Cómo resolver ecuaciones con radicales. Ejercicios resueltos

En esta sección vamos a ver cómo se resuelven las ecuaciones con radicales.

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¿Qué son las ecuaciones con radicales? Las ecuaciones con radicales son aquellas donde la x está dentro de una raíz cuadrada.

A priori, estas ecuaciones no son ni de primer ni de segundo grado, en función del resto de términos de la ecuación.

Vamos a ver cuál es el procedimiento para resolverlas:

Procedimiento para resolver ecuaciones con radicales

Cuando tenemos ecuaciones con raíces el procedimiento para resolverlas es:

  1. Dejar el término con el radical sólo en un miembro de la ecuación
  2. Elevar ambos miembros al cuadrado (de esta forma eliminamos la raíz)
  3. Operamos y generalmente, obtendremos una ecuación de segundo grado que tendremos que resolver
  4. Determinar qué solución es la correcta y desechar la otra, ya que se trata de una solución virtual (la hemos forzado nosotros al elevar los miembros al cuadrado, pero no existe en la realidad)

Ejercicio resuelto de ecuaciones con radicales paso a paso

Vamos a ver un ejemplo de cómo resolver ecuaciones con radicales. Partimos de la siguiente ecuación:
 
ecuaciones-con-raices

El grado de esta ecuación es 1, ya que es el mayor grado de sus términos.

1.  Dejamos el término de la raíz sólo:

ecuaciones-con-raices

2. Elevamos al cuadrado ambos miembros:

ecuaciones-con-raices

Recordamos que este paso lo hemos añadido nosotros, es decir, estamos añadiendo una solución que en realidad no existe.

3. Operamos:
ecuaciones-con-raices

Para llegar a este resultado debemos tener claro las propiedades de la potencias, así como los productos notables.

Tenemos una ecuación de segundo grado completa. Para resolverla, reordenamos términos y los pasamos todos a un miembro de la ecuación para igualar a cero:

ecuaciones-con-raices

La resolvemos y tenemos estas soluciones:
ecuaciones-con-raices
 

4. Debemos comprobar cuál de las 2 es la buena y por tanto, cuál desechamos. Para ellos sustituimos en la ecuación inicial cada una de las soluciones  en los dos miembros:

Con la primera solución de 3133,87:

ecuaciones-con-raices
Ambos miembros tienen el mismo resultado. Luego esta solución es válida.

Con la segunda solución de 2948,73:

ecuaciones-con-raices

Aquí, cada miembro tiene un resultado, por lo tanto, esta solución no es válida.

El resultado correcto es 10307,8.

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