Cómo resolver ecuaciones exponenciales. Ejercicios resueltos paso a paso.

En esta lección te voy a explicar paso a paso cómo resolver ecuaciones exponenciales, con ejercicios resueltos paso por paso.

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La mejor forma de aprender a resolver ecuaciones exponenciales es con la práctica, así que voy a ir explicándote cómo resolver las ecuaciones exponenciales al mismo tiempo que voy resolviendo varios ejemplos, que irán aumentando poco a poco su nivel de dificultad.

¿Qué son las ecuaciones exponenciales?

Las ecuaciones exponenciales son aquellas donde la x está en el exponente de la potencia.

Para entender todos los pasos de la resolución de este tipo de ecuaciones, es necesario que domines perfectamente las propiedades de las potencias, por lo que si no es así, te aconsejo que te mires las primeras 3 lecciones del Curso de Potencias.

¡Empezamos!

Ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales

Ecuación exponencial 1

Para resolver las ecuaciones exponenciales, en primer lugar debemos conseguir que a ambos lados de la ecuación aparezcan potencias con la misma base, con el fin de poder igualar los exponentes.

Por tanto, el 125 lo tenemos que factorizar y escribirlo como 5 elevado a 3:

Una vez tenemos la misma base, la igualdad sólo se cumple si los exponentes son iguales, por tanto:

Que es la solución de la ecuación.

Ecuación exponencial 2

Se puede dar el caso, de que al factorizar el número, no sea posible escribirlo con la base que buscamos. En ese caso hay que aplicar logaritmos. Vamos a ver cómo:

En este caso, no es posible escribir el 120 como potencias de 5, por tanto aplicamos logaritmos en cada miembro:

Según las propiedades de los logaritmos, el exponente que lleva el 5, puede pasar multiplicando al logaritmo en el primer miembro:

Ahora, despejamos la x, pasando el log 5 al segundo miembro dividiendo:

Y esta operación no queda más remedio que resolverla con la calculadora y queda:

Ecuación exponencial 3

Factorizamos el 243 y queda:

Ya tenemos la misma base, por lo que igualamos los exponentes:

En esta ocasión nos ha quedado una ecuación de primer grado muy sencilla para resolver, cuya solución es:

Ecuación exponencial 4

Empezamos factorizando el 16 para que sólo tengamos una base:

Al tener una potencia elevada a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes:

Ahora, en el primer miembro tenemos una multiplicación de potencias con la misma base. Por tanto, se mantiene la base y se suman los exponentes:

Simplificamos el exponente agrupando términos:

Y ya podemos igualar los exponentes, que nos queda una ecuación de primer grado, que podemos resolver:

Ecuación exponencial 5

En primer lugar, factorizamos el 8:

Igualamos exponentes. En esta ocasión nos queda una ecuación de segundo grado:

Cuyas soluciones son:

Ecuación exponencial 6

Este tipo de ecuaciones, en el que tenemos sumas de potencias, se resuelven realizando un cambio de variable. Vamos a ver cómo:

En primer lugar, cuando tenemos en el exponente una suma o una resta, es equivalente a la multiplicación de dos potencias con la misma base, cuyos exponentes se ha sumado o restado.

Por tanto, cada potencia la podemos poner como una multiplicación de potencias:

Ahora, los exponentes negativos los convertimos a positivos pasándolos al denominador:

Y ahora resolvemos las potencias de los denominadores:

Llegados a este punto, realizamos el siguiente cambio de variable:

Y queda:

Ahora tenemos una ecuación de primer grado, donde la incógnita es t, que tenemos que resolver:

Una vez hemos llegado a la solución de t, deshacemos el cambio de variable:

Y ahora debemos resolver esta ecuación logarítmica que es como la del primer ejemplo. Factorizamos el 2:

Y igualamos exponentes:

Ecuación exponencial 7

Este es otro caso en el que tendremos que realizar un cambio de variable.

Ya tenemos un 5 elevado a x en el segundo término y el primer término lo podemos arreglar para que también aparezca otro.

En primer lugar factorizamos el 25:

Al tener una potencia elevada a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes, y también podemos intercambiar el orden de los exponentes, ya que no altera el resultado:

Por tanto ahora, en el primer término también aparece un 5 elevado a x:

Llegados a este punto, realizamos el siguiente cambio de variable:

Y queda:

Nos ha quedado una ecuación de segundo grado completa, cuyas soluciones son:

Por tanto, para cada una de estas soluciones, debemos deshacer el cambio.

Para la primera solución:

No es posible indicar el 81 como potencias de 5, por lo que se resuelve tomando logaritmos en los dos miembros, igual que hemos hecho en el aparado de la “ecuación exponencial 2”:

Esta es la primera solución de x.

Hacemos lo mismo con la segunda solución de t:

Y ya tenemos la segunda solución.

Si ademas de saber cómo se resuelven las ecuaciones exponenciales quieres aprender a resolver ecuaciones logaritmicas, te explico cómo hacerlo paso a paso en el Curso de Logaritmos.

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