Cómo resolver ecuaciones de primer grado. Ejercicios resueltos paso a paso.

A continuación vamos a explicar cómo resolver ecuaciones de primer grado con paréntesis, con denominadores y con paréntesis y denominadores a la vez, con ejercicios resueltos paso a paso.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Si necesitas un profesor de matemáticas online, puedo enseñarte a resolver ecuaciones de primer grado y a resolverte todas las dudas que te surjan:

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Las ecuaciones de primer grado son aquellas ecuaciones donde la x sólo aparece elevada a 1, o con otras palabras, aparece simplemente la x.

El grado de una ecuación indica el número de soluciones. En este caso, al ser de grado 1, tiene una única solución.

Las ecuaciones de primer grado con denominadores es donde más errores se suelen cometer, por lo que debes prestar mucha atención y no saltarte ningún paso.

Cómo Resolver Ecuaciones de Primer Grado

Para resolver ecuaciones de primer grado, comúnmente se dice que hay que despejar la x pero, ¿qué significa despejar la x?

Despejar la x significa dejarla sola en un miembro de la igualdad y

¿Y cómo se despeja la x?

Para despejar la x tenemos que ir realizando una serie de pasos para ir reduciendo o simplificando la ecuación.

En el Curso de Ecuaciones de 1º Grado hay una lección dedicada a explicar cómo se resuelven las ecuaciones más sencillas, muy detalladamente, paso a paso, para que te quede claro cómo despejar la x y hacerlo con más soltura en otras ecuaciones  que lleven paréntesis y denominadores.

Para ello, además de tener en cuenta la jerarquía de operaciones, se siguen  estas reglas prácticas:

Reglas Prácticas para Resolver Ecuaciones

Aunque es recomendable saber cómo funciona la transposición de términos, en la práctica se aplican estas reglas:

  • Cuando un término está SUMANDO en un miembro, pasa al otro miembro RESTANDO.
  • Cuando un término está RESTANDO en un miembro, pasa al otro miembro SUMANDO.
  • Cuando un término está MULTIPLICANDO en un miembro, pasa al otro miembro DIVIDIENDO a todo el miembro
  • Cuando un término está DIVIDIENDO en un miembro, pasa al otro miembro MULTIPLICANDO a todo el miembro

Los términos pueden pasar del miembro de la izquierda al de la derecha o viceversa.

Ejemplo de ecuaciones de primer grado sencillas

Vamos a ver un ejemplo de cómo se resuelven las ecuaciones de primer grado sencillas. Si entendemos perfectamente este tipo de ecuaciones, será más fácil entender cómo se resuelven otras ecuaciones de primer grado más complicadas (con paréntesis, denominadores, potencias…):

Partiremos de la siguiente ecuación:

ecuaciones de primer grado

Vemos que es de primer grado porque la x aparece elevada a 1, tal y como hemos indicado en la definición de las ecuaciones de primer grado.

En primer lugar hay que pasar los términos con x a un lado de la igualdad y los números al otro lado. Ten encuenta que lo que está sumando en un miembro pasa restando al otro miembro y viceversa:

como hacer ecuaciones de primer grado

Ahora agrupamos términos semejantes en cada miembro, es decir, operamos en un lado con los términos que llevan x y en el otro lado con los números:

como resolver ecuaciones de primer grado paso a paso

Ahora ya podemos despejar la x. Para ello hay que dejarla sola. Hay que quitarle el número que lleva delante, en este caso el 2, que como está multiplicando, pasa dividiendo al otro lado de la igualdad:

ejercicios resueltos ecuaciones de primer grado

Y ahora sólo queda operar en el lado de los números. En este caso la fracción da como resultado un número exacto. Si la fracción no fuera exacta, se simplifica y se deja en forma de fracción:

ecuaciones de primer grado ejemplos

En el Curso de Ecuaciones de 1º Grado tienes muchos más ejemplos y ecuaciones resueltas explicadas paso a paso y con cada paso explicado al detalle. También aprenderás paso a paso cómo resolver ecuaciones de primer grado con paréntesis, con denominadores…

Cómo resolver las ecuaciones de primer grado con paréntesis

He de decirte, que para resolver las ecuaciones de primer grado con paréntesis únicamente hay que añadir un paso más al procedimiento que ya conocemos de resolver ecuaciones de primer grado:

  1. Eliminar paréntesis
  2. Reubicar términos: Pasar los términos con x a un miembro y los números al otro miembro
  3. Simplificar: Agrupar términos semejantes
  4. Despejar la x

Una vez que ya no tengamos ningún paréntesis, podemos seguir resolviendo la ecuación de primer grado del mismo modo que lo hemos hecho hasta ahora.

Vamos a ver  cómo ejecutar este nuevo paso y después veremos ejemplos de cómo resolver ecuaciones con paréntesis.

Cómo eliminar los paréntesis en las ecuaciones de primer grado

Cuando hay paréntesis en una ecuación, quiere decir que hay un número delante que está multiplicando a los términos que haya dentro del paréntesis.

Delante del paréntesis puede haber: un número, un signo menos o un signo más.

En todos esos casos, hay que multiplicar el número por todos los términos que hay dentro del paréntesis, teniendo en cuenta la regla de los signos.

Por ejemplo:

ecuaciones de primer grado con parentesis

ecuaciones con parentesis

Es muy importante tener en cuenta los signos, sobre todo cuando el número que multiplica al paréntesis es negativo. El procedimiento sería el mismo.

Puede ser que delante del paréntesis haya un signo menos o un signo más. En ese caso es equivalente a que se multiplique por -1 o por +1, respectivamente.

Existes una reglas más directas en ambos casos:

Cuando hay un signo menos delante de un paréntesis, cambia de signo a los términos que estén dentro del paréntesis

Cuando hay un signo más delante de un paréntesis, los términos que están dentro del paréntesis se quedan igual

En el Curso de Ecuaciones de Primer Grado se explica este paso mucho más detallado, por si lo necesitas.

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado con paréntesis

Una vez has aprendido a resolver ecuaciones de primer grado con paréntesis. verás que todos los ejercicios se resuelven igual.

Vamos a resolver un ejercicio de ecuaciones de primer grado con paréntesis:

ecuaciones de primer grado ejercicios resueltos

Eliminamos los paréntesis multiplicando el número que tiene delante por los miembros de dentro del paréntesis:

como resolver ecuaciones con parentesis

Nos queda una ecuación de primer grado, mucho más simple, que no tiene paréntesis, que podemos seguir resolviendo:

como resolver ecuaciones de primer grado con parentesis

como resolver ecuaciones con parentesis ejemplos

ecuaciones con parentesis ejercicios

Al final nos ha quedado una fracción, que hemos tenido que simplificar.

Cómo resolver ecuaciones de primer grado con denominadores

Ahora te voy a explicar cómo resolver las ecuaciones de primer grado con denominadores siguiendo los siguientes pasos:

  1. Eliminar denominadores
  2. Eliminar paréntesis
  3. Reubicar términos: Pasar los términos con x a un miembro y los números al otro miembro
  4. Simplificar: Agrupar términos semejantes
  5. Despejar la x

Después de quitar denominadores, la ecuación de primer grado ya reduce bastante su dificultad.

En el siguiente apartado, te voy a explicar detalladamente cómo quitar los denominadores en la ecuación de primer grado.

Cómo eliminar denominadores en una ecuación de primer grado

Vamos a empezar explicando con un ejemplo cómo se eliminan los denominadores.

Tenemos la siguiente ecuación:

ecuaciones de primer grado con denominadores

Lo primero que tenemos que hacer es obtener el denominador común de todos los denominadores de la ecuación, tanto del primer miembro, como del segundo miembro, ya que, al igual que pasa con los números, para poder sumar y restar fracciones, es necesario que éstas tengan el mismo denominador.

En este caso, voy a elegir el 24, aunque no sea el mínimo común múltiplo, para que veras que se puede escoger cualquier denominador, siempre y cuando sea común.

Dejamos preparado el denominador y multiplicamos el numerador por su número correspondiente y obtener así sus fracciones equivalentes.

Ese número se obtiene dividiendo el  común denominador entre el denominador de la fracción original, al igual que se hace cuando se opera sólo con números.

ecuaciones con denominadores

ecuaciones con denominador

En cada miembro, colocamos todo en una sola fracción, cuyo numerador es la suma o resta de todos los numeradores.

Llegados a este punto, es cuando podemos eliminar directamente el denominador. Hacer esto es algo similar a lo que pasa con la transposición de términos. Podemos multiplicar ambos miembros por el denominador común, lo que es equivalente a eliminarlos:

como quitar denominadores en una ecuación de primer grado

quitar denominadores en ecuaciones de primer grado

ecuaciones de primer grado con denominador

Nos queda una ecuación de primer grado con paréntesis.

Seguimos eliminado los paréntesis y terminamos resolviendo la ecuación de primer grado:

ecuaciones de primer grado con denominadores

ecuacion con denominadores

como resolver ecuaciones con denominadores

ecuaciones de primer grado

Cuyo resultado queda en forma de fracción que hemos tenido que simplificar.

Al final, siempre se resuelve de al misma forma y es repetir el método una y otra vez. Cuando hayas resuelto unas cuantas, no te supondrá ningún problema.

Para ayudarte a coger más práctica, voy a resolver otro ejemplo paso a paso de ecuaciones de primer grado con denominadores.

Ejemplo de ecuaciones de primer grado con denominadores paso a paso

Las ecuaciones de primer grado con denominadores están llenas de “trampas” que tienes que tener en cuenta para resolverlas bien. Por eso vamos a repetir otro ejemplo para revisar una vez más todo el procedimiento, paso a paso y que te lo aprendas bien.

Vamos con el primer ejemplo:

como resolver ecuaciones de primer grado paso a paso

Obtenemos denominador común y multiplicamos los denominadores con los números correspondientes para transformar a sus fracciones equivalentes la ecuación original:

como hacer ecuaciones con denominadores

resolución de ecuaciones con denominadores

Agrupamos en una sola fracción por cada miembro y eliminamos denominadores:

ecuaciones lineales con denominador

como resolver ecuaciones de primer grado paso a paso

Eliminamos paréntesis y terminamos de resolver la ecuación:

elimina los denominadores y resuelve

ecuacion con denominador

ecuaciones con denominadores ejercicios

ecuaciones lineales con denominadores

En este caso la fracción no se puede simplificar.

Ejemplo de cómo resolver ecuaciones de primer grado con fracciones y paréntesis

Vamos ver cómo resolver ecuaciones de primer grado con fracciones y paréntesis. Por ejemplo esta ecuación:

ecuaciones de primer grado con fracciones y paréntesis

En primer lugar operamos dentro de los corchetes para eliminar el paréntesis. Para ello recordamos que el número multiplica a cada uno de los términos del paréntesis:

ecuaciones con fracciones y parentesis

Ahora operamos dentro de los corchetes agrupando términos semejantes:

ecuaciones de primer grado con denominadores y parentesis

Eliminamos los corchetes multiplicando por la fracción. Recuerda que las fracciones se multiplican en línea. Los términos encerrados en el corchete tienen como denominador 1.

ecuaciones con denominadores y parentesis

Tenemos términos con distinto denominador. Eliminamos denominadores, obteniendo previamente común denominador y calculando sus fracciones equivalente:

ecuaciones con parentesis y fracciones

Ahora ya podemos quitar los denominadores. Nos ha quedado esta ecuación:

ecuaciones con parentesis y denominadores

Seguimos eliminando los paréntesis:

ecuaciones de primer grado con parentesis y denominadores

En el caso de que tengamos un signo menos precediendo a una fracción cuyo numerador tiene más de un término, recuerda que el signo menos afecta a todos los términos del numerador. Eso lo vemos con más detalle en el curso.

Ya no tenemos ni paréntesis ni denominadores. El siguiente paso es llevar al primer miembro todos los términos con x y al segundo miembro los términos sin x:

ecuaciones de primer grado con corchetes

Agrupamos términos:

ecuaciones de primer grado con paréntesis y corchetes

Y despejamos la x:

ecuaciones de primer grado con denominadores

Nos ha quedado como solución una fracción que no se puede simplificar.

Éstos son los pasos para resolver ecuaciones de primer grado con denominadores y paréntesis. La dificultad dependerá de cada ecuación.

En el Curso de Ecuaciones de Primer Grado, no sólo se explica a resolver ecuaciones como ésta pero explicando cada paso con mucho más detalle, sino que aprenderás a resolver una ecuación de primer grado desde cero.

Cómo resolver ecuaciones de primer grado con fracciones

A continuación voy a explicar cómo se resuelven las ecuaciones de primer grado con fracciones, paso a paso.

Se le llama ecuaciones de primer grado con fracciones porque la mayoría de sus términos son fracciones, con un sólo término en el denominador, a diferencia de las ecuaciones de primer grado con denominadores, en los que los numeradores tienen dos o más términos.

En una ecuación de primer grado con fracciones, podemos encontrarnos una fracción que está multiplicando a un paréntesis.

Este paréntesis nos impide eliminar los denominadores, por  lo que el primer paso debe ser quitar los paréntesis que estén multiplicados por una fracción.

Éstos son los pasos para resolver estos tipos de ecuaciones:

  1. Eliminar paréntesis multiplicados por fracciones
  2. Eliminar denominadores
  3. Eliminar paréntesis
  4. Reubicar términos: Pasar los términos con x a un miembro y los números al otro miembro
  5. Simplificar: Agrupar términos semejantes
  6. Despejar la x

Una vez ya no tengamos esos paréntesis, ya se pueden quitar los denominadores con normalidad y podemos seguir resolviendo la ecuación sin problemas.

Ejemplo de cómo resolver las ecuaciones de primer grado con fracciones

Vamos a ver con un ejemplo cómo se resuelven las ecuaciones de primer grado con fracciones paso a paso:

Como hemos comentado antes, podemos tener fracciones que estén multiplicando a paréntesis y que debemos eliminar antes de quitar denominadores.

Vamos a ir explicándolo paso a paso con un ejemplo. Ésta es una ecuación de primer grado con fracciones. Los numeradores tienen solamente un término:

ecuaciones de primer grado con fracciones

En la que tenemos una fracción que está multiplicando a un paréntesis:

ecuaciones con fracciones

Debemos empezar eliminando ese paréntesis ya que de no hacerlo, no es posible quitar denominadores.

En el curso de ecuaciones de primer grado, explico más despacio, paso a paso, cómo eliminar los paréntesis que están multiplicados por fracciones.

Recordamos que, cuando dos fracciones se están multiplicando, se multiplican en línea, es decir, el numerador por el numerador y el denominador por el denominador.

Siguiendo con el ejemplo, multiplicamos el paréntesis y después operamos en los denominadores:

ecuaciones con fracciones paso a paso

como resolver ecuaciones de primer grado con fracciones

Ya hemos quitado ese paréntesis. Ahora ya podemos quitar denominadores tal y como si fuera una ecuación de primer grado con denominadores:

El denominador común es 30, que es el mínimo común múltiplo de 2, 4, 5 y 6:

m.c.m (2,3,5,6) = 30

como resolver ecuaciones con fracciones

ecuaciones de fracciones

ecuaciones con fracciones de primer grado

como hacer ecuaciones con fracciones

Y ahora que no tenemos denominadores, operamos en los términos, reubicamos términos y despejamos la x tal y como explico en la lección de cómo resolver una ecuación de primer grado:

ecuaciones de primer grado fracciones

como hacer ecuaciones de primer grado con fracciones

ecuación con fracciones

ecuaciones con fracciones y x

En este caso el resultado no se puede simplificar, pero siempre que se pueda hay que simplificarlo.

Pues éste es el procedimiento para resolver las ecuaciones de primer grado con fracciones.

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