Potencias con la misma base: Cómo operar con ellas

A continuación te voy a enseñar cómo operar con potencias con la misma base, aplicando las propiedades de las potencias. Además, vamos a combinar exponentes positivos y negativos, para que aprendas muy bien a operar con potencias

Te voy a enseñar cómo hay que pensar para que sepas en cada momento qué propiedad hay que aplicar. Paso por paso.

Te recomiendo que para realizar estos ejercicios tengas presente un resumen con todas las propiedades, para tenerlas más a mano.

Si has llegado hasta aquí es porque seguramente hay algún ejercicio que no sabes resolver. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Multiplicación de potencias con la misma base

Cuando tenemos dos potencias multiplicándose, no se trata de aplicar la propiedad de la multiplicación de potencias con la misma base y ya está, sino que hay que terminar de simplificar la operación con otras propiedades.

Vamos a verlo con un ejemplo:

potencias con la misma base

El primer paso es comprobar si tienen la misma base, que la tienen.

Por tanto, cuando tengamos multiplicaciones con la misma base, se aplica la propiedad de multiplicación de potencias con la misma base:

propiedades de las potencias

Mantenemos la base y sumamos los exponentes.

En este caso, tenemos un exponente negativo, pero no importa, porque sumamos un número negativo y listo:

potencias con la misma base

Nos queda una potencia con base negativa (el exponente afecta al signo menos porque está encerrado entre paréntesis), elevado a un exponente negativo.

El siguiente paso es aplicar la propiedad del exponente negativo:

propiedades de las potencias

Pasamos ese exponente a positivo y después resolvemos la potencia en el denominador, que es negativa ya que el exponente es impar:

potencias con la misma base

Como ves hemos aplicado dos propiedades hasta que hemos simplificado la operación. Después de sumar o restar los exponentes, siempre hay que pasar el exponente a positivo.

Se deben aplicar propiedades de las potencias hasta que la operación está simplificada totalmente.

División de potencias con la misma base

Con la división de potencias con la misma base ocurre lo mismo que con la multiplicación. No basta con aplicar solamente la propiedad de división de potencias con la misma base.

Por ejemplo:

potencias con la misma base

Tenemos dos potencias que se están dividiendo y tienen la misma base, por tanto, lo primero que debemos hacer es aplicar la propiedad de la división de potencias con la misma base:

propiedades de las potencias

Mantenemos la base y restamos los exponentes:

potencias con la misma base

Nos ha quedado una potencia con exponente negativo, que tenemos que pasar a exponente positivo con esta propiedad:

propiedades de las potencias

Por lo que pasamos la potencia al denominador con el exponente positivo:

potencias con la misma baseResumiendo, cuando tengamos multiplicaciones o divisiones de potencias con la misma base, sumamos o restamos exponentes, que pueden ser positivos o negativos y después pasamos el exponente a positivo.

Todo lo que te estoy explicando aquí son multiplicaciones y divisiones con potencias con la misma base. Sin embargo, puedes tener sumas y restas de potencias o también operaciones con potencias con distinta base. ¿Cómo se opera en esos casos? Lo tienes todo muy bien explicado, paso a paso, en el Curso de Potencias.

Multiplicaciones y divisiones con potencias con la misma base

En la misma operación, podemos tener multiplicaciones y divisiones de potencias con la misma base. Dicho de otra forma, tendríamos una fracción con más de una potencia

En este caso, debemos aplicar la propiedad de la multiplicación, por separado, en el numerador y en el denominador, después aplicar la propiedad de la división y por último, pasar el exponente a positivo, si nos ha quedado negativo.

Vamos a ver un ejemplo más despacio:

potencias con la misma base

Tenemos una operación donde varias potencias con la misma base se está multiplicando y dividiendo.

Aplicamos la propiedad de la multiplicación en el numerador y en el denominador. Mantenemos la base y sumamos los exponentes:potencias con la misma base

Nos ha quedado una fracción que tiene 2 particularidades:

1 – Nos aparece un 2 elevado a 0 en el numerador y ya sabemos por la primera propiedad que cualquier número elevado a 0 es 1:

propiedades de las potencias

2 – Tenemos un exponente negativo en el denominador. Convertimos el exponente a positivo pasando la potencia al numerador. Es la misma propiedad que la de una potencia con exponente negativo:

potencias con la misma base

Continuando con nuestra operación, nos queda lo siguiente:

potencias con la misma base

Una vez hemos pasado el exponente a positivo, ya se puede resolver la potencia.

Operaciones con potencias elevadas a otras potencias

Vamos ver ahora los pasos que hay que seguir cuando tenemos multiplicaciones o divisiones con potencias, que a su vez están elevadas a otra potencia, como por ejemplo:

potencias con la misma base

Empezamos multiplicando las potencias dentro del paréntesis:

potencias con la misma base

Nos ha quedado una potencia elevada a otra potencia. Por tanto ahora multiplicamos exponentes:

potencias con la misma base

El exponente negativo lo hemos convertido en positivo pasándolo al denominador.

Seguimos con una división de potencias elevada a un exponente negativo:

potencias con la misma base

Empezamos operando dentro del paréntesis, restando los exponentes:

potencias con la misma base

Nos queda una potencia elevada a otra potencia, por lo que multiplicamos los exponentes:

potencias con la misma base

Al final, hemos convertido el exponente a positivo, pasándolo al denominador.

Vamos a ver un último ejemplo, en el que tenemos todas las operaciones con potencias que hemos visto hasta ahora:

potencias con la misma base

En primer lugar, aplicamos la propiedad de la multiplicación de potencias en el numerador y en el denominador. Mantenemos la base y sumamos los exponentes:

potencias con la misma base

Nos queda una división de potencias. Mantenemos la base y restamos los exponentes:

potencias con la misma base

Nos queda una potencia elevada a otra potencia. Mantenemos la base y multiplicamos los exponentes:

potencias con la misma base

Al final tenemos una potencia con exponente negativo, que lo volvemos positivo pasándolo al denominador. Una vez tenemos el exponente positivo, ya se puede resolver la potencia:

potencias con la misma base

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