A continuación vamos a ver qué es una ecuación de primer grado y cómo resolverecuaciones de primer grado de todo tipo: con paréntesis, con denominadores y con paréntesis y denominadores a la vez, con ejercicios resueltos paso a paso.
Si has llegado hasta aquí es porque necesitas un profesor de matemáticas online. Si después de leer esto, quieres que te ayude a entenderlas de verdad, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.
Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo enseñarte a resolver ecuaciones de primer grado y a resolverte todas las dudas que te surjan:
Antes de entrar a ver que es una ecuación de primer grado, si te preguntaran qué es una ecuación ¿sabrías responderlo? Vamos a verlo de una forma muy simple.
Una ecuación es una igualdad matemática que se caracteriza por tener un elemento desconocido, llamado incógnita.
Por ejemplo, aquí tenemos una ecuación donde la incógnita es la x:
Además, el signo igual juega un papel muy importante en una ecuación, ya que en todo momento estamos hablando de una igualdad:
A cada lado del signo igual se le llama miembro. El lado izquierdo se le llama primer miembro y el lado derecho segundo miembro.
Esta explicación es muy básica y no está del todo completa, pero vale para que te hagas una idea inicial y te vayas familiarizando con los términos.
Grado de una ecuación
Ya hemos visto que es una ecuación, pero ¿Cómo sabemos si es una ecuación de primer grado?
Y por cierto, ¿qué es el grado de una ecuación?
El grado de una ecuación coincide con el mayor exponente al que están elevadas las incógnitas.
Por ejemplo: ¿cuál es el grado en la siguiente ecuación?
En esta ecuación, en el primer miembro tenemos la incógnita elevada a 2 y elevada a 3. En el segundo miembro la incógnita está elevada a 1. Recuerda que si la incógnita no tiene exponente quiere decir que está elevada a 1:
Por tanto, la ecuación anterior es de grado 3, que es igual al mayor exponente de las incógnitas.
El grado de una ecuación indica el número de soluciones que tiene la ecuación. Así, una ecuación de primer grado tiene una solución, una de segundo grado tiene dos soluciones y así sucesivamente.
Ecuaciones de primer grado
Bien, ya sabemos qué es una ecuación y sabemos identificar cuál es su grado. Vamos a centrarnos ahora en las ecuaciones de primer grado.
Las ecuaciones de primer grado son aquellas ecuaciones donde la x sólo aparece elevada a 1, o con otras palabras, aparece simplemente la x.
Al ser de grado uno, tiene una solución.
En general, cualquier ecuación de primer grado tiene esta forma, una vez simplificada:
Cuando no están simplificadas, las podemos encontrar con paréntesis, corchetes, denominadores y fracciones tales como éstas:
Todas estas ecuaciones se deben ir simplificando previamente para poder resolverlas. Lo iremos viendo paso a paso más abajo.
Cómo resolver ecuaciones de primer grado
Qué es resolver una ecuación
Antes de nada vamos a aclarar qué es resolver una ecuación. Resolver una ecuación es encontrar el valor numérico que debe tener x para que la igualdad sea cierta.
Para ello hay que ir simplificando la ecuación, hasta dejar la x sóla en uno de los miembros, que es a lo que se le llama despejar la x. Lo iremos viendo continuamente en ésta y en posteriores lecciones
Para resolver ecuaciones de primer grado, comúnmente se dice que hay que despejar la x pero, ¿qué significa despejar la x?
Para despejar la x tenemos que ir realizando una serie de pasos para ir reduciendo o simplificando la ecuación.
Para ello, además de tener en cuenta la jerarquía de operaciones, se siguen estas reglas prácticas:
Reglas prácticas para resolver ecuaciones de primer grado
Aunque es recomendable saber cómo funciona la transposición de términos, en la práctica se aplican estas reglas prácticas:
Cuando un término está SUMANDO en un miembro, pasa al otro miembro RESTANDO.
Cuando un término está RESTANDO en un miembro, pasa al otro miembro SUMANDO.
Cuando un término está MULTIPLICANDO en un miembro, pasa al otro miembro DIVIDIENDO a todo el miembro
Cuando un término está DIVIDIENDO en un miembro, pasa al otro miembro MULTIPLICANDO a todo el miembro
Los términos pueden pasar del miembro de la izquierda al de la derecha o viceversa.
Pasos para resolver ecuaciones
Para resolver las ecuaciones de primer grado iremos realizando una serie de pasos:
Reubicar términos: Pasar los términos con x a un miembro y los números al otro miembro
Simplificar: Agrupar términos semejantes
Despejar la x
Hay que aclarar que éste no es el único camino que hay para resolver una ecuación de primer grado. Podrías por ejemplo simplificar antes de reubicar, pero eso te lo enseñará la práctica.
Empezaremos resolviendo ecuaciones muy sencillas e iremos aumentando la dificultad poco a poco para que lo vayas entendiendo todo.
Ejemplos de ecuaciones de primer grado sencillas
Vamos a ver un ejemplo de cómo se resuelven las ecuaciones de primer grado sencillas. Si entendemos perfectamente este tipo de ecuaciones, será más fácil entender cómo se resuelven otras ecuaciones de primer grado más complicadas (con paréntesis, denominadores, potencias…).
Partiremos de la siguiente ecuación:
Vemos que es de primer grado porque la x aparece elevada a 1, tal y como hemos indicado en la definición de las ecuaciones de primer grado.
Empezamos con el primer paso
1 – Reubicar términos.
Mediante la transposición de términos, tenemos que pasar los términos que llevan x al primer miembro y los números que no llevan x al segundo miembro. Los términos que ya están en el miembro que les corresponde no hay que tocarlos.
Para empezar, nos centramos en los términos con x y nos olvidamos del resto de la ecuación.
En la ecuación original vemos que tenemos dos términos con x: el 4x, que ya está en el primer miembro y el -2x que está en el segundo miembro y hay que pasarlo al primer miembro.
El 4x lo dejamos tal y como está y el 2x que está RESTANDO, pasa SUMANDO al primer miembro.
Ahora vamos con los números y nos olvidamos del resto.
En la ecuación original teníamos dos números (términos sin x): el 14 que ya está en el segundo miembro y el +2, que está en el primer miembro y hay que pasarlo al segundo miembro:
Ahora, volvemos a escribir el primer miembro, con los términos con x ya reubicados y el 14 que ya está en el segundo miembro. Lo único que tenemos que hacer es pasar el 2, que está SUMANDO y pasa RESTANDO al segundo miembro:
Ya hemos completado el primer paso. Tenemos los términos con x en el primer miembro y los números en el segundo miembro.
Seguimos con el segundo paso.
2 – Simplificar: Agrupar términos semejantes.
En este paso hay que agrupar los términos semejantes, es decir, operar por un lado con los términos con x y por otro lado con los términos sin x.
Nunca se pueden agrupar términos con x y números. No se pueden operar con ellos. No lo olvides.
.
En el paso anterior, la ecuación se nos quedó así:
En primer lugar operamos con los términos en x. Operamos con los número que tienen delante de la x:
Y nos queda un sólo término:
Ahora operamos con los números que nos quedan en el segundo término:
Que no es más que sumar y restar números. Escribimos el primer miembro con el término ya simplificado y el resultado de operar en el segundo miembro:Ya tenemos los dos miembros simplificados. Para finalizar, nos queda el último paso, que es despejar la x.
3 – Despejar la x
Tenemos la ecuación ya con los términos en su sitio y simplificados. Vamos ahora a despejar la x.
Este último paso es muy fácil y ya lo practicaste en la lección anterior, por lo que no debería suponerte ningún problema.
Tenemos que dejar la x completamente sola y ahora mismo tiene un 6 delante:
Como está multiplicando a la x, pasa al otro miembro dividiendo:
Y ya tan sólo nos queda realizar la división:
Y ésta es la solución de la ecuación. Si la fracción no fuera exacta, se simplifica y se deja en forma de fracción.
En este vídeo te dejo más ejemplos de cómo resolver ecuaciones de primer grado sencillas:
Cómo resolver las ecuaciones de primer grado con paréntesis
Para resolver las ecuaciones de primer grado con paréntesis únicamente hay que añadir un paso más al procedimiento que ya conocemos de resolver ecuaciones de primer grado:
Eliminar paréntesis
Reubicar términos: Pasar los términos con x a un miembro y los números al otro miembro
Simplificar: Agrupar términos semejantes
Despejar la x
Una vez que ya no tengamos ningún paréntesis, podemos seguir resolviendo la ecuación de primer grado del mismo modo que lo hemos hecho hasta ahora.
Vamos a ver cómo ejecutar este nuevo paso y después veremos ejemplos de cómo resolver ecuaciones con paréntesis.
Cómo eliminar los paréntesis en las ecuaciones de primer grado
Cuando hay paréntesis en una ecuación, quiere decir que hay un número delante que está multiplicando a los términos que haya dentro del paréntesis.
Delante del paréntesis puede haber: un número, un signo menos o un signo más.
En todos esos casos, hay que multiplicar el número por todos los términos que hay dentro del paréntesis, teniendo en cuenta la regla de los signos.
Por ejemplo:
Es muy importante tener en cuenta los signos, sobre todo cuando el número que multiplica al paréntesis es negativo. El procedimiento sería el mismo.
Puede ser que delante del paréntesis haya un signo menos o un signo más. En ese caso es equivalente a que se multiplique por -1 o por +1, respectivamente.
Existes una reglas más directas en ambos casos:
Cuando hay un signo menos delante de un paréntesis, cambia de signo a los términos que estén dentro del paréntesis
Cuando hay un signo más delante de un paréntesis, los términos que están dentro del paréntesis se quedan igual
Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado con paréntesis
Una vez has aprendido a resolver ecuaciones de primer grado con paréntesis. verás que todos los ejercicios se resuelven igual.
Vamos a resolver un ejercicio de ecuaciones de primer grado con paréntesis:
Eliminamos los paréntesis multiplicando el número que tiene delante por los miembros de dentro del paréntesis:
Nos queda una ecuación de primer grado, mucho más simple, que no tiene paréntesis, que podemos seguir resolviendo:
Al final nos ha quedado una fracción, que hemos tenido que simplificar.
Vamos con otro ejemplo:
Tenemos este paréntesis:
Es un paréntesis con un signo menos delante. Cambiamos los signos de los términos que lleva dentro y quitamos los paréntesis:
Nos ha quedado una ecuación si paréntesis, que seguimos resolviendo como siempre:
Y para terminar otro ejemplo más:
En este caso tenemos tres paréntesis
El primero de ellos no lleva nada delante, por lo que lo quitamos sin más. Los otros dos los eliminamos como ya sabemos:
Otra vez más, hemos eliminado todos los paréntesis y podemos seguir resolviendo la ecuación:
En este vídeo tienes ejercicios resueltos paso a paso de ecuaciones de primer grado con paréntesis:
Cómo resolver ecuaciones de primer grado con denominadores
Las ecuaciones de primer grado con denominadores es donde más errores se suelen cometer, por lo que debes prestar mucha atención y no saltarte ningún paso.
Ahora te voy a explicar cómo resolver las ecuaciones de primer grado con denominadores siguiendo los siguientes pasos:
[box type=»info»]
Eliminar denominadores
Eliminar paréntesis
Reubicar términos: Pasar los términos con x a un miembro y los números al otro miembro
Simplificar: Agrupar términos semejantes
Despejar la x
Después de quitar denominadores, la ecuación de primer grado ya reduce bastante su dificultad.
En el siguiente apartado, te voy a explicar detalladamente cómo quitar los denominadores en la ecuación de primer grado.
Cómo eliminar denominadores en una ecuación de primer grado
Vamos a empezar explicando con un ejemplo cómo se eliminan los denominadores.
Tenemos la siguiente ecuación:
Lo primero que tenemos que hacer es obtener el denominador común de todos los denominadores de la ecuación, tanto del primer miembro, como del segundo miembro, ya que, al igual que pasa con los números, para poder sumar y restar fracciones, es necesario que éstas tengan el mismo denominador.
En este caso, voy a elegir el 24, aunque no sea el mínimo común múltiplo, para que veras que se puede escoger cualquier denominador, siempre y cuando sea común.
Dejamos preparado el denominador y multiplicamos el numerador por su número correspondiente y obtener así sus fracciones equivalentes.
Ese número se obtiene dividiendo el común denominador entre el denominador de la fracción original, al igual que se hace cuando se opera sólo con números.
En cada miembro, colocamos todo en una sola fracción, cuyo numerador es la suma o resta de todos los numeradores.
Llegados a este punto, es cuando podemos eliminar directamente el denominador. Hacer esto es algo similar a lo que pasa con la transposición de términos. Podemos multiplicar ambos miembros por el denominador común, lo que es equivalente a eliminarlos:
Nos queda una ecuación de primer grado con paréntesis.
Cuyo resultado queda en forma de fracción que hemos tenido que simplificar.
Al final, siempre se resuelve de al misma forma y es repetir el método una y otra vez. Cuando hayas resuelto unas cuantas, no te supondrá ningún problema.
Para ayudarte a coger más práctica, voy a resolver otro ejemplo paso a paso de ecuaciones de primer grado con denominadores.
Ejemplo de ecuaciones de primer grado con denominadores paso a paso
Las ecuaciones de primer grado con denominadores están llenas de «trampas» que tienes que tener en cuenta para resolverlas bien. Por eso vamos a repetir otro ejemplo para revisar una vez más todo el procedimiento, paso a paso y que te lo aprendas bien.
Vamos con el primer ejemplo:
Obtenemos denominador común y multiplicamos los denominadores con los números correspondientes para transformar a sus fracciones equivalentes la ecuación original:
Agrupamos en una sola fracción por cada miembro y eliminamos denominadores:
Eliminamos paréntesis y terminamos de resolver la ecuación:
En este caso la fracción no se puede simplificar.
Ejemplo de cómo resolver ecuaciones de primer grado con fracciones y paréntesis
Vamos ver cómo resolver ecuaciones de primer grado con fracciones y paréntesis. Por ejemplo esta ecuación:
En primer lugar operamos dentro de los corchetes para eliminar el paréntesis. Para ello recordamos que el número multiplica a cada uno de los términos del paréntesis:
Ahora operamos dentro de los corchetes agrupando términos semejantes:
Eliminamos los corchetes multiplicando por la fracción. Recuerda que las fracciones se multiplican en línea. Los términos encerrados en el corchete tienen como denominador 1.
Tenemos términos con distinto denominador. Eliminamos denominadores, obteniendo previamente común denominador y calculando sus fracciones equivalente:
Ahora ya podemos quitar los denominadores. Nos ha quedado esta ecuación:
Seguimos eliminando los paréntesis:
En el caso de que tengamos un signo menos precediendo a una fracción cuyo numerador tiene más de un término, recuerda que el signo menos afecta a todos los términos del numerador. Eso lo vemos con más detalle en el curso.
Ya no tenemos ni paréntesis ni denominadores. El siguiente paso es llevar al primer miembro todos los términos con x y al segundo miembro los términos sin x:
Agrupamos términos:
Y despejamos la x:
Nos ha quedado como solución una fracción que no se puede simplificar.
Éstos son los pasos para resolver ecuaciones de primer grado con denominadores y paréntesis. La dificultad dependerá de cada ecuación.
Cómo resolver ecuaciones de primer grado con fracciones
A continuación voy a explicar cómo se resuelven las ecuaciones de primer grado con fracciones, paso a paso.
Se le llama ecuaciones de primer grado con fracciones porque la mayoría de sus términos son fracciones, con un sólo término en el denominador, a diferencia de las ecuaciones de primer grado con denominadores, en los que los numeradores tienen dos o más términos.
En una ecuación de primer grado con fracciones, podemos encontrarnos una fracción que está multiplicando a un paréntesis.
Este paréntesis nos impide eliminar los denominadores, por lo que el primer paso debe ser quitar los paréntesis que estén multiplicados por una fracción.
Éstos son los pasos para resolver estos tipos de ecuaciones:
Eliminar paréntesis multiplicados por fracciones
Eliminar denominadores
Eliminar paréntesis
Reubicar términos: Pasar los términos con x a un miembro y los números al otro miembro
Simplificar: Agrupar términos semejantes
Despejar la x
Una vez ya no tengamos esos paréntesis, ya se pueden quitar los denominadores con normalidad y podemos seguir resolviendo la ecuación sin problemas.
Ejemplo de cómo resolver las ecuaciones de primer grado con fracciones
Vamos a ver con un ejemplo cómo se resuelven las ecuaciones de primer grado con fracciones paso a paso:
Como hemos comentado antes, podemos tener fracciones que estén multiplicando a paréntesis y que debemos eliminar antes de quitar denominadores.
Vamos a ir explicándolo paso a paso con un ejemplo. Ésta es una ecuación de primer grado con fracciones. Los numeradores tienen solamente un término:
En la que tenemos una fracción que está multiplicando a un paréntesis:
Debemos empezar eliminando ese paréntesis ya que de no hacerlo, no es posible quitar denominadores.
Recordamos que, cuando dos fracciones se están multiplicando, se multiplican en línea, es decir, el numerador por el numerador y el denominador por el denominador.
Siguiendo con el ejemplo, multiplicamos el paréntesis y después operamos en los denominadores:
Ya hemos quitado ese paréntesis. Ahora ya podemos quitar denominadores tal y como si fuera una ecuación de primer grado con denominadores:
El denominador común es 30, que es el mínimo común múltiplo de 2, 4, 5 y 6:
m.c.m (2,3,5,6) = 30
Y ahora que no tenemos denominadores, operamos en los términos, reubicamos términos y despejamos la x tal y como explico en la lección de cómo resolver una ecuación de primer grado:
En este caso el resultado no se puede simplificar, pero siempre que se pueda hay que simplificarlo.
Pues éste es el procedimiento para resolver las ecuaciones de primer grado con fracciones.
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5 trucos para resolver ecuaciones de primer grado fácilmente
A continuación te voy a enseñar algunos trucos para resolver ecuaciones de primer grado fácilmente, para que tengas más de habilidad a la hora de realizar tus ecuaciones de primer grado y puedas ahorrarte mucho tiempo realizando operaciones.
Pero para aprovechar mejor estos trucos, es necesario que sepas cómo resolver ecuaciones de primer grado.
Antes de empezar a decirte algunos trucos, tengo que dejarte claro que para llevarlos a cabo, tienes que tener la seguridad de que sabes lo que estás haciendo y por qué lo haces. Si tienes dudas, es preferible que no lo hagas.
Vamos con ellos:
#1 Los términos que se repiten se pueden tachar
Cuando algún término se repite exactamente igual en los dos términos, podemos tachar esos términos.
Por ejemplo, en esta ecuación:
Vemos que el -3x está repetido en los dos miembros:
Pues cuando esto ocurra, podemos tacharlos directamente y borrarlos de la ecuación
Ya que cuando reordenemos términos, entre ellos, el resultado es 0:
Éste es uno de los trucos para resolver ecuaciones muy útil, porque eliminamos términos antes de operar con ellos y simplificamos la ecuación.
#2 Los signos menos que afectan a todo el miembro se pueden tachar
Igual que en el punto anterior, si tenemos un signo menos que afecta a todo el miembro, se puede tachar.
Pero es muy importante que afecte a todo el término, en caso contrario estaríamos modificando la ecuación original.
Por ejemplo, en esta ecuación tenemos un signo menos en cada miembro, que afecta a todo el miembro:
Por tanto, podemos tacharlo y los nuevos miembros se quedan como positivos:
Al despejar la x, quedaría una fracción positiva
Se puede tachar porque si pasamos el -3 al otro miembro dividiendo, los signos menos al dividirse dan un signo positivo por la regla de los signos:
Es importante resaltar que es necesario que el signo menos afecte a todo el miembro para poder utilizar este truco. Por ejemplo, en esta ecuación no sería posible tachar los signos menos:
Ya que los signos menos sólo afectan a un término.
Para que afectaran a todo el miembro, necesitaríamos un paréntesis, como en este caso:
En la siguiente lección, cuando empecemos con los paréntesis, podrás aplicar este truco.
#3 Se pueden tachar los denominadores que afecten a todo el miembro
Con los denominadores, tenemos el caso de que el mismo denominador divida a todo el primer miembro y a todo el segundo miembro:
Pues en este caso, también podemos tachar los denominadores para eliminarlos:
Podemos hacer esto porque si pasáramos uno de los 4 multiplicando al otro miembro, al final se anularían entre ellos al ser equivalente a multiplicar por 1 al segundo miembro y nos quedaría una ecuación sin denominadores.
No hay que olvidarse de que es absolutamente necesario que el denominador afecte a todo el miembro.
#4 Podemos pasar la incógnita al otro miembro para volverla positiva
Otra forma de quitar el signo menos que queda delante de la x. Vamos a verlo con este ejemplo:
En vez de pasar el -1 que multiplica a la x, podemos tratar al -x como término que está restando en el primer miembro y pasarlo sumando al segundo miembro:
Ahora, para despejar la x, pasamos el 2 al primer miembro, que está sumando y pasa restando:
Al final, podemos intercambiar los miembros de lugar:
No confundir con pasar términos. Lo que hemos hecho es cambiar un miembro por otro, pero el signo de los términos no varía.
#5 El signo menos en una fracción pertenece a toda la fracción
Aunque este truco no trata únicamente de ecuaciones, he considerado útil recordarlo para tenerlo más claro
Hay veces que el signo menos no se sabe si colocarlo en el numerador o en el denominador. Pues que sepas que da exactamente igual.
Aunque el signo menos pertenezca al numerador o al denominador, al final la fracción es negativa y el signo menos puede ponerse delante de la fracción:
Y por el momento nada más. Espero que te sirvan estos trucos para resolver ecuaciones de primer grado y los puedas utilizar.
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