Razones trigonométricas de 0º, 30º, 45º, 90º, 180º y 270º sin calculadora

En esta lección, te voy a enseñar a obtener el valor de las razones trigonométricas de 0º (y 360º), 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y 270º sin utilizar la calculadora.

En el Curso de Trigonometría I, tienes explicado más al detalle cómo se calculan las razones trigonométricas de cualquier ángulo, teniendo en cuenta el cuadrante donde se encuentre, entre otras cosas.

Si has llegado hasta aquí es porque necesitas un profesor de matemáticas online. Si después de leer esto, quieres que te ayude a entenderlas de verdad, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Razones trigonométricas de 0º y 360º

Para 0º y 360º solamente tenemos un segmento horizontal. Por tanto, el seno es 0 y el coseno es 1, que es positivo por estar a la derecha del eje y:

funciones trigonometricas de 90 grados

razones trigonometricas de 90

Y la tangente es 0:

Razones trigonométricas de 30º

Cuando el ángulo es de 30º tenemos un cierto valor del seno (segmento vertical verde) y del coseno (segmento horizontal azul):

funciones trigonometricas de 0 grados

Vamos a deducir cuanto valen los valores del seno y del coseno y una vez los tengamos, tendremos también los de la tangente y la cotangente.

Si ponemos a parte el triángulo formado por el radio de la circunferencia y los segmentos vertical y horizontal, nos queda un triángulo rectángulo cuyo ángulo más pequeño mide 30º y el opuesto mide 60º, ya que la suma de los tres ángulos debe ser 180º y sabemos que tiene un ángulo de 90º.

También sabemos que la hipotenusa vale 1:

funciones trigonometricas de angulos especiales 30 45 60 y 90

Si duplicamos este triángulo, obtenemos un triángulo equilátero, cuyos ángulos son todos de 60 grados y por tanto, sus lados también serán iguales, por lo que valdrán 1:

razones trigonometricas de 180

Entonces, si volvemos al triángulo rectángulo original, vemos que el cateto opuesto (lado vertical) será la mitad que en el triángulo equilátero, es decir, si en el triángulo equilátero valía 1 en el triángulo original, valdrá 1/2:

razones trigonometricas de angulos de 30 45 y 60 grados

Conocidos el cateto opuesto y la hipotenusa, podemos calcular el valor del cateto adyacente, con el teorema de Pitágoras:

razones trigonometricas de 0 90 180 y 270

funciones trigonometricas de 30 45 y 60 grados sin calculadora

razones trigonometricas de 0 o 30o 45o 60o y 90o

razones trigonométricas de 0o 90o 180o 270 y 360

Por tanto, ya conocemos el valor de todos los lados del triángulo rectángulo:

funciones trigonometricas de angulos de 30 45 y 60 grados ejercicios

El cateto opuesto al ángulo de 30 º coincide con el valor del seno de 30º y el cateto adyacente al ángulo de 30º coincide con el valor del coseno de 30º:

razones trigonométricas de 0o 90o 180 270 y 360

razones trigonometricas para angulos de 30 45 y 60 grados

Una vez conocemos el valor del seno y del coseno, podemos calcular el valor de la tangente de 30º:

funciones trigonometricas de 0 o 30o 45o 60o 90o

razones trigonometricas cuadrantes

Y a partir de la tangente, calculamos la cotangente de 30º:

razones trigonometricas de un angulo de 45 grados

razones trigonometricas de 270

Como resumen, estos son las razones trigonométricas para 30º:

seno coseno y tangente de 30

Razones trigonométricas de 45º

Vamos a obtener ahora el valor de las razones trigonométricas de 45º. Empezamos con el seno y el coseno, que en principio no conocemos sus valor:

tabla de seno coseno y tangente hasta 360

Si ponemos a parte el triángulo formado por el radio de la circunferencia y los segmentos vertical y horizontal, nos queda un triángulo rectángulo cuyo ángulos agudos miden 45º:

seno coseno y tangente sin calculadora

Al mismo tiempo, es un triángulo isósceles, cuya base es 1 y que no conocemos sus dos lados iguales, a los que hemos llamado x:

cual es el seno de 30 grados

Teniendo en cuenta que es un triángulo rectángulo y que sus dos catetos miden lo mismo, por medio de Pitágoras vamos a calcular cuánto miden cada uno de esos lados:

funciones trigonometricas de angulos de 30 45 y 60 grados

razones trigonometricas de 30 grados

razones trigonometricas de 30 45 60

funciones trigonometricas grados

funciones de 30 45 y 60 grados

Llegados a este punto, racionalizamos la raíz y nos queda:

funciones trigonometricas de 30 grados

Por lo que ya conocemos el valor de los dos lados:

funciones trigonometricas delos angulos 30 45 y 60

Estos valores corresponden por tanto, al seno de 45º y al coseno de 45º:

valores de angulos trigonometricos

valores de razones trigonometricas

Una vez conocemos el seno de 45º y el coseno de 45º, podemos calcular la tangente de 45º:

angulos de 30 45 60

valor de las razones trigonometricas

Y conocida la tangente de 45º, podemos calcular la cotangente de 45º:

valor de funciones trigonometricas

valores exactos de las razones trigonometricas

Estas son las razones trigonométricas para 45º:

valores exactos de las razones trigonometricas para los angulos 30 45 y 60

Razones trigonométricas de 60º

Para el ángulo de 60º, el triángulo que se forma por el radio de la circunferencia y los segmentos vertical y horizontal es el mismo que para el ángulo de 30º, solo que esta vez, los valores de seno y de coseno están intercambiados:

valores de seno coseno y tangente tabla

Por tanto, el seno de 60º y el coseno de 60º valen:

funciones trigonometricas de 60 grados

Calculamos ahora la tangente de 60º:

tabla de senos cosenos y tangentes

razones trigonometricas 30

Y la cotangente de 60º:

cuadrante trigonometrico

razones trigonometricas de 45

Las razones trigonométricas para el ángulo de 60º son:

calcular angulos sin calculadora

Razones trigonométricas de 90º

Cuando el ángulo es de 90º solamente tenemos una línea vertical de valor 1, positivo al estar encima del eje x, que corresponde al seno. El coseno por tanto es 0:

tabla de funciones trigonometricas de 0 a 90 grados

como sacar tangente sin calculadora

La tangente es infinita o no existe, ya que divide entre 0:

valores trigonometricos de angulos

Razones trigonométricas de 180º

Para 180 grados, sólo tenemos coseno (segmento horizontal) que vale -1, al estar a la izquierda del eje y. No tenemos seno, por lo que vale 0

tabla de funciones trigonometricas de 0 a 360 grados

razon trigonometrica de 30

La tangente de 180º es 0:

calcular tangente sin calculadora

Razones trigonométricas de 270º

Cuando el ángulo es 270º, el seno es igual a -1 y el coseno es 0:

valores trigonometricos de seno coseno y tangente

como sacar las razones trigonometricas

La tangente, al igual que para 90º también es infinita o no existe, al tener que dividir entre 0:

cuadrantes de funciones trigonometricas

Resumen de las principales razones trigonométricas del primer cuadrante

Te dejo una tabla con el valor de las razones trigonométricas más importantes del primer cuadrante. Esta tabla debes tenerla siempre a mano hasta que te la aprendas de memoria, para no tener que deducir cada vez el valor de todas las razones trigonométricas:

razones trigonometricas de 0 a 360 grados

En el Curso de Trinomometría I, te enseño también a calcular las razones trigonométricas de los ángulos más importantes de los cuadrantes segundo, tercero y cuarto a partir de los ángulos que ya conocemos del primer cuadrante.

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