Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera. Explicado paso a paso

Ahora te voy a explicar las razones trigonométricas para cualquier ángulo y para ello voy a utilizar la circunferencia trigonométrica.

¿Y qué es eso de la circunferencia trigonométrica? Te lo explico a continuación.

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Razones trigonométricas en la circunferencia trigonométrica

La circunferencia trigonométrica es una circunferencia cuyo centro está en el origen de coordenadas y su radio es 1.

Lo más importante de esta circunferencia no es su nombre, sino cómo funciona para obtener las razones trigonométricas de cualquier ángulo. Vamos a verlo.

Si unimos un punto cualquiera P de la circunferencia con el centro de coordenadas, estaremos dibujando el radio de la circunferencia (de valor 1), que formará un ángulo alfa con respecto al eje x.

Si ahora trazamos una línea vertical desde el punto P hasta el eje x, se formará un triángulo rectángulo junto con el radio y el eje x:

Ya sabes que en un triángulo rectángulo el seno del ángulo alfa es:

Pero en este triángulo rectángulo que se forma dentro de la circunferencia trigonométrica, la hipotenusa es igual a 1:

Por lo que directamente el seno es igual al cateto opuesto:

Explicándolo de un modo visual, el seno es la longitud del segmento vertical (de color verde), que coincide con el valor de la coordenada en el eje y. A este segmento podemos llamarlo y:

Por tanto, podemos decir que:

El seno de cualquier ángulo es el valor de la longitud de la línea vertical que une el final del radio, con el eje x.

Con el coseno ocurre lo mismo. Ya sabes que en un triángulo rectángulo, el coseno es:

Pero como la hipotenusa de nuestro triángulo rectángulo es igual a 1:

El coseno es igual al cateto contiguo:

Visualmente, el coseno es la longitud del segmento horizontal (de color azul), que coincide con el valor de la coordenada en el eje x, hasta donde se encuentra la línea vertical. A este segmento podemos llamarlo x:

Y por tanto:

El coseno de cualquier ángulo es el valor de la longitud de la línea horizontal que une el origen de coordenadas con la línea vertical, a lo largo del eje x.

La tangente, igual que para un triángulo rectángulo cualquiera es:

Pero como acabamos de ver, en este caso, el seno toma el valor de la coordenada en el eje y, y el coseno en el eje x, por tanto, la tangente para cualquier ángulo dentro de la circunferencia trigonométrica será:

Cuadrantes de la circunferencia trigonométrica

La circunferencia trigonométrica está dividida en 4 cuadrantes por los ejes de coordenadas, que se nombran del I al IV (con números romanos), en sentido contrario al de la agujas del reloj y divide a la circunferencia cada 90º:

  • Primer cuadrante: De 0º a 90º
  • Segundo cuadrante: De 90º a 180º
  • Tercer cuadrante: De 180º a 270º
  • Cuarto caudrante: De 270º a 360º

El signo de cada razón trigonométrica dependerá del cuadrante donde se encuentre el ángulo. Veamos cada cuadrante.

El seno será positivo cuando se encuentre por encima del eje x. Por el contrario, será negativo cuando se encuentre por debajo.

Por otro lado, el coseno será positivo cuando esté a la derecha del eje y, y negativo cuando esté a la izquierda.

La tangente dependerá del signo que tengan el seno y el coseno en cada caso.

Vamos a verlo en detalle para cada cuadrante.

Primer cuadrante: De 0º a 90º

Para los ángulos comprendidos entre 0º y 90º el seno y el coseno serán positivos, ya que el seno está por encima del eje x y el coseno está a la derecha del eje y.

La tangente también será positiva, teniendo en cuenta la regla de los signos:

Segundo cuadrante: De 90º a 180º

El seno será positivo por estar por encima del eje x y el coseno será negativo por estar a la izquierda del eje y, para los ángulos comprendidos entre 90º y 180º:

En este caso, según la regla de signos, la tangente será negativa

Tercer cuadrante: De 180º a 270º

Para ángulos mayores a 180º y menores a 270º, tanto el seno y el coseno serán negativos por encontrarse  por debajo del eje x y a la derecha del eje y, respectivamente.

La tangente para los ángulos de este cuadrante será positiva:

Cuarto cuadrante: De 270º a 360º

Para los ángulos de este cuadrante, entre 270º y 360º (que es lo mismo que 0º), el seno está por debajo del eje x y el coseno a la derecha del eje y. Por tanto, el seno será negativo y el coseno positivo:

Y la tangente será negativa:

Resumen

Aquí te dejo un resumen de los signos de las razones trigonométricas según su cuadrante:

Ya sabes cómo obtener las razones trigonométricas de cualquier ángulo y cuál debe ser su signo dependiendo del cuadrante en el que se encuentre.

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