Integrales racionales con raíces complejas en el denominador. Ejercicios resueltos

En esta lección te voy a explicar cómo resolver integrales racionales cuando el polinomio del denominador tiene raíces complejas.

Veremos el procedimiento a utilizar resolviendo varios ejemplos, que irán aumentando su dificultad gradualmente.

¡Empezamos!

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Cómo resolver integrales racionales con raíces complejas en el denominador

El procedimiento que vamos a ver a continuación se utiliza para integrar funciones racionales cuyo polinomio del denominador tenga raíces complejas.

Por ejemplo, tenemos que resolver la siguiente integral:

No es posible resolverla aplicando integrales inmediatas. El grado del denominador es mayor que el grado del numerador, ya que en el denominador tenemos un polinomio de grado 3, que es el resultado de multiplicar ambos factores:

En nuestro caso, ya tenemos el denominador descompuesto en factores (si no es así, hay que descomponerlo utilizando la regla de Ruffini si es un polinomio de grado mayor o igual a tres).

Uno de los factores es de grado dos, lo que significa que es un polinomio de segundo grado irreducible y que por tanto, sus raíces son complejas. Lo comprobamos igualando el polinomio a cero y resolviendo la ecuación de segundo grado obtenida:

Llegados a este punto, hemos identificado que se trata de una función racional, donde el grado del numerador es menor que el grado del denominador, con raíces complejas.

Este tipo de integrales se resuelven descomponiendo la función racional como una suma de fracciones simples, donde el denominador de cada fracción simple corresponde a cada factor del denominador original, tal y como se hace cuando resolvemos integrales racionales con raíces reales distintas:

En las fracciones simples donde el denominador sea un polinomio de grado 1, el numerador corresponderá a una constante que no conocemos, que le llamamos por ejemplo A:

Ahora viene la diferencia de este método: En las fracciones simples cuyo denominador sea un polinomio de segundo grado, el numerador que le corresponde será un polinomio de grado 1, compuesto por un término de grado 1 y un término de grado cero, de los cuales no conocemos sus coeficientes y los debemos calcular. Este polinomio de grado 1 le hemos llamado en este caso Bx+C:

Ahora debemos calcular el valor de las constantes A, B y C.

Para ello, sumamos las fracciones simples, reduciéndolas a común denominador (tienes explicado cómo hacerlo paso a paso en el Curso de Fracciones Algebraicas):

La fracción resultante, tiene el mismo denominador que nuestra fracción original:

Por tanto, sus numeradores son iguales:

Y nos quedamos con esta ecuación para hallar los valores de las constantes, que los calcularemos, dando valores a la x y obteniendo nuevas ecuaciones que estarán en función de las constantes y donde podremos despejarlas para obtener su valor.

En primer lugar le daremos a x el valor de la raíz real, para anular uno de los términos y obtener el valor de una de las constantes directamente. Le damos x=1:

Ahora le damos el valor de x=0, para que se anule al menos el término con x correspondiente al polinomio de primer grado que no conocemos. Nos queda:

En este caso, como ya conocemos el valor de A, podemos obtener también el valor de C, que es:

Finalmente, le damos un tercer valor a x, que puede ser cualquiera. Nos quedará una ecuación en función de A, B y C. Yo le he dado x=-1 y me queda:

Como ya conocemos los valores de A y C, los sustituimos por su valor, operamos y obtenemos el valor de B:

Ahora que sabemos los valores de todas las constantes, los sustituimos en sus fracciones simples, por lo que ya tenemos descompuesta en fracciones simples nuestra función racional:

Una vez hecho todo esto, ya podemos resolver nuestra integral:

En primer lugar la escribimos como suma de las integrales de las fracciones simples de las que se compone la función racional :

Operamos y sacamos el signo menos fuera de la segundo integral:

El objetivo de descomponer la integral de la función racional en integrales de fracciones simples es poder aplicar el método de integración mediante integrales inmediatas en cada una de ellas, que es lo que haremos a continuación.

La primera integral se resuelve con la integral inmediata una función logarítmica compuesta y la segunda integral con la integral inmediata de una función arco tangente simple:

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Integrales racionales con raíces complejas en el denominador y factores irreducibles de segundo grado completos

Acabamos de ver como resolver integrales racionales con raíces complejas, pero el factor correspondiente a las raíces complejas, era un polinomio de segundo grado incompleto, es decir, sólo tenía término con x² y número.

Si el polinomio irreducible con raíces complejas es un polinomio de segundo grado completo, es decir, con término con x², término con x y número, hay que transformar el polinomio para que aparezca en él, una función elevada al cuadrado más 1 (f²+1), para poder aplicar la integral inmediata del arco tangente:

Vamos a verlo con un ejemplo:

En este caso, después de descartar otros métodos de resolución, analizamos las raíces del denominador igualando el polinomio a cero y resolviendo la ecuación:

Vemos que tiene raíces complejas.

En este caso, no podemos descomponer la función racional en fracciones simples ya que el denominador no es irreducible y no se puede descomponer.

Como te he comentado antes, para poder llegar a resolverla con la integral inmediata del arco tangente, debemos trasformar el polinomio para que sea de la forma f²+1.

Para conseguir eso, un polinomio segundo grado con raíces complejas se puede escribir de la siguiente forma:

Donde alfa y beta son los coeficientes de las soluciones complejas de la ecuación de segundo grado:

Aplicamos esta fórmula a nuestro polinomio irreducible de segundo grado, sustituyendo por los coeficientes de sus soluciones complejas:

Operamos y nos queda:

Por tanto la integral racional original la podemos expresar como:

Esto lo hemos hecho para ahora poder aplicar un cambio de variable y poder estar un paso más cerca de tener un polinomio que sea de la forma f²+1.

El cambio de variable consiste en igualar a t los términos que quedan dentro del paréntesis. En este caso x+1:

Ahora derivamos en ambos miembros para hallar la equivalente de dx con la nueva variable:

Y despejando x de la ecuación anterior, también podemos expresarla en función de t:

Ahora sustituimos x. x+1 y dx por sus correspondientes expresiones en función de la nueva variable t:

Operamos en el numerador:

Y separamos esta fracción en dos fracciones, una correspondiente a cada término del numerador:

Sacamos fuera las constantes de cada integral:

La primera integral puede resolverse por medio de la integral inmediata de una función potencial, por lo que le añadimos un 2 al numerador y por tanto, añadimos otro 2 dividiendo.

La segunda integral se resuelve mediante la aplicación de la integral inmediata del arco tangente, pero el denominador debe aparecer de la forma f²+1, por lo que para conseguirlo, primero sacamos factor común al 3, y ya tenemos el +1:

La primera integral la dejamos de momento tal y como está y en la segunda integral expresamos el primer término del paréntesis como un término al cuadrado. Para ello, dentro del paréntesis hacemos la raíz cuadrada tanto en el numerador como en el denominador, y nos queda:

Ahora ya podemos aplicar las correspondientes integrales inmediatas para resolver cada integral:

Una vez integradas, deshacemos el cambio de variable, sustituyendo t por su valor en función de x:

Finalmente, operamos en el polinomio que nos queda dentro del logaritmo neperiano y lo expresamos como el polinomio original, llegando a la solución final de la integral:

Ejercicio resuelto de una integral racional con raíces complejas en el denominador

Finalmente, para asentar conceptos, vamos a resolver una integral racional con raíces complejas en el denominador, donde se nos den juntos todos los casos que hemos estado viendo durante la lección.

Por ejemplo:

Comenzamos descomponiendo en factores el denominador. Como es de grado tres, lo factorizamos utilizando la regla de Ruffini y queda:

Nos queda un factor de grado 1 y otro factor de grado dos irreducible. Para hallar sus soluciones complejas, lo igualamos a cero y resolvemos la ecuación:

Como es un polinomio de segundo grado irreducible completo (con todos sus términos), lo expresaremos en función de sus soluciones complejas, aplicando la fórmula anterior:

Sustituimos los coeficientes de las soluciones complejas y nos queda:

Por lo que el polinomio del denominador lo podemos escribir como el producto de sus factores de esta forma:

Pasamos ahora a descomponer la función racional en fracciones simples, donde cada denominador de cada fracción simple corresponde a cada factor del denominador original. El numerador de la fracción simple con denominador de primer grado es una constante y el numerador de la fracción simple con denominador de segundo grado es un polinomio de primer grado:

Sumamos ambas fracciones reduciendo a denominador común:

E igualamos el numerador de la función racional original con el denominador que acabamos de obtener:

Con esta ecuación hallaremos los valores de A, B y C, dándole valores a la x.

Le damos el valor de la raíz real, es decir de x=2 y obtendremos directamente el valor de una da las constantes:

Le damos el valor de x=0 y nos queda:

Como sabemos el valor de A, podemos sustituirlo y despejar el valor de C:

Le damos otro valor al azar, por ejemplo x=1 y nos queda:

Al conocer los valores de A y C, podemos sustituir y hallar el valor de B:

Sustituimos el valor de las constantes en las fracciones simples y nos queda:

Ahora expresamos la integral original como suma de las integrales de las fracciones simples:

El resultado de la primera integral se obtiene directamente al aplicar la fórmula de la integral inmediata de la función logaritmo:

A partir de ahora nos centraremos sólo en la segunda integral puesto que la primera ya está resuelta.

Para resolver la segunda integral nos queda justo como la integral del apartado anterior, por lo que vamos a proceder al cambio de variable.

Llamamos t a los términos que están dentro del paréntesis:

Derivamos ambos miembros de esta ecuación para hallar la equivalencia de dx en términos de t:

Y de la primera ecuación despejamos x para tenerla también en función de t:

Ahora sustituimos x-3, x y dx por sus correspondientes expresiones en función de t:

Operamos en el numerador:

Separamos la integral en dos nuevas integrales, una correspondiente a cada término del numerador:

La primera integral puede resolverse por medio de la integral inmediata de una función potencial, por lo que le añadimos un 2 al numerador y por tanto, añadimos otro 2 dividiendo.

En la segunda integral sacamos fuera la constante y sacamos factor común al 4, para tener el +1 y acercarlo así a la forma f²+1 y que se pueda resolver mediante la aplicación de la integral inmediata del arco tangente:

La primera integral la dejamos igual de momento y en la segunda integral expresamos el primer término del paréntesis como un término al cuadrado. Para ello, dentro del paréntesis hacemos la raíz cuadrada tanto en el numerador como en el denominador, y nos queda:

Ahora ya podemos aplicar las correspondientes integrales inmediatas para resolver cada integral:

Deshacemos el cambio de variable, sustituyendo t por su valor en función de x:

Y para terminar, operamos en el polinomio que nos queda dentro del logaritmo neperiano, expresándolo como el polinomio original::

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