Relación entre las razones de ángulos de distintos cuadrantes

A continuación te voy a enseñar la relación entre las razones de ángulos de distintos cuadrantes, que la utilizamos para calcular las razones de ángulos que guarden relación con un ángulo del primer cuadrante que ya conocemos.

No solo me limitaré a citar las fórmulas que los relacionan sino que te explicaré de dónde se obtiene cada una de ellas para que las entiendas mejor.

Si has llegado hasta aquí es porque necesitas un profesor de matemáticas online. Si después de leer esto, quieres que te ayude a entenderlas de verdad, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Ángulos complementarios y suplementarios

Antes de empezar a analizar las relaciones entre las razones de ángulos relacionados, debes conocer dos conceptos: ángulos complementarios y ángulos suplementarios.

¿Qué son los ángulos complementarios?

Los ángulos complementarios son aquellos cuya suma es igual a 90º.

Por ejemplo:

40º y 50º son ángulos complementarios ya que su suma es igual a 90º

¿Qué son los ángulos suplementarios?

Los ángulos suplementarios son aquellos cuya suma es igual a 180º.

Por ejemplo:

45º y 135º son ángulos seplementarios ya que su suma es igual a 180º

Relación entre razones de ángulos complementarios

Cuando dos ángulos suman 90º, las longitudes del coseno de α  y del seno de 90º-α son iguales. Date cuenta que 90º-α es igual a otro ángulo α, pero medido desde el eje y:

Y por tanto:

También son iguales las longitudes del seno de α y del coseno de 90º-α:

Por lo que:

La tangente entre estos dos ángulos también está relacionada, aunque no pueda verse gráficamente:

Por ejemplo:

30º y 60º son ángulos complementarios ya que 90-60=30, por tanto:

Relación entre razones de ángulos suplementarios

Cuando los ángulos son suplementarios la longitud del seno de α es igual a la longitud del seno de 180º-α, ya que α, está a la misma distancia de 0º que 180º-α lo está de 180º.

Por otra parte los cosenos tienen el mismo valor, pero cambiados de signo:

Por tanto:

Y la tangente, aunque no se vea gráficamente, se relaciona así entre estos dos ángulos:

Por ejemplo:

Los ángulos 30º y 150º guardan esta relación. 30º está a la misma distancia de 0º, que 150º lo está de 180º y entonces:

Relación entre razones de ángulos que se diferencian en 180º

Cuando los ángulos se diferencian en 180º la longitud del seno de α es igual a la longitud del seno de 180º+α, pero de signo contrario, ya que α, está a la misma distancia de 0º que 180º+α lo está de 180º y además el seno de 180º+α es negativo ya que cae por debajo del eje x

Por otra parte los cosenos tienen el mismo valor, pero cambiados de signo:

Por tanto:

Y la tangente, aunque no se vea gráficamente, se relaciona así entre estos dos ángulos:

Por ejemplo:

Los ángulos 30º y 210º guardan esta relación. 30º está a la misma distancia de 0º, que 210º lo está de 180º y entonces:

Relación entre razones de ángulos opuestos

Cuando los ángulos son opuestos, es decir α y -α, el valor de sus cosenos es el mismo y el de sus senos tiene signo contrario:

Por tanto:

Y para la tangente:

Por ejemplo:

30º y -30º son ángulos opuestos. Entonces:

Relación entre razones de ángulos que se diferencian en 90º

Para ángulos que se diferencian en 90º, el coseno de α tiene la misma longitud que el seno de 90º+α, ambos de signo positivo, y el seno de α tiene la misma longitud que el coseno de 90º+α, pero este último es negativo por estar a la izquierda del eje y:

Por tanto:

Y la tangente de ángulos que se diferencian en 90º se relaciona de esta forma:

Por ejemplo:

30º y 120º se diferencian en 90º, por tanto se cumplirá que:

Como ves, conociendo el valor de las razones del primer cuadrante, puedes ser capaz de calcular razones de ángulos en el resto de cuadrantes con estas relaciones.

Aplicaciones de las relaciones de razones entre distintos ángulos.

¿Para qué te puede servir saber estas relaciones? Pues vamos a verlo con varios ejemplos.

La calculadora solo te da un ángulo de los posibles

Como hemos visto antes con esta representación:

Dos ángulos distintos pueden tener el mismo valor del seno. De hecho:

Por otro lado, si lo que te dan es el valor del seno, tienes que tener en cuenta, que la calculadora solamente te va a dar el resultado de uno de los dos ángulos posibles.

Por ejemplo, te dan este valor:

Y te piden calcular el valor de α.

La calculadora, con la función de arco seno (inversa del seno), tan sólo te dará uno de los dos valores posibles:

El otro, debes calcularlo tú, sabiendo que el ángulo 180º-α tiene el mismo seno:

Y si resolvemos el seno de este último ángulo, podemos comprobar que el valor del seno es el mimo:

Si te dan el valor del coseno par que calcules el ángulo, ocurre lo mismo: habrá dos ángulos que tengan ese valor del coseno:

Por ejemplo, te dan este valor del coseno:

Y te piden calcular el valor de α.

Una vez más, la calculadora tan sólo te va a dar uno de los valores posibles:

El otro valor posible es su ángulo opuesto -72,54º o bien:

Tal y como vemos en la gráfica de la circunferencia.

Si lo comprobamos vemos que los 3 ángulos tienen el mismo valor del coseno:

Podemos calcular razones trigonométricas de ángulos relacionados

Otra aplicación es que si sabemos por ejemplo el valor del seno de 30, somos capaces de calcular las razones trigonométricas de sus ángulos relacionados, es decir:

  • Ángulos que esté en torno a 0º (0º+30º, 0-30º): 30º y -30º
  • Ángulos que esté en torno a 90º (90º+30º, 90-30º): 120º y 60º
  • Ángulos que esté en torno a 180º (180º+30º, 180-30º): 210º y 150º
  • Ángulos que esté en torno a 360º (360º-30º): 330º

Ahora eres capaz de obtener las razones trigonométricas de muchos ángulos sin utilizar la calculadora.

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