Problemas resueltos de probabilidad paso a paso

Este ejercicio lo resolveremos en dos partes. La primera parte corresponde a los tres lanzamientos y la segunda parte a la extracción de la bola.

Lanzar una moneda tres veces son sucesos compuestos independientes, ya que el resultado del segundo y del tercer lanzamiento no está condicionado por resultado de lanzamientos anteriores.

Introducir una bola blanca o una negra depende directamente del resultado del experimento de lanzar una moneda. La probabilidad de que salga cara o de que salga cruz es de 1/2, por tanto, la probabilidad de meter una bola negra en la urna o de meter una bola blanca es también 1/2.

Así que, para simplificar un poco el diagrama de árbol, vamos a analizar directamente la probabilidad de meter una bola blanca o una negra en cada lanzamiento, teniendo en cuenta lo indicado anteriormente:

La probabilidad de cada uno de los resultados es la misma:

Teniendo en cuenta todos los posibles resultados después de lanzar 3 veces la moneda, podemos tener 4 diferentes situaciones:

1) Que nos queden 3 bolas blancas en la urna, cuya probabilidad es:

2) Que nos queden 2 bolas blancas y 1 negra en la urna, cuya probabilidad es:

3) Que nos queden 2 bolas negras y 1 blanca en la urna, cuya probabilidad es:

4) Que nos queden 3 bolas negras en la urna, cuya probabilidad es:

En las únicas dos situaciones posibles en las que nos puede quedar una bola blanca y otra negra después de sacar una bola es en la situaciones 2 y 3. Por tanto, vamos a partir de estas dos situaciones, con sus correspondientes probabilidades para realizar un nuevo diagrama de árbol:

A partir de aquí, de cada situación, podemos extraer una bola blanca o una negra, cuyo diagrama de árbol es:

La probabilidad de cada uno de los resultados es:

Finalmente, la probabilidad de que nos quede una bola blanca y una negra es la suma de las probabilidades de los dos resultados posibles en los que nos queda una bola blanca y una negra:

Vamos a ir construyendo el diagrama de árbol paso a paso.

En primer lugar, tenemos dos cajones, el primero y el segundo, luego la probabilidad de abrir el uno o el otro es de 1/2:

Luego, dentro de cada cajón, obtenemos las probabilidades de sacar un rotulador rojo o uno azul en función del número de rotuladores de cada tipo en cada cajón:

Finalmente añadimos una columna con el resultado de cada posibilidad:

La probabilidad de cada uno de los resultados es:

La probabilidad de sacar un rotulador rojo del segundo cajón es P(SR), que ya la tenemos calculada:

La probabilidad de sacar un rotulador azul, es la suma de la probabilidad de sacar un rotulador azul del primer cajón, P(PA), más la probabilidad de sacar un rotulador azul del segundo cajón, P(SA):

Cuyo resultado es:

Vamos a llamar a los sucesos Aprobar y Suspender de la siguiente manera:

La realización del diagrama de árbol de este ejercicio sería demasiado tediosa. Por eso, vamos a calcular directamente las probabilidades que nos interesan.

Por ejemplo, para obtener la probabilidad de que un alumno nuevo de 1º haya aprobado, tenemos que multiplicar la porcentaje de alumnos nuevos que hay en primero, en tanto por 1, es decir, 0,4, por el porcentaje de alumnos nuevos aprobados en primero, también en tanto por uno, es decir, 0,7:

Para el resto de cursos lo haríamos de la misma forma.

Así, la probabilidad de elegir un alumno nuevo y que haya aprobado es igual a la suma de las probabilidades de aprobar de los alumnos nuevos de cada curso:

Que resulta:

El porcentaje de alumnos suspensos lo obtenemos con el suceso contrario de aprobar, es decir, restando a 1 la probabilidad del suceso de aprobar en cada caso:

Por ejemplo, en primero, el porcentaje, en tanto por uno, de suspensos sería:

De esta forma para obtener la probabilidad de alumnos suspensos en primero multiplicamos el porcentaje de alumnos nuevos por el porcentaje de alumnos suspensos:

Si hacemos lo mismo con el resto de cursos y sumamos todas las probabilidades obtendremos la probabilidad de que un alumno nuevo haya suspendido:

Cuyo resultado es:

En primer lugar realizamos el diagrama de árbol de los lanzamientos de Pablo y queda:

La probabilidad de tener 2 aciertos, es decir, de tener 2 puntos es:

La probabilidad de acertar el primer lanzamiento y fallar el segundo y de tener un punto es:

La probabilidad de tener 0 puntos al fallar el primer tiro es:

Por tanto, lo más probable es que Pablo obtenga 2 puntos

Apartado a

Si sumamos las personas de Albacete, Toledo y Cuenca, tenemos un total de 30 personas.

Por tanto, según la ley de Laplace, la probabilidad de que en el primer sorteo le toque a una persona de Albacete, Toledo o Cuenca son las siguientes:

• Albacete: P(A)=15/20
• Toledo: P(T)=12/30
• Cuenca: P(C)=3/30

Lo representamos en un diagrama de árbol:

En el segundo sorteo, como a una persona le puede tocar los dos ortenadores, las probabilidades de que le vuelva a tocar a una persona de Albacete, Toledo o Cuenca son las mismas que para el primer sorteo. Representado en un diagrama de árbol queda:

La probabilidad de que no le toque a ninguna persona de Toledo, será la suma de probabilidades en los que no aparezca Toledo, es decir, la suma de los caminos del árbol que no pase por ninguna T:

Sustituimos las probabilidades por sus valores:

Y operamos:

Apartado b

En este caso, en cada elección no se puede repetir la persona, por lo que para construir el diagrama de árbol, tenemos en cuenta de que los casos posibles se van reduciendo en una persona, es decir:

• Casos posibles en la 1ª elección: 30
• Casos posibles en la 2ª elección: 29
• Casos posibles en la 3ª elección: 28

Para obtener los casos favorables en cada elección, restamos una persona de la ciudad elegida y el resto lo dejamos igual. Por ejemplo, en la primera elección, los casos favorables son 15, 12 y 3 para Albacete, Toledo y Cuenca, respectivamente. Si sale elegida una persona de Albacete, para la segunda elección los casos favorables para Albacete serían 14, siendo Toledo y Cuenca 12 y 3 (igual que en la primera elección, ya que esas personas siguen sin elegirse).

Como nos preguntan la probabilidad de que las tres personas sean de Albacete, vamos a representar solamente esa parte del árbol, siguiendo el criterio que te acado de explicar:

La probabilida de que las tres personas sean de Albacete es:

Apartado c

Nos preguntan la probabilidad de que una persona sea de Albacete, eligiéndola al azar, sabiendo que no es de Cuenca

En este caso, no debemos tener en cuenta las personas de Cuenca, por lo que el número de casos posibles pasa de ser 30 a ser 27, ya que restamos las 3 personas de Cuenca. Los casos favorables para Albacete y Toledo, siguen siendo 15 y 12:

Así que la probabilidad de que una persona sea de Albacete sabiendo que no es de Cuenca es: