¿Cómo se realiza la suma y resta de potencias que tienen la misma base?
Las propiedades de las potencias se aplican cuando tenemos multiplicación o división de potencias, pero ¿cómo operar con la suma y resta de potencias? ¿Se pueden aplicar también las propiedades de las potencias?
Cuando te encuentres con suma y resta de potencias, no te debes confundir con sumar o restar los exponentes. Recuerda con las sumas y restas no son aplicables las propiedades de las potencias, sólo con las multiplicaciones y divisiones.
En el Curso de Potencias, te explico con todo detalle todo lo que necesitas saber para operar con potencias: operaciones con potencias con distinta base, las propiedades de las potencias y cómo aplicarlas, qué hacer cuando tienes un exponente negativo. Todo explicado paso a paso y con ejercicios resueltos.
A continuación te voy a explicar cómo operar cuando tengas suma y resta potencias de igual base.
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Ejercicios resueltos de sumas y restas con potencias
Aquí tienes un vídeo con ejercicios resueltos sobre suma y restas de potencias, en el que explico los errores que se comenten con este tipo de operaciones y cómo se resuelven realmente:
Todo lo que necesitas para saber resolver estos ejercicios lo tienes explicado a continuación:
Suma y resta de potencias de igual base, cuando la base es una variable
Vamos a empezar viendo qué tienes que hacer cuando te encuentres una suma y resta de potencias que tienen como base una variable, como por ejemplo esta suma:
El principal error y lo que NUNCA tienes que hacer es sumar los exponentes:
No puedes sumar los exponentes. Solamente se suman los exponentes cuando tengas una multiplicación de potencias con la misma base, tal y como hemos estado viendo en anteriores lecciones.
Entonces, ¿cómo se resuelve esta suma de potencias con igual base y exponente?
En este caso en concreto se suma así:
Tenemos dos términos semejantes, es decir, sumamos la cantidad de veces que aparece x².
Te recuerdo que los términos semejantes son aquellos que tienen la misma variable elevada al mismo exponente.
¿y que hay que hacer cuando los términos no son semejantes?
Vamos a ver otra suma de potencias, donde los términos no sean semejantes, como por ejemplo ésta:
En esta suma no se puede hacer nada. No se pueden sumar los exponentes porque no es una multiplicación de potencias ni se pueden sumar los términos porque no son semejantes. Por tanto, se queda tal y como está:
Por tanto, cuando las bases de las potencias sean variables y se estén sumando o restando entre ellas, tienes que fijarte en si son términos semejantes o no para poder sumarlos.
Suma y resta de potencias de igual base, cuando la base es un número
Seguimos con operaciones que tenga con suma y resta de potencias pero esta vez, cuando las bases sean números, como por ejemplo esta suma de potencias con base 3:
Al igual que antes, lo que NUNCA debes hacer es mantener la base y sumar los exponentes:
No es una multiplicación de potencias y no se puede aplicar esa propiedad.
Cuando tienes números como base, lo que tienes que hacer es resolver cada potencia por separado. Cada término es una potencia independiente.
Si tienes potencias con el exponente negativo, antes tienes que convertirlo en positivo, pasando la potencia al denominador, si no, no podrás resolver la potencia. (Lo explico más en detalle en el Curso de Potencias)
Siguiendo con nuestro ejemplo anterior, el 3 que está elevado a -2, antes lo hemos convertido en positivo y el 3 elevado al cubo lo hemos resuelto directamente
Una vez resueltas las potencias, tendremos que resolver una suma de fracciones:
Vamos a ver otro ejemplo muy similar al que veíamos en lecciones anteriores con multiplicaciones y divisiones de potencias, pero en este caso, con sumas y restas:
¿Verdad que es muy tentador sumar y restar los exponentes manteniendo la misma base? Pues ni se te ocurra pensarlo y mucho menos hacerlo.
Tal y como te acabo de indicar, la forma correcta de operar es resolviendo cada potencia por separado.
Tenemos un 2 elevado a 0, que ya sabes que es igual a 1.
Las potencias con exponentes negativos pasan al denominador para convertirlos en positivo y una vez en el denominador ya se puede resolver:
Nos queda una operación con fracciones, que seguimos resolviéndola:
Por tanto, cuando las potencias tengan como base un número y se estén sumando o restando, tienes que resolver cada potencia por separado y después terminar de resolver la operación con números y fracciones que te haya quedado.
Si no te aclaras cuando tengas que resolver fracciones, también tienes disponible entre los cursos el Curso de Fracciones.
Suma y resta de potencias elevada al cuadrado
Otro caso muy repetido, donde se comenten errores con las potencias es cuando tenemos una suma o una resta elevada al cuadrado, como ésta:
La tendencia de todo el mundo en un principio es multiplicar el exponente de fuera por cada uno de los exponentes de dentro del paréntesis.
Pero ésta es otra cosa que NUNCA debes hacer. En el caso de una suma el resultado no es igual a multiplicar los exponentes:
¿Entonces como se resuelve?
El cuadrado de una suma es un producto notable y se resuelve así:
Si necesitas ayuda con los productos notables, puedes consultar la lección 4 del Curso de Polinomios.
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