Cómo resolver ecuaciones con radicales. Ejercicios resueltos

A continuación te voy a explicar cómo se resuelven las ecuaciones con radicales, con ejercicios resueltos paso a paso.

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Ecuaciones con radicales

¿Qué son las ecuaciones con radicales?

Las ecuaciones con radicales son aquellas donde la x está dentro de una raíz cuadrada.

A priori, estas ecuaciones no son ni de primer ni de segundo grado, en función del resto de términos de la ecuación.

Vamos a ver cuál es el procedimiento para resolverlas y unos cuantos ejemplos de ecuaciones con radicales.

Cómo se resuelve una ecuación con radicales

El procedimiento para resolver ecuaciones con radicales es el siguiente:

  1. Dejar el término con el radical sólo en un miembro de la ecuación
  2. Elevar ambos miembros al cuadrado (de esta forma eliminamos la raíz)
  3. Operamos y generalmente, obtendremos una ecuación de segundo grado que tendremos que resolver
  4. Determinar qué solución es la correcta y desechar la otra, ya que se trata de una solución virtual (la hemos forzado nosotros al elevar los miembros al cuadrado, pero no existe en la realidad)

Ejercicio resuelto de ecuaciones con radicales paso a paso

Te voy a explicar ahora más despacio cómo resolver las ecuaciones con radicales, siguiendo el procedimiento anterior mientras resolvemos unos ejercicios.

Por ejemplo:

ecuaciones con radicales

Empezamos dejando la raíz sola en una de los miembros:

ecuaciones con radicales ejercicios resueltos

Elevamos ambos miembros al cuadrado:

ecuaciones con radicales ejercicios resueltos paso a paso

En el primer miembro, la raíz se anula con el cuadrado y en el segundo miembro queda un producto notable que hay que desarrollar:

como resolver ecuaciones con radicales

Nos queda una ecuación de segundo grado. Para resolverla, pasamos todos los términos al primer miembro, quedando cero en el segundo miembro:

ecuaciones radicales ejercicios resueltos

Resolvemos la ecuación con la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado:

ejercicios resueltos de ecuaciones con radicales

ecuaciones con radicales ejercicios

Obtenemos dos soluciones, que son:

resolver ecuaciones con radicales

como resolver ecuaciones con radicales paso a paso

Las dos soluciones no son válidas, ya que una de ellas la hemos creado nosotros al elevar al cuadrado ambos miembros, cuadrado que no existía en la ecuación original.

Para hallar qué solución es válida, tenemos que sustituir el valor de ambas soluciones en la ecuación original y comprobar cuál de ellas cumple la igualdad.

Para x=4:

ecuaciones de segundo grado con radicales ejercicios resueltos

ejercicios de ecuaciones con radicales

Se cumple la iguladad

Para x=1

resolver ecuaciones radicales

ecuaciones con raices

No se cumple la igualdad.

Por tanto, la solución de la ecuación es x=4.

Vamos a ver otro ejemplo de una ecuación con radicales con números decimales. Estamos acostumbrados, a que tanto los números como las soluciones de las ecuaciones sean enteras, pero no tiene por qué ser así.

Vamos a verlo. Por ejemplo:

ecuaciones de radicales

Dejamos el término de la raíz sólo en uno de los miembros:

ecuacion con radicales ejercicios resueltos

Elevamos al cuadrado ambos miembros:

ejemplos de ecuaciones con radicales

Te recuerdo que este paso lo hemos añadido nosotros, es decir, estamos añadiendo una solución que en realidad no existe.

Desarrollamos los cuadrados tanto en el primer como en el segundo miembro:

como se resuelve una ecuacion con radicales

Para llegar a este resultado debemos tener claro las propiedades de la potencias, así como los productos notables.

Tenemos una ecuación de segundo grado completa. Para resolverla, reordenamos términos y los pasamos todos a un miembro de la ecuación para igualar a cero:

como resolver ecuaciones con raices

La resolvemos y tenemos estas soluciones:
ejercicios ecuaciones con radicales
Debemos comprobar cuál de las 2 es la buena y por tanto, cuál desechamos. Para ellos sustituimos en la ecuación inicial cada una de las soluciones  en los dos miembros:

Con x=3133,87:

que son ecuaciones con radicales
Ambos miembros tienen el mismo resultado. Luego esta solución es válida.

Con x= 2948,73:

ejemplos ecuaciones radicales

Aquí, cada miembro tiene un resultado, por lo tanto, esta solución no es válida.

El resultado correcto es 10307,8.

Como resolver ecuaciones con dos radicales

Hasta ahora hemos visto cómo resolver ecuaciones con radicales, en las que teníamos un sólo término con radical.

Pero ¿cómo se resuelven las ecuaciones con dos radicales?

Para resolver las ecuaciones con dos radicales, debemos repetir el proceso 2 veces, para poder eliminar los dos radicales.

Al final, debemos comprobar qué solución es válida, igual que para ecuaciones con un radical.

Vamos a ver un ejemplo:

ejercicios de ecuaciones radicales

Cuando tenemos dos radicales en una ecuación, debemos empezar dejando uno de los raciales sólo en uno de los miembros.

En esta ecuación ya tenemos un radical sólo, por lo que elevamos ambos miembros al cuadrado:

como hacer ecuaciones con radicales

En el primer miembro se anula la raíz con el cuadrado y en el segundo, desarrollamos el producto notable, donde uno de los términos es la otra raíz:

resolver ecuaciones con raices

Operamos en cada término. Cuando la raíz se eleva al cuadrado en el producto notable desaparece:

ecuacion radical

Nos ha quedado una ecuación donde sólo tenemos un radical, por lo que tenemos que volver a repetir el proceso una vez más.

Dejamos al raíz sola en el segundo miembro:

ecuaciones con radicales de indice 2

Simplificamos términos:

ecuacion con radicales

Elevamos al cuadrado ambos términos:

ejercicios de ecuaciones con radicales resueltos

En el primer término desarrollamos el producto notable. En el segundo término elevamos al cuadrado ambos factores del paréntesis:

ecuaciones con raices ejercicios

Eliminamos el paréntesis del segundo miembro multiplicando ambos términos por 16:

ecuaciones con radicales resueltas

Tenemos una ecuación de segundo grado. Para resolverla, pasamos todos los términos a un miembro e igualamos a cero:

ecuaciones con radicales ejemplos

Aplicamos la fórmula general de resolución de ecuaciones de segundo grado:

ecuaciones con dos radicales

ecuaciones con raices cuadradas

Y obtenemos dos soluciones:

ecuaciones con raices resueltas

que es una ecuacion con radicales

Vamos a comprobar cuál de las dos es válida.

Para x=61, sustituimos en la ecuación original y operamos:

ecuaciones con dos radicales ejemplos

ecuaciones con dos radicales ejercicios resueltos

No se cumple la igualdad, por lo que x=61 no es una solución válida.

Para x=5:

ejercicios ecuaciones con dos radicales

como resolver ecuaciones con dos radicales

Se cumple la igualdad, por tanto, x=5 es solución de la ecuación.

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