Intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función

En esta lección te voy a explicar cómo calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función cuando no tenemos su gráfica.

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A los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función también se le llama monotonía de una función.

¿Cómo saber en qué intervalos es creciente o decreciente una función?

Sabemos si una función es creciente o decreciente en un intervalo estudiando el signo de su derivada primera:

Si la derivada primera de la función f(x) es mayor que cero en un punto, entonces f(x) es estrictamente creciente en ese punto:

intervalos de crecimiento y decrecimiento

Si la derivada primera de la función f(x) es menor que cero en un punto, entonces f(x) es estrictamente decreciente en ese punto:

intervalos de crecimiento y decrecimiento

Ejercicio resuelto sobre el cálculo de intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función

Por ejemplo, vamos a estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la siguiente función:

intervalos de crecimiento y decrecimiento

Tenemos que estudiar el signo de su derivada primera, por tanto, lo primero que ha que hacer es calcular la derivada primera de la función:

intervalos de crecimiento y decrecimiento

Ahora vamos a estudiar su signo.

Para ello, vamos a calcular las raíces de la función, es decir, los valores que hacen que la función sea igual a 0. Por tanto, igualamos la función a 0 y la resolvemos:

intervalos de crecimiento y decrecimiento

Antes de empezar a resolver, simplifico los coeficientes:

intervalos de crecimiento y decrecimiento

Como es una ecuación de tercer grado, la descompongo en factores por la regla de Ruffini:

intervalos de crecimiento y decrecimiento

Y obtengo sus soluciones, que son:

intervalos de crecimiento y decrecimiento

Estas tres soluciones, las colocamos en la recta numérica:

intervalos de crecimiento y decrecimiento

Nos han quedado 4 intervalos:

  • Desde menos infinito hasta -2
  • Desde -2 hasta -1
  • Desde -1 hasta 1
  • Desde 1 hasta infinito

Tenemos que saber si f'(x) es positiva o negativa en cada intervalo.

¿Y eso como lo hacemos?

Pues tenemos que elegir un valor de x que pertenezca a cada intervalo y calcular el valor de f'(x) en ese punto.

Para el intervalo que va desde menos infinito hasta -2, voy a elegir el punto x=-3. Calculo f'(-3):

intervalos de crecimiento y decrecimiento

f'(-3) es menor que 0, luego todos los puntos que estén entre menos infinito y -2 serán negativos y por tanto la derivada primera en ese intervalo es menor que cero, por lo que f(x) es decreciente en ese intervalo:

intervalos de crecimiento y decrecimiento

Lo representamos así en la recta:

intervalos de crecimiento y decrecimiento

Seguimos con el intervalo que va desde -2 hasta -1. Elijo el punto x=-1,5 y calculo el valor de f'(x) para ese punto:

intervalos de crecimiento y decrecimiento

Es mayor que cero, por tanto, f(x) será creciente en ese intervalo: 

intervalos de crecimiento y decrecimiento

Y lo representamos en la recta:

intervalos de crecimiento y decrecimiento

Para el intervalo (-1,1) elegimos el punto x=0 y calculamos f'(0):

intervalos de crecimiento y decrecimiento

Es menor que cero, por lo que f(x) será decreciente en (-1,1):

intervalos de crecimiento y decrecimiento

Y lo reflejamos en la recta:

intervalos de crecimiento y decrecimiento

Para el ultimo intervalo, elegimos el punto x=2 y calculamos el valor de la derivada primera para x=2:

intervalos de crecimiento y decrecimiento

Que es mayor que cero, por lo que f(x) será creciente desde 1 hasta infinito:

intervalos de crecimiento y decrecimiento

Y lo dejamos representado en la recta:

intervalos de crecimiento y decrecimiento

Ya tenemos en qué intervalos la función es creciente y decreciente.

Si además de calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento quieres saber cómo calcular los extremos relativos (máximos, mínimos y puntos de inflexión) o saber en qué intervalos la función es cóncava o convexa, te recomiendo el Curso de Aplicaciones de las Derivadas.

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