Cálculo de la matriz inversa usando determinantes. Ejercicios resueltos.

A continuación te voy a explicar cómo realizar el cálculo de la matriz inversa utilizando con determinantes.

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Para una matriz cuadrada A, puede existir otra matriz, a la que llamaremos matriz inversa de A que al multiplicarla por la matiz original, da como resultado la matriz identidad:

La matriz inversa, no siempre existe. Para que exista matriz inversa, su determinante tiene que ser distinto de cero:

Dicho esto, vamos a ver ahora cómo calcular la inversa de una matriz

Cómo calcular la inversa de una matriz

Para calcular la matriz inversa utilizando determinantes utilizaremos la siguiente fórmula:

La matriz inversa de una matriz A es igual a la matriz adjunta de su matriz traspuesta, dividida por su determinante.

Dicho así, parece un poco lioso pero vamos a verlo paso a paso con un ejemplo:

Ejercicio resuelto sobre cómo calcular la matriz inversa con determinantes

Calcular la matriz inversa de la siguiente matriz A:

Vamos a aplicar la fórmula indicada anteriormente:

En primer lugar tenemos que calcular su determinante por dos motivos: el primero es para comprobar si su determinante es distinto de cero y por tanto que tiene matriz inversa, ya que si no tiene, no podemos seguir calculando la matriz inversa y el segundo motivo es que lo necesitamos para calcularlo.

El determinante de A es:

Lo calculamos realizando la suma de los producto de los elementos de la fila 3 por sus adjuntos:

Resolvemos potencia y determinantes de orden 2:

Y seguimos operando.

El determinante de A es igual a 3, por tanto, es distinto de 0 y por consiguiente, existe la matriz inversa y podemos seguir calculando.

El siguiente paso es obtener la matriz traspuesta de A.

Para obtener la matriz traspuesta de A, tan solo tenemos que intercambiar las filas por las columnas y nos queda:

Y ahora vamos a calcular la matriz adjunta de esta matriz traspuesta.

Para calcular la matriz adjunta, obtenemos los adjuntos de cada uno de los elementos de la matriz y los sustituimos por los elementos originales.

Vamos a ir calculándolos de izquierda a derecha, fila por fila.

Adjunto de 5:

Adjunto de 1:

Adjunto de 2:

Adjunto de 3:

Adjunto de 4:

Adjunto de 0:

Adjunto de -1:

Adjunto de 2:

Adjunto de -1:

Una vez tenemos todos lo adjuntos de todos los elementos, formamos la matriz adjunta sustituyendo los elementos originales por sus adjuntos y nos queda:

Ya tenemos todo lo necesario para calcular la matriz inversa, por lo que pasamos a sustituir en la fórmula, tanto el determinante como la matriz adjunta de la matriz traspuesta:

Multiplicamos la fracción por cada uno de los elementos de la matriz y simplificamos los elementos que se puedan:

Y esta es la matriz inversa de la matriz A.

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