haya aprobado, tenemos que multiplicar la porcentaje de alumnos nuevos que hay en primero, en tanto por 1, es decir, 0,4, por el porcentaje de alumnos nuevos aprobados en primero, también en tanto por uno, es decir, 0,7:

Para el resto de cursos lo haríamos de la misma forma.

Así, la probabilidad de elegir un alumno nuevo y que haya aprobado es igual a la suma de las probabilidades de aprobar de los alumnos nuevos de cada curso:

Que resulta:

El porcentaje de alumnos suspensos lo obtenemos con el suceso contrario de aprobar, es decir, restando a 1 la probabilidad del suceso de aprobar en cada caso:

Por ejemplo, en primero, el porcentaje, en tanto por uno, de suspensos sería:

De esta forma para obtener la probabilidad de alumnos suspensos en primero multiplicamos el porcentaje de alumnos nuevos por el porcentaje de alumnos suspensos:

Si hacemos lo mismo con el resto de cursos y sumamos todas las probabilidades obtendremos la probabilidad de que un alumno nuevo haya suspendido:

Cuyo resultado es:

Ejercicio 4

Pablo y Miguel están jugando a un juego de encestar que consiste en lo siguiente: Desde una determinada posición, realizas un lanzamiento. Si aciertas el primer tiro, puedes repetir el lanzamiento y si lo fallas, ya no puedes seguir lanzando. Por tanto, es posible conseguir 0 puntos (fallando el primer lanzamiento), 1 punto (acertando el primero y fallando el segundo) o 2 puntos (acertando los dos lanzamientos). Pablo suele acertar el 70% de sus lanzamientos. ¿Qué puntuación es más probable que consiga Pablo: 0, 1 o 2 puntos?

En primer lugar realizamos el diagrama de árbol de los lanzamientos de Pablo y queda:

La probabilidad de tener 2 aciertos, es decir, de tener 2 puntos es:

La probabilidad de acertar el primer lanzamiento y fallar el segundo y de tener un punto es:

La probabilidad de tener 0 puntos al fallar el primer tiro es:

Por tanto, lo más probable es que Pablo obtenga 2 puntos

Si estás buscando problemas resueltos de primaria, siguiendo este enlace puedes encontrar también el solucionario de matemáticas para 6º de Primaria.

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