Potencias de distinta base: como realizar operaciones con ellas

Te voy a explicar a continuación cómo operar con las potencias de distinta base.

Aprenderás a multiplicar y dividir potencias de distinta base, tanto de variables como con números.

Si has llegado hasta aquí es porque seguramente hay algún ejercicio que no sabes resolver. Si después de leer esto, quieres que te ayude a resolverlo o que te despeje alguna duda, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

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Multiplicaciones y divisiones de potencias con distinta base

En una operación podemos encontrarnos con potencias de distinta base, que se están multiplicando y dividiendo. Hay que tener en cuenta que sólo podemos multiplicar y dividir potencias cuando tienen la misma base.

Si tenemos una multiplicación de dos potencias que tienen distinta base, como por ejemplo ésta:

potencias de distinta base

No podemos operar con ellas porque no podemos aplicar ninguna propiedad de las potencias. Se quedaría tal y como está.

Recuerda que las propiedades de multiplicación y división de potencias se aplican cuando tenemos la misma base.

Por tanto, lo primero que tenemos que hacer es buscar las potencias que tengan la misma base, para multiplicarlas o dividirlas por separado.

Vamos a ver este concepto con otro ejemplo:

potencias de distinta base

Tenemos dos bases: x e y.

Con la base x, tenemos dos potencias que se están multiplicando, por tanto, podemos sumar los exponentes. Con la base y, no podemos hacer nada y se queda como está:

potencias de distinta base

¿Ves cuál es el procedimiento? Tienes que buscar siempre potencias de la misma base para poder aplicar las propiedades de las potencias correspondientes.

Veamos otro ejemplo:

potencias de distinta base

Volvemos a tener dos bases: x e y.

No podemos multiplicar potencias en el numerador y denominador, ya que tenemos potencias de distinta base.

Por otro lado, sí que tenemos divisiones de potencias con la base x y con la base y.

Dividimos por separado con cada una de las bases. Las tratamos como si fueran dos fracciones que se están multiplicando:

potencias de distinta base

Por un lado, para la base x, se restan los exponentes y por otro lado para la base y también se restan los exponentes:

potencias de distinta base

Para cada una de las bases, nos ha quedado un exponente negativo, que lo volvemos positivo pasando la potencia al denominador:

distinta-base-3

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Veamos otro ejemplo donde tengamos también números, además de variables:

distinta-base-8

En este caso tenemos por un lado una fracción números, por otro una división de potencias con base x y por otro una división de potencias de base y.

Con los números simplificamos la fracción, cuyo resultado es un número entero:

distinta-base-15

Con las bases x e y, mantenemos la base y restamos los exponentes. Nos queda así nuestra ecuación:

distinta-base-9

En la base y, nos queda el exponente igual a 0. Sabemos por su propiedad correspondiente, que cualquier variable o número a elevada a 0 es 1, por lo que nos queda:

distinta-base-10

Y con esto quedaría la expresión simplificada.

Como ves es siempre igual, resolver por separado potencias con la misma base, que quedan multiplicándose en el resultado final.

Operaciones con potencias de números con distinta base

Cuando trabajamos sólo con números y tenemos potencias de distinta base, debemos buscar que las potencias tengan la misma base, es decir hay que expresar todos las potencias con la misma base o si no es posible expresar todas las potencias con una sola base, con la mínima cantidad de bases posible.

¿Y cómo expresamos el número en otra base? Pues descomponiendo el número en factores.

Vamos a verlo con un ejemplo muy sencillo:

distinta-base-16

En esta multiplicación de potencias, en principio no podemos hacer nada, porque tenemos una multiplicación de potencias de distinta base y no podemos sumar sus exponentes.

Pero, el 4 lo podemos descomponer:

distinta-base-17

Por tanto, en la operación que estamos resolviendo, sustituimos el 4, por su descomposición y de esta forma nos ha quedado una multiplicación de potencias con la misma base:

distinta-base-18

Antes de multiplicar las potencias, hay que resolver el paréntesis, multiplicando los exponentes:

distinta-base-19

Ahora ya podemos multiplicar. Mantenemos la base y sumamos los exponentes

distinta-base-20

Al final, también podemos resolver la potencia.

Veamos otro ejemplo:

distinta-base-21

En principio, tenemos cuatro bases: 2, 3, 4 y 9.

Buscamos que todas las potencias tengan la misma base o el mínimo número de bases posible. Para ello, debemos descomponer en factores primos los números que se puedan y expresarlos de esta forma en la ecuación.

En este caso podemos descomponer el 4 y el 9, que los indicamos en la ecuación como 2² y 3²:

distinta-base-22

Nos han quedado dos bases: 2 y 3.

El siguiente paso es eliminar paréntesis, multiplicando los exponentes exteriores por los exponentes interiores:

distinta-base-23

En el numerador tenemos dos potencias con base 2 multiplicándose, por tanto, mantenemos la base y sumamos los exponentes. Hacemos lo mismo en el denominador con dos potencias de base 3:

distinta-base-24

Nos ha quedado una división de potencias de base 2 y otra de base 3. Para cada una mantenemos la base y restamos los exponentes:

distinta-base-25

Y con esto hemos terminado de simplificar la expresión, ya que no tenemos ningún exponente negativo.

Operaciones con potencias de distinta base elevada a otras potencias

Vamos a ver los pasos a seguir cuando tienes que simplificar una operación en la que tienes multiplicaciones y divisiones de distinta base, que además forman parte de otra potencia, como por ejemplo:

distinta-base-11

En primer lugar simplificamos todo lo posible en el interior del paréntesis.

Igual que antes, por un lado simplificamos los números y por otro lado, con cada base x e y, mantenemos las bases y restamos los exponentes:

distinta-base-12

Ya no podemos operar más en el interior del paréntesis, por lo que procedemos a resolver el paréntesis.

Para resolver el paréntesis, hay que multiplicar el exponente de fuera, por cada uno de los exponentes que hay en el interior, según esta propiedad:

exponente-negativo-28

Al multiplicar exponentes nos queda:

distinta-base-13

Para terminar, tenemos que expresar la solución con todos los exponentes positivos.

Tenemos exponentes negativos en el numerador y en el denominador.

Te recuerdo que las potencias con exponente negativo que están en el numerador, pasan al denominador con exponente positivo y viceversa, según esta propiedad:

aplicando-propiedades-24

Aplicado a nuestra ecuación nos queda:

distinta-base-14

Terminamos la operación resolviendo la potencia de base 2.

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