Operaciones con potencias con la misma y con distinta base. Ejercicios resueltos

Te voy a explicar a continuación cómo operar con potencias con igual y distinta base. Aprenderás a multiplicar y dividir potencias de distinta base, tanto de variables como con números. Si quieres saber cómo realizar la suma de potencias, sigue el enlace.

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Multiplicación de potencias con la misma base

Cuando tenemos dos potencias multiplicándose, no se trata de aplicar la propiedad de la multiplicación de potencias con la misma base y ya está, sino que hay que terminar de simplificar la operación con otras propiedades.

Vamos a verlo con un ejemplo:

potencias con la misma base

El primer paso es comprobar si tienen la misma base, que la tienen.

Por tanto, cuando tengamos multiplicaciones con la misma base, se aplica la propiedad de multiplicación de potencias con la misma base:

operaciones con potencias dela misma base

Mantenemos la base y sumamos los exponentes.

En este caso, tenemos un exponente negativo, pero no importa, porque sumamos un número negativo y listo:

potencias misma base

Nos queda una potencia con base negativa (el exponente afecta al signo menos porque está encerrado entre paréntesis), elevado a un exponente negativo.

El siguiente paso es aplicar la propiedad del exponente negativo:

potencias dela misma base

Pasamos ese exponente a positivo y después resolvemos la potencia en el denominador, que es negativa ya que el exponente es impar:

potencia dela misma base

Como ves hemos aplicado dos propiedades hasta que hemos simplificado la operación. Después de sumar o restar los exponentes, siempre hay que pasar el exponente a positivo.

Se deben aplicar propiedades de las potencias hasta que la operación está simplificada totalmente.

División de potencias con la misma base

Con la división de potencias con la misma base ocurre lo mismo que con la multiplicación. No basta con aplicar solamente la propiedad de división de potencias con la misma base.

Por ejemplo:

operaciones con potencia de igual base

Tenemos dos potencias que se están dividiendo y tienen la misma base, por tanto, lo primero que debemos hacer es aplicar la propiedad de la división de potencias con la misma base:

operaciones de potencias con la misma base

Mantenemos la base y restamos los exponentes:

operaciones con potencias misma base

Nos ha quedado una potencia con exponente negativo, que tenemos que pasar a exponente positivo con esta propiedad:

cuando multiplicamos dos potencias con la misma base

Por lo que pasamos la potencia al denominador con el exponente positivo:

pasos para resolver una potenciaResumiendo, cuando tengamos multiplicaciones o divisiones de potencias con la misma base, sumamos o restamos exponentes, que pueden ser positivos o negativos y después pasamos el exponente a positivo.

Multiplicaciones y divisiones con potencias con la misma base

En la misma operación, podemos tener multiplicaciones y divisiones de potencias con la misma base. Dicho de otra forma, tendríamos una fracción con más de una potencia

En este caso, debemos aplicar la propiedad de la multiplicación, por separado, en el numerador y en el denominador, después aplicar la propiedad de la división y por último, pasar el exponente a positivo, si nos ha quedado negativo.

Vamos a ver un ejemplo más despacio:

potencias de potencias con la misma base

Tenemos una operación donde varias potencias con la misma base se está multiplicando y dividiendo.

Aplicamos la propiedad de la multiplicación en el numerador y en el denominador. Mantenemos la base y sumamos los exponentes:potencia con la misma base

Nos ha quedado una fracción que tiene 2 particularidades:

1 – Nos aparece un 2 elevado a 0 en el numerador y ya sabemos por la primera propiedad que cualquier número elevado a 0 es 1:

potencias misma base distinto signo

2 – Tenemos un exponente negativo en el denominador. Convertimos el exponente a positivo pasando la potencia al numerador. Es la misma propiedad que la de una potencia con exponente negativo:

propiedades de la potencia de igual base

Continuando con nuestra operación, nos queda lo siguiente:

multiplicacion de potencias de la misma base

Una vez hemos pasado el exponente a positivo, ya se puede resolver la potencia.

Multiplicaciones y divisiones de potencias con distinta base

En una operación podemos encontrarnos con potencias de distinta base, que se están multiplicando y dividiendo. Hay que tener en cuenta que sólo podemos multiplicar y dividir potencias cuando tienen la misma base.

Si tenemos una multiplicación de dos potencias que tienen distinta base, como por ejemplo ésta:

multiplicación de potencias de distinta base

No podemos operar con ellas porque no podemos aplicar ninguna propiedad de las potencias. Se quedaría tal y como está.

Recuerda que las propiedades de multiplicación y división de potencias se aplican cuando tenemos la misma base.

Por tanto, lo primero que tenemos que hacer es buscar las potencias que tengan la misma base, para multiplicarlas o dividirlas por separado.

Vamos a ver este concepto con otro ejemplo:

división de potencias de distinta base

Tenemos dos bases: x e y.

Con la base x, tenemos dos potencias que se están multiplicando, por tanto, podemos sumar los exponentes. Con la base y, no podemos hacer nada y se queda como está:

suma de potencias de distinta base

¿Ves cuál es el procedimiento? Tienes que buscar siempre potencias de la misma base para poder aplicar las propiedades de las potencias correspondientes.

Veamos otro ejemplo:

simplificar potencias de distinta base y distinto exponente

Volvemos a tener dos bases: x e y.

No podemos multiplicar potencias en el numerador y denominador, ya que tenemos potencias de distinta base.

Por otro lado, sí que tenemos divisiones de potencias con la base x y con la base y.

Dividimos por separado con cada una de las bases. Las tratamos como si fueran dos fracciones que se están multiplicando:

suma de potencias de diferente base

Por un lado, para la base x, se restan los exponentes y por otro lado para la base y también se restan los exponentes:

producto de potencias de diferente base

Para cada una de las bases, nos ha quedado un exponente negativo, que lo volvemos positivo pasando la potencia al denominador:

potencias de diferente base

Si quieres aprender a dominar las potencias, te recomiendo el Curso de Potencias. En el aprenderás a dominar los exponentes negativos entre otras muchas cosas.

Veamos otro ejemplo donde tengamos también números, además de variables:

multiplicar potencias de distinta base

En este caso tenemos por un lado una fracción números, por otro una división de potencias con base x y por otro una división de potencias de base y.

Con los números simplificamos la fracción, cuyo resultado es un número entero:

división de potencias de distinta base y distinto exponente

Con las bases x e y, mantenemos la base y restamos los exponentes. Nos queda así nuestra ecuación:

resta de potencias de distinta base

En la base y, nos queda el exponente igual a 0. Sabemos por su propiedad correspondiente, que cualquier variable o número a elevada a 0 es 1, por lo que nos queda:

multiplicación de fracciones con potencias

Y con esto quedaría la expresión simplificada.

Como ves es siempre igual, resolver por separado potencias con la misma base, que quedan multiplicándose en el resultado final.

Operaciones con potencias de números con distinta base

Cuando trabajamos sólo con números y tenemos potencias de distinta base, debemos buscar que las potencias tengan la misma base, es decir hay que expresar todos las potencias con la misma base o si no es posible expresar todas las potencias con una sola base, con la mínima cantidad de bases posible.

¿Y cómo expresamos el número en otra base? Pues descomponiendo el número en factores.

Vamos a verlo con un ejemplo muy sencillo:

división de exponentes con diferente base

En esta multiplicación de potencias, en principio no podemos hacer nada, porque tenemos una multiplicación de potencias de distinta base y no podemos sumar sus exponentes.

Pero, el 4 lo podemos descomponer:

suma de potencias de distinta base e igual exponente

Por tanto, en la operación que estamos resolviendo, sustituimos el 4, por su descomposición y de esta forma nos ha quedado una multiplicación de potencias con la misma base:

potencias de diferentes bases

Antes de multiplicar las potencias, hay que resolver el paréntesis, multiplicando los exponentes:

diferente base y diferente exponente

Ahora ya podemos multiplicar. Mantenemos la base y sumamos los exponentes

suma de potencias de igual exponente y diferente base

Al final, también podemos resolver la potencia.

Veamos otro ejemplo:

como multiplicar potencias de diferente base

En principio, tenemos cuatro bases: 2, 3, 4 y 9.

Buscamos que todas las potencias tengan la misma base o el mínimo número de bases posible. Para ello, debemos descomponer en factores primos los números que se puedan y expresarlos de esta forma en la ecuación.

En este caso podemos descomponer el 4 y el 9, que los indicamos en la ecuación como 2² y 3²:

resta de potencias de diferente base

Nos han quedado dos bases: 2 y 3.

El siguiente paso es eliminar paréntesis, multiplicando los exponentes exteriores por los exponentes interiores:

potencias de bases diferentes

En el numerador tenemos dos potencias con base 2 multiplicándose, por tanto, mantenemos la base y sumamos los exponentes. Hacemos lo mismo en el denominador con dos potencias de base 3:

exponentes de diferente base

Nos ha quedado una división de potencias de base 2 y otra de base 3. Para cada una mantenemos la base y restamos los exponentes:

operaciones con potencias de base distinta

Y con esto hemos terminado de simplificar la expresión, ya que no tenemos ningún exponente negativo.

Operaciones con potencias elevadas a otras potencias

Vamos ver ahora los pasos que hay que seguir cuando tenemos multiplicaciones o divisiones con potencias, que a su vez están elevadas a otra potencia, como por ejemplo:

misma base

Empezamos multiplicando las potencias dentro del paréntesis:

division de potencias misma base

Nos ha quedado una potencia elevada a otra potencia. Por tanto ahora multiplicamos exponentes:

multiplicacion y division de potencias dela misma base

El exponente negativo lo hemos convertido en positivo pasándolo al denominador.

Seguimos con una división de potencias elevada a un exponente negativo:

como resolver division de potencias de igual base

Empezamos operando dentro del paréntesis, restando los exponentes:

Nos queda una potencia elevada a otra potencia, por lo que multiplicamos los exponentes:

Vamos a ver un último ejemplo, en el que tenemos todas las operaciones con potencias que hemos visto hasta ahora:

potencia de igual base ejemplos

En primer lugar, aplicamos la propiedad de la multiplicación de potencias en el numerador y en el denominador. Mantenemos la base y sumamos los exponentes:

multiplicacion y division de potencias con la misma base

Nos queda una división de potencias. Mantenemos la base y restamos los exponentes:

multiplicacion de potencias con misma base

Nos queda una potencia elevada a otra potencia. Mantenemos la base y multiplicamos los exponentes:

division potencias misma base

Al final tenemos una potencia con exponente negativo, que lo volvemos positivo pasándolo al denominador. Una vez tenemos el exponente positivo, ya se puede resolver la potencia:

como resolver multiplicacion de potencias

Operaciones con potencias de distinta base elevada a otras potencias

Vamos a ver los pasos a seguir cuando tienes que simplificar una operación en la que tienes multiplicaciones y divisiones de distinta base, que además forman parte de otra potencia, como por ejemplo:

potencias con bases diferentes

En primer lugar simplificamos todo lo posible en el interior del paréntesis.

Igual que antes, por un lado simplificamos los números y por otro lado, con cada base x e y, mantenemos las bases y restamos los exponentes:

suma de potencias de diferente base y exponente

Ya no podemos operar más en el interior del paréntesis, por lo que procedemos a resolver el paréntesis.

Para resolver el paréntesis, hay que multiplicar el exponente de fuera, por cada uno de los exponentes que hay en el interior, según esta propiedad:

potencias con diferente base y diferente exponente

Al multiplicar exponentes nos queda:

multiplicación de bases diferentes

Para terminar, tenemos que expresar la solución con todos los exponentes positivos.

Tenemos exponentes negativos en el numerador y en el denominador.

Te recuerdo que las potencias con exponente negativo que están en el numerador, pasan al denominador con exponente positivo y viceversa, según esta propiedad:

suma potencias distinta base

Aplicado a nuestra ecuación nos queda:

potencias de diferente base y exponente

Terminamos la operación resolviendo la potencia de base 2.

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