¿Quieres aprender cómo introducir y extraer factores en un radical? Te lo explico aquí con varios ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso.
Saber introducir y extraer factores en un radical te va a permitir simplificar el radical, lo cual es muy útil en las operaciones con radicales.
Por ejemplo, en estos dos radicales:
La potencia del radiando es mayor que el índice de al raíz, por tanto, no están simplificados. Funciona igual que la simplificación de fracciones.
A continuación te voy a explicar como introducir y extraer factores en un radical.
Te explicaré primero cómo funciona por medio de las propiedades de las raíces y después veremos un método para realizarlo de una forma más directa y rápida
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Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:
Sólo tienes que dejarte guiar por mí verás como tu nota y tu tiempo libre subirán como la espuma.
En este vídeo tienes ejercicios resueltos paso a paso sobre cómo extraer e introducir factores en un radical:
Y si sigues leyendo tienes todo explicado paso a paso:
Cómo extraer factores fuera del radical
Como te he comentado antes, cuando en una raíz el exponente del radicando es mayor que el índice de la raíz, todavía no está simplificada completamente, como por ejemplo:
Para seguir simplificándola hay que sacar factores fuera del radical y que al final quede de ésta forma:
Si te das cuenta, ahora tenemos una raíz, donde el exponente del radicando es menor que el índice de la raíz y que está multiplicada por una x. Es decir, había las x que había dentro del radical, las hemos sacado fuera y quedan multiplicando a la raíz.
Vamos a ver paso a paso, cómo llegar a éste resultado.
Tenemos inicialmente esta raíz, con el exponente del radicando mayor que el índice de la raíz:
Como ya sabes por la propiedad de multiplicación de potencias, la x elevada a 5 la puedo expresar como una multiplicación de potencias con la misma base, cuyos exponentes se sumarán y por tanto lo voy a expresar de esta otra forma:
Si no dominas las potencias perfectamente, te recomiendo que hagas el Curso de Potencias. Es fundamental que entiendas las potencias para poder trabajar con raíces.
¿Por qué he dividido la potencia de esta forma?
Porque conviene dividirlas en potencias con el mismo exponente que el índice. En este caso como tenemos índice 3, el exponente 5 lo escribo como 3+2. Si tuviera un 7, lo escribiría como 3+3+1 ¿me explico? Más abajo verás por qué lo hago así.
Ahora tengo una multiplicación de potencias dentro de la raíz, que la voy a convertir en la multiplicación de dos raíces de índice 3, aplicando la propiedad de multiplicación de raíces:
La primera raíz, como tiene igual índice que exponente, queda anulada por esta propiedad:
Y finalmente nos queda:
¿Ves ahora por qué tenía que hacer grupos del mismo número del índice en el exponente?
Lo que estaba buscando es que al final se anulara la raíz.
A eso se le llama extraer factores del radical: He extraído fuera de la raíz una x elevada al cubo, que queda como una x elevada a 1 cuando está fuera de la raíz.
Método directo para sacar factores fuera del radical
El procedimiento anterior te sirve para entender cómo funciona la extracción de factores fuera del radical, pero si el exponente del radicando fuera demasiado alto, ese procedimiento puede resultar muy laborioso.
El método que te voy a enseñar a continuación lo puedes utilizar tanto con exponentes altos como con exponentes bajos y es mucho más rápido y directo.
Vamos ir viéndolo al mismo tiempo que resolvemos un ejemplo:
Si lo hiciéramos con el procedimiento general, deberíamos dividir la potencia en tantas potencias de 5 como se pueda:
Para saber el número de potencias de 5 que se necesita, en este paso, indirectamente hemos dividido el exponente de la potencia entre el índice de la raíz:
Tenemos 3 potencias de exponente 5 y una con exponente 2.
Pues bien, el cociente de esta división, el 3, es el exponente del factor que se queda fuera multiplicando a la raíz y el resto de la división es el exponente del factor que se queda dentro:
Así de fácil.
Vamos a extraer factores de la raíz del primer ejemplo, el que resolvimos con el procedimiento general, para que compruebes que el resultado es el mismo:
Realizamos la división del exponente de la potencia entre el índice de la raíz:
El cociente es el exponente del factor de fuera y el resto el exponente del factor de dentro de la raíz:
Como puedes ver, el resultado es el mismo y el procedimiento es mucho más rápido.
Vamos a ver otro ejemplo más:
Realizamos la división:
En este caso, el resto es 0, lo que quiere decir, que dentro de la raíz quedará un factor elevado a 0, que es igual a 1, por lo que al final desaparece la raíz:
Y al sacar factores nos queda
Cuando el resto de la división es 0, la raíz desaparece, por lo que extraer factores es otra forma obtener el resultado de la raíz.
Ten en cuenta que este método es tan solo un atajo. La explicación de por qué pueden extraerse factores fuera del radical la hemos visto con el procedimiento general.
Entender el procedimiento general te ayudará a detectar errores o a comprobar si lo estás haciendo bien, por lo que es importante que sepas extraer factores de las dos formas.
Raíces con varios factores
Si tienes varios factores en la raíz, debes aplicar el método de extracción de factores para cada uno de ellos.
Tanto los factores que queden dentro como los que queden fuera, siempre salen o se quedan multiplicando.
Si los factores son números, antes debes descomponerlos en factores primos y ponerlos con forma de potencia.
Vamos a ver un ejemplo: Extrae los factores que sean posibles fuera del radical:
En primer lugar, descomponemos el 24 y lo ponemos en forma de potencias:
Ahora tenemos 5 factoes dentro de la raíz: 2, 3, x, y, z.
Hay que aplicar el método para extraer factores en cada uno de ellos.
Empezamos con el 2. Nos queda un 2 elevado a 1 dentro y otro 2 elevado a 1 fuera:
El 3 tiene de exponente 1, que es más pequeño que el índice de la raíz, luego se queda tal y como está, multiplicando al 2:
Seguimos con la x: Queda fuera con exponente 2 y no queda ninguna dentro:
La y queda fuera con exponente 2 y dentro con exponente 1:
De la z tampoco podemos extraer ningún factor, por tener exponente 1, luego se queda multiplicando a todo lo demás:
Ya hemos extraído todos los factores posibles, por tanto volvemos a multiplicar los números que se pueda, dentro o fuera de la raíz. En este caso podemos multiplicar 2.3, dentro de la raíz:
Cómo introducir factores en un radical
Si se pueden extraer factores fuera de la raíz, también se pueden volver a introducir dentro.
Hacerlo sería volver a dar un paso atrás, porque lo que queremos es simplificar factores, pero aun así, puedes ser otra forma de comprobar si los factores los has extraído correctamente y que la raíz original no ha variado.
Para volver a introducir los factores dentro del radical, tienes que multiplicar el exponente del factor por el índice de la raíz y el resultado será el exponente del factor de dentro de la raíz.
Por ejemplo, introduce los factores en los radicales:
Multiplicamos el exponente del factor de fuera por el índice de la raíz:
El resultado de esta multiplicación es el exponente del factor de dentro de la raíz:
Una vez, ya está el factor dentro, podemos multiplicar las potencias, manteniendo la base y sumando los exponentes:
¿En qué casos hay que introducir factores dentro del radical?
Cuando dentro de una raíz, tenemos otra raíz multiplicada por un número o por una variable y queremos simplificarlo para expresarlo como una sola raíz, como por ejemplo:
En este caso no podemos multiplicar los índices de las raíces, porque tenemos el 2 que nos está molestando. No podemos extraerlo fuera de la raíz cuadrada, por tanto, para quitarlo del medio lo tenemos que introducir dentro de la raíz cúbica:
Y ahora ya podemos unificar las dos raíces en una sola, multiplicando sus índices:
En ocasiones, no es necesario introducir factores, ya que es posible resolver las raíces que están en el interior.
Si además de aprender a introducir y extraer factores en un radical, quieres seguir aprendiendo todo sobre las raíces o radicales, te recomiendo el Curso de Raíces, con explicaciones más detalladas y ejercicios resueltos, paso a paso. Además, una vez te suscribas a los cursos, puedes preguntarme todas las dudas que quieras.
Ejercicios para introducir y extraer factores en radicales
Simplifica los siguientes radicales extrayendo factores:
Simplifica los siguientes radicales introduciendo factores, si es necesario:
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