Resolución de triángulos cualesquiera. Ejercicios resueltos

A continuación vamos a ver la resolución de triángulos cualesquiera. Te voy a enseñar cómo resolver cualquier tipo de triángulos, o dicho de otra forma, te explicaré cómo calcular los elementos de cualquier triángulos, conocidos algunos de ellos.

Veremos varios ejemplos y ejercicios resueltos paso por paso.

Si has llegado hasta aquí es porque necesitas un profesor de matemáticas online. Si después de leer esto, quieres que te ayude a entenderlas de verdad, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

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Para ello, necesitamos aplicar dos teorema: el teorema de los senos y el teorema del coseno. Vamos a ver cada uno de ellos.

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Teorema de los senos

Tenemos un triángulo cualquiera, como por ejemplo éste de aquí:

resolución de triángulos cualesquiera

En el que a, b y c son los lados y A es el ángulo opuesto al lado a, B es el ángulo opuesto al lado b y C es el ángulo opuesto al lado c.

Entonce se cumple que las relaciones entre cualquier lado y el seno del ángulo opuesto son proporcionales:

teorema de los senos

Teorema del coseno

En un triángulo cualquiera:

resolución de triángulos cualesquiera

Se verifica esta fórmula que relaciona cada lado con los otros dos lados y con el coseno del ángulo que forman los otros dos lados (ángulo opuesto):

teorema del coseno

Cómo resolver triángulos cualesquiera

Con las fórmulas que acabamos de ver es posible calcular todos los lados y ángulos de cualquier triángulo, siempre y cuando tengamos datos de al menos 3 de sus elementos, ya sea un lado y dos ángulos, un ángulo y dos lados o tres lados.

Vamos a ver la forma de combinarlas y utilizarlas en función de los datos que tengamos:

Caso 1: Dados dos lados y el ángulo comprendido entre ellos

El primer caso que te voy a enseñar a resolver es cuando conocemos dos lados y el ángulo que forman entre esos dos lados.

Tenemos el siguiente triángulo:

resolución de triángulos cualesquiera

Del que conocemos el lado a, el lado c y el ángulo B:

ejercicios resueltos de resolución de triángulos cualesquiera

Vamos a calcular el resto de sus elementos: el lado b y los ángulos A y C.

Empezamos con el lado b:

Para calcular el lado b, la única forma de hacerlo es mediante el teorema del coseno, ya que conocemos los otros dos lados y el ángulo opuesto:

No es posible aplicar el teorema de los senos en este punto de problema porque no podríamos despejar ninguna incógnita.

Sustituimos los valores de los lados a y c y del ángulo B:

ejercicios resueltos de resolución de triángulos cualesquiera

Operamos y despejamos el lado b, llegando a su resultado:

Calculamos el ángulo A:

Cuando conocemos un lado y su ángulo opuesto, podemos utilizar el teorema de los senos para calcular cualquier otro lado o ángulo, sólo con saber otro ángulo o lado más. Lo vas a ver más fácil con el ejemplo.

En este caso, conocemos el lado b y su ángulo opuesto B y conocemos el lado a, por lo que tenemos los 3 datos que necesitamos para calcular el ángulo A:

Sustituimos los datos por su valor:

Despejamos y calculamos el seno de A:

Y obtenemos el ángulo A, mediante la función arco seno (inversa del seno):

Ahora bien, éste ángulo es agudo y en el triángulo estamos viendo que el ángulo A es mayor de 90º:

ejercicios resueltos de resolución de triángulos cualesquiera

Entonces, ¿qué tenemos que hacer?

Tal y como te explico en la lección sobre la relación entre las razones de distintos cuadrantes, existen dos ángulos cuyo seno es 0,96.

Uno es el que acabamos de calcular, 75,53º y el otro será su ángulo suplementario:

Ambos ángulos tienen el mismo valor de seno:

Por lo tanto, el valor de A es 104,47º.

Seguimos calculando el ángulo C:

Tan sólo queda por calcular el ángulo C, que como tenemos los otros dos ángulos, va a ser muy fácil calcularlo.

Los ángulos de un triángulo suman 180º, por tanto, para calcular el ángulo C, debemos restarle a 180º los valores de los ángulos A y B:

Caso 2: Dados dos ángulos y un lado

En este segundo caso, del triángulo conocemos dos ángulos y un lado cualquiera-

Tenemos el siguiente triángulo:

Del que conocemos el lado c y los ángulos A y B:

Vamos a calcular el resto de sus elementos: el ángulo C y los lados A y B.

Empezamos con el ángulo C:

Calcular el ángulo C en este caso es fácil ya que al tener los otros dos ángulos, sólo tenemos que restar a 180º los ángulos A y B:

Por tanto, el ángulo C es de 25º.

Vamos a calcular el lado a:

Tenemos el lado c y su ángulo opuesto C y conocemos el ángulo A, por lo que podemos calcular el lado a utilizando el teorema de los senos:

Sustituimos los ángulos A y C y el lado c por sus valores:

Despejamos a y calculamos:

El lado a mide 7,07 m

Vamos a calcular el lado b

El lado b lo calculamos también con el teorema de los senos, puesto que tenemos el lado c y el ángulo C y conocemos el ángulo B (también lo podríamos calcular utilizando el lado a y el ángulo A):

Sustitimos el lado c y los ángulos B y C por sus valores:

Despejamos b y calculamos:

El lado b mide 6,14 m.

Caso 3: Dados los tres lados

En el tercer caso, conocemos los tres lados y tenemos que calcular los tres ángulos. Vamos a ver cómo calcularlos con este triángulo:

Del que conocemos sus tres lados:

Vamos a calcular los tres ángulos: A, B y C.

Ángulo A:

Cuando conocemos los tres lados, podemos aplicar sin problemas el teorema del coseno para calcular cualquier ángulo. En este caso lo vamos a calcular el ángulo A, por lo que utilizamos la siguiente fórmula (podríamos haberlo hecho con cualquier ángulo, con la fórmula correspondiente):

Sustituimos los lados a, b y c por sus valores:

Despejamos y calculamos el coseno de A:

A partir del coseno de A, obtenemos el ángulo A

ejercicios resueltos de resolución de triángulos cualesquiera

En este caso, vemos en el triángulo que el ángulo que buscamos es agudo, por lo que el resultado obtenido es correcto.

Calculamos el ángulo B:

Una vez tenemos un lado y su ángulo opuesto, ya podemos utilizar el teorema de los senos para calcular otro ángulo distinto, del que conocemos su lado opuesto.

En este caso, ya tenemos el lado a y el ángulo A, podemos calcular el ángulo B, del que conocemos el lado b:

Sustituimos los ángulos A y B y el lado a por sus valores:

Despejamos y calculamos el seno de B:

Y con la fórmula inversa del seno (arco seno), obtenemos el ángulo B:

Una vez más, este resultado es correcto, ya que estábamos buscando el valor de un ángulo agudo:

Calculamos el ángulo C:

Conocidos dos de los tres ángulos, calculamos el ángulo C restándole a 180º los valores de los ángulos A y B:

Caso 4: Dados dos lados y un ángulo que no está comprendido entre ellos

En este cuarto caso, conocemos del triángulo dos lados y el ángulo que no está comprendido entre ellos. Vamos a ver cómo calcular el resto de elementos.

Tenemos el siguiente triángulo:

ejercicios resueltos de resolución de triángulos cualesquiera

Del que conocemos los lados a y c y el ángulo A:

Calculamos el ángulo C:

Conocemos el lado a y su ángulo opuesto el ángulo A. Como sabemos también el lado c, podemos calcular el ángulo C aplicando el teorema de los senos:

Sustituimos el lado a y los ángulos A y C por sus valores:

Despejamos y calculamos el seno de C:

Y obtenemos el ángulo C mediante la fórmula inversa del seno:

Calculamos el ángulo B:

Como ya tenemos los ángulos A y C, para calcular el ángulo B, a 180º le restamos el ángulo A y el ángulo C:

Calculamos el lado b:

Aplicamos el teorema de los senos para calcular el lado b, ya que conocemos el ángulo B, el lado a y su ángulo opuesto el ángulo A:

Sustituimos el lado a y los ángulos A y B por sus valores:

Despejamos b y calculamos:

Otros problemas resueltos de resolución de triángulos cualesquiera

Hay problemas en los que la aplicación de los teoremas de los senos y del coseno no son tan directos, ya que se trabaja con dos triángulos a la vez, donde necesitamos los datos de uno para obtener los datos del otro o para obtener algún elemento común a los dos.

Para que te quede más claro, vamos  a ver cómo resolver un problema de este tipo y así tendrás nociones de otras formas de aplicar los teoremas de los senos y del coseno.

Por ejemplo:

Una estatua de 3 m está colocada sobre un pedestal. Desde un punto del suelo se ve el pedestal bajo un ángulo de 20º y la estatua bajo un ángulo de 35º. Calcula la altura del pedestal y la distancia desde la cual se está viendo la estatua.

En primer lugar dibujamos lo que nos dice el enunciado del problema. Al pedestal le llamaremos p y a la distancia desde la que se está viendo la estatua la llamaremos x:

Podemos dividir esta figura en dos triángulos: El triángulo que formado por el ángulo de 20º hasta el pedestal, que es un triángulo rectángulo donde uno de los catetos es la altura del pedestal (p) y el otro es la distancia desde la que se está viendo (x):

Y el triángulo formado por el ángulo de 35º hasta la estatua, que es otro triángulo rectángulo donde ahora uno de los catetos es la altura del pedestal más la altura de la estatua (3+p) y el otro sigue siendo la distancia desde la que se está viendo (x), que es común al triángulo anterior:

Para el triángulo de 20º, vamos a calcular el ángulo que nos falta. Es un triángulo rectángulo, luego sabemos que tiene un ángulo recto. Por tanto, para calcular el ángulo que nos falta, al que llamaremos A1, a 180º, le restamos el ángulo recto y el ángulo de 20º:

Nos queda que ese ángulo mide 70º:

Hacemos lo mismo para el triángulo de 35º. Al ángulo que nos falta le llamaremos A2 y lo obtenemos restándole a 180º el ángulo recto y el ángulo de 55º:

Nos queda un ángulo de 55º:

Ahora, en el triángulo de 20º, vamos a aplicar el teorema de los senos con los lados x y p y sus ángulos opuestos:

Y de está fórmula despejamos x:

Aplicamos también el teorema de los senos al triángulo de 55º, con los lados x y 3+p y sus ángulos opuestos:

Y despejamos también la x:

Hemos despejado la x en ambos triángulos porque es el elemento que tienen en común. Por tanto, igualamos la x obtenida para cada caso:

Nos ha quedado una ecuación que sólo depende de p, por tanto, vamos a operar y vamos a proceder a despejarla.

En primer lugar, vamos a eliminar el paréntesis del segundo miembro, multiplicando el seno de 55º por cada uno de los términos del paréntesis:

Por simplificar un poco la ecuación, vamos a sustituir cada uno de los senos por sus valores:

Tenemos que llevar los términos con p al primer miembro.

El denominador del segundo miembro lo pasamos al primer miembro multiplicando:

Operamos los números que tenemos en el primer miembro, para tener un único coeficiente delante de la p:

Ahora pasamos los términos con p al primer miembro:

Simplificamos términos:

Y despejamos p, obteniendo por fin su valor:

Para hallar el valor de x, sustituimos p por su valor en cualquier de las expresiones donde despejamos la x. Yo voy a utilizar la segunda expresión:

Sustituyo p por su valor:

Y opero, obteniendo el valor de x:

Por tanto, el pedestal tiene una altura de 3,31 m y la distancia desde donde se está viendo es 9,01 m.

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