Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan

En esta lección, voy a explicarte cómo realizar el cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss-Jordan.

La matriz inversa es aquella que al multiplicarla por la matriz original, el resultado es la matriz identidad:

matriz inversa

Pero antes de saber cómo calcular al inversa de una matriz, debes tener muy claro las operaciones que puedes realizar con las filas de una matriz.

Si has llegado hasta aquí es porque necesitas un profesor de matemáticas online. Si después de leer esto, quieres que te ayude a entenderlas de verdad, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

Lo que vas a leer es tan sólo un ejemplo de lo que puedo enseñarte con mi método para enseñar matemáticas. Puedo explicarte paso a paso cualquier duda que no entiendas:

QUIERO APRENDER MATEMÁTICAS

Sólo tienes que dejarte guiar por mí verás como tu nota y tu tiempo libre subirán como la espuma.

Operaciones elementales en una matriz cualquiera

Dentro de una matriz, podemos realizar operaciones con sus filas y la matriz no se verá afectada. Cada vez que realicemos una operación con las filas de una matriz, tendremos una matriz equivalente a la anterior.

Éstas son las operaciones que podemos realizar con las filas:

1- Intercambiar filas o columnas entre sí

Podemos intercambiar una fila por otra según nos convenga:

matriz inversa

i y j corresponden a los números de filas de la matriz.

2- Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de cero

Podemos multiplicar o dividir la fila que queramos por el número que queramos. Ese número puede ser tanto un número entero como una fracción;

matriz inversa

3- Sumar dos filas i y j, multiplicadas por dos números cualquiera y el resultado llevarlos a la fila i o a la fila j

Se pueden sumar y restar filas, multiplicadas por cualquier número y el resultado ponerla en la fila que más nos convenga.

matriz inversa

Más adelante, aplicaremos estas operaciones elementales para el cálculo de la inversa y entenderás mejor cómo funcionan.

Cómo calcular la matriz inversa. Método de Gauss-Jordan

El método de Gauss-Jordan nos permite calcular la inversa de una matriz, realizando operaciones elementales entre sus filas.

matriz inversa

En una misma matriz divida en dos partes, en la parte izquierda se coloca la matriz a la que queremos calcular su inversa y en la parte derecha, se coloca la matriz identidad

matriz inversa

Realizando operaciones elementales entre las filas de esta matriz, tenemos que conseguir que en la parte izquierda nos quede la matriz identidad. Una vez lo consigamos, la matriz que nos queda en la parte derecha, será la matriz inversa:

matriz inversa

Ejemplo de cálculo de la inversa de una matriz paso a paso

Vamos a calcular la inversa de una matriz de dimensiones 3×3 mediante el método Gauss-Jordan, paso a paso.

Muchas veces, si no tienes claro cuál es el objetivo que quieres conseguir cuando realizas las operaciones entre filas, calcular la matriz inversa se puede convertir en un laberinto del que no sabremos salir.

Por eso, te voy a explicar también las operaciones elementales que debes realizar para que la inversa se calcule casi directamente

Vamos a verlo muy despacio: Calcular la matriz inversa de la siguiente matriz:

matriz inversa

En primer lugar, colocamos en una misma matriz, la matriz A en la parte izquierda y la matriz inversa I en la parte derecha:

matriz inversa

Y nos queda:

matriz inversa

Ahora vamos a empezar con las operaciones elementales entre las filas. Recuerda que tenemos que conseguir que en la parte izquierda se nos quede la matriz identidad.

¿Por donde empezamos?

Lo primero que queremos conseguir es que en en el primer elemento de la primera columna haya un 1:

matriz inversa

En este caso ya lo tenemos, por lo que no tenemos que hacer nada. Si no lo tuvieras, entonces tienes varias formas de conseguirlo: dividiendo la primera fila entre el número que tengamos, intercambiándola por otra que tenga un uno, sumarle o restarle otra fila multiplicada por otro número… Te lo explico más despacio en el Curso de Matrices.

Recuerda que los elementos de una matriz también pueden ser fracciones.

Una vez tenemos el 1 en el primer elemento de la primera columna, el siguiente paso es conseguir, que los elementos que estén por debajo del 1 en esa primera columna sean 0:

matriz inversa

El tercer elemento ya es un 0, pero el segundo no. Para conseguirlo voy a sumarle la fila 1 a la fila 2 y el resultado lo voy a dejar en la fila 2:

matriz inversa

Las filas 1 y 3 se quedan igual. La matriz que nos queda es:

matriz inversa

Ya tenemos la primera columna lista.

Seguimos con la segunda columna. Ahora, tenemos que conseguir que el segundo elemento de la segunda columna sea un 1:

matriz inversa

Podría dividir la segunda fila entre 2 y lo tendría, pero en la fila 3, tengo un 1, así que es más fácil intercambiar la fila 2 por la fila 3:

matriz inversa

Y nos queda:

matriz inversa

Lo siguiente que tentemos que conseguir es que tanto el primer elemento como el tercer elemento de la segunda columna sean 0:

matriz inversa

El primer elemento ya es un 0, por lo que no tenemos que hacer nada. Para conseguir que el 2 sea un 0, a la fila 3 le voy a restar 2 veces la fila 2:

matriz inversa

Me aprovecho de que en la fila 2 tengo un 1. Al tener un 1, sólo tengo que multiplicar esa fila por el número que me convenga, en este caso un 2, y restársela a la fila en la que quiero tener el resultado (es otro de los objetivos de tener conseguir el 1 en el paso anterior).

Nos queda:

matriz inversa

Ya tenemos 2 columnas como las de la matriz identidad. Vamos a por la tercera columna:

Tenemos que conseguir que el tercer elemento de la tercera columna sea un 1:

matriz inversa

Tenemos un -1, por lo que para conseguir un 1, voy a multiplica la fila 3 por -1:

Y nos queda:

matriz inversa

El siguiente paso es conseguir que los elementos que quedan por encima del 1 sean 0:

matriz inversa

El primer elemento ya es un 0 y para conseguir que el segundo elemento sea un 0, a la fila 2 le voy a restar 2 veces la fila 1 y el resultado lo voy a dejar en la fila 2:

matriz inversa

Otra vez me he aprovechado del 1.

Nos queda:

matriz inversa

Llegados a este punto, tenemos la matriz identidad en al parte izquierda, lo cual quiere decir que en la parte derecha tenemos la matriz inversa:

matriz inversa

matriz inversa

Por tanto, la matriz inversa de A es:

matriz inversa

Comprobación del cálculo de la inversa

Vamos a comprobar que hemos calculado la matriz inversa correctamente. Para saber si está bien, tenemos que multiplicar la matriz original por la matriz inversa y el resultado debe dar la matriz identidad:

matriz inversa

Multiplicamos A por su inversa:

matriz inversa

matriz inversa

Y efectivamente, el resultado de la multiplicación es la matriz identidad, por lo que la inversa está bien calculada.

Si quieres aprender aprender las operaciones con matrices, la resolución de sistemas de ecuaciones, el rango de una matriz y todo lo que tenga que ver con matrices, te recomiendo el Curso de Matrices.

¿Necesitas ayuda en matemáticas? ¿Quieres que te explique cualquier duda que te surja?

Puedo enseñarte exactamente lo que necesitas aprender para aprobar las matemáticas.

He diseñado un método práctico y efectivo que te ayudará a entender las matemáticas, paso a paso, explicándote justo lo que necesitas para saber resolver todos tus ejercicios y problemas. Todo con un lenguaje sencillo y ameno que entenderás perfectamente.

Con mi método:

  • Sabrás los pasos exactos que tienes que dar para resolver tus ejercicios y problemas
  • Conseguirás resultados en muy poco tiempo, sin dedicar más horas a intentar entenderlo por tu cuenta sin llegar a ninguna conclusión

Suena bien ¿no?

¿Por qué tardar 2 horas buscando por Internet si puedes aprenderlo en menos de 20 minutos?

Sé lo que te impide entender las matemáticas y sé lo que necesitas para entenderlas. ¿Quieres informarte de como puedes aprender matemáticas conmigo? Pulsa el botón para saber más:

ENSÉÑAME MATEMÁTICAS

Uso de cookies

Usamos cookies propias y de terceros (Google) para que usted tenga la mejor experiencia de usuario, por lo que los terceros reciben información sobre tu uso de este sitio web.

Si continúas navegando, consideramos que aceptas el uso de las cookies. Puedes obtener más info o saber cómo cambiar la configuración en nuestra Política de Cookies.

ACEPTAR
Aviso de cookies
Share This