Cómo resolver ecuaciones exponenciales. Ejercicios resueltos paso a paso.

A continuación te voy a explicar paso a paso cómo resolver ecuaciones exponenciales, con ejercicios resueltos paso por paso.

Si has llegado hasta aquí es porque necesitas un profesor de matemáticas online. Si después de leer esto, quieres que te ayude a entenderlas de verdad, puedes hacer dos cosas: o seguir buscando por Internet o contactar conmigo e ir directo al grano y ahorrarte tiempo.

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La mejor forma de aprender a resolver ecuaciones exponenciales es con la práctica, así que voy a ir explicándote cómo resolver las ecuaciones exponenciales al mismo tiempo que voy resolviendo varios ejemplos, que irán aumentando poco a poco su nivel de dificultad.

¿Qué son las ecuaciones exponenciales?

Las ecuaciones exponenciales son aquellas donde la x está en el exponente de la potencia.

Para entender todos los pasos de la resolución de este tipo de ecuaciones, es necesario que domines perfectamente las propiedades de las potencias, por lo que si no es así, te aconsejo que te mires las primeras 3 lecciones del Curso de Potencias.

¡Empezamos!

Ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales

Ecuación exponencial 1

ecuaciones exponenciales

Para resolver las ecuaciones exponenciales, en primer lugar debemos conseguir que a ambos lados de la ecuación aparezcan potencias con la misma base, con el fin de poder igualar los exponentes.

Por tanto, el 125 lo tenemos que factorizar y escribirlo como 5 elevado a 3:

ecuaciones exponenciales ejercicios resueltos

Una vez tenemos la misma base, la igualdad sólo se cumple si los exponentes son iguales, por tanto:

como resolver ecuaciones exponenciales paso a paso

Que es la solución de la ecuación.

Ecuación exponencial 2

Se puede dar el caso, de que al factorizar el número, no sea posible escribirlo con la base que buscamos. En ese caso hay que aplicar logaritmos. Vamos a ver cómo:

ecuaciones exponenciales ejercicios

En este caso, no es posible escribir el 120 como potencias de 5, por tanto aplicamos logaritmos en cada miembro:

ejercicios de ecuaciones exponenciales

Según las propiedades de los logaritmos, el exponente que lleva el 5, puede pasar multiplicando al logaritmo en el primer miembro:

funcion exponencial ejercicios resueltos paso a paso

Ahora, despejamos la x, pasando el log 5 al segundo miembro dividiendo:

ejercicios de ecuaciones exponenciales resueltos paso a paso

Y esta operación no queda más remedio que resolverla con la calculadora y queda:

ecuaciones exponenciales ejercicios resueltos paso a paso

Ecuación exponencial 3

ecuaciones exponenciales resueltas

Factorizamos el 243 y queda:

ejercicios resueltos de ecuaciones exponenciales

Ya tenemos la misma base, por lo que igualamos los exponentes:

como resolver ecuaciones exponenciales

En esta ocasión nos ha quedado una ecuación de primer grado muy sencilla para resolver, cuya solución es:

ecuacion exponencial

Ecuación exponencial 4

ecuaciones exponenciales ejemplos

Empezamos factorizando el 16 para que sólo tengamos una base:

ejercicios ecuaciones exponenciales

Al tener una potencia elevada a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes:

ecuacion exponencial ejercicios resueltos

Ahora, en el primer miembro tenemos una multiplicación de potencias con la misma base. Por tanto, se mantiene la base y se suman los exponentes:

ejercicios de ecuaciones exponenciales resueltos

Simplificamos el exponente agrupando términos:

ejemplos de ecuaciones exponenciales

Y ya podemos igualar los exponentes, que nos queda una ecuación de primer grado, que podemos resolver:

como se resuelve una ecuacion exponencial

funciones exponenciales ejercicios resueltos

Ecuación exponencial 5

ecuaciones exponenciales paso a paso

En primer lugar, factorizamos el 8:

resolver ecuaciones exponenciales

Igualamos exponentes. En esta ocasión nos queda una ecuación de segundo grado:

resolver ecuaciones exponenciales

Cuyas soluciones son:

ecuaciones con potencias ejercicios resueltos

Ecuación exponencial 6

pasos para resolver ecuaciones exponenciales

Este tipo de ecuaciones, en el que tenemos sumas de potencias, se resuelven realizando un cambio de variable. Vamos a ver cómo:

En primer lugar, cuando tenemos en el exponente una suma o una resta, es equivalente a la multiplicación de dos potencias con la misma base, cuyos exponentes se ha sumado o restado.

Por tanto, cada potencia la podemos poner como una multiplicación de potencias:

pasos para resolver una ecuacion exponencial

Ahora, los exponentes negativos los convertimos a positivos pasándolos al denominador:

ejercicios resueltos ecuaciones exponenciales

Y ahora resolvemos las potencias de los denominadores:

ejercicios exponenciales

Llegados a este punto, realizamos el siguiente cambio de variable:

ecuaciones con potencias

Y queda:

como resolver una ecuacion exponencial paso a paso

Ahora tenemos una ecuación de primer grado, donde la incógnita es t, que tenemos que resolver:

ecuacion exponencial ejercicios

resolucion de ecuaciones exponenciales

resolver ecuaciones exponenciales online

ecuaciones exponenciales resueltos

como resolver una ecuacion exponencial

Una vez hemos llegado a la solución de t, deshacemos el cambio de variable:

funciones exponenciales ejercicios resueltos paso a paso

funciones exponenciales ejercicios resueltos paso a paso

Y ahora debemos resolver esta ecuación logarítmica que es como la del primer ejemplo. Factorizamos el 2:

como se resuelven las ecuaciones exponenciales

Y igualamos exponentes:

ejercicios de exponenciales

Ecuación exponencial 7

exponenciales ejercicios

Este es otro caso en el que tendremos que realizar un cambio de variable.

Ya tenemos un 5 elevado a x en el segundo término y el primer término lo podemos arreglar para que también aparezca otro.

En primer lugar factorizamos el 25:

exponenciales ejercicios resueltos

Al tener una potencia elevada a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes, y también podemos intercambiar el orden de los exponentes, ya que no altera el resultado:

ejercicios de ecuacion exponencial

Por tanto ahora, en el primer término también aparece un 5 elevado a x:

ejercicios de funcion exponencial resueltos paso a paso

Llegados a este punto, realizamos el siguiente cambio de variable:

ecuacion exponencial ejemplos

Y queda:

ejercicios exponenciales resueltos

Nos ha quedado una ecuación de segundo grado completa, cuyas soluciones son:

ecuación exponencial

Por tanto, para cada una de estas soluciones, debemos deshacer el cambio.

Para la primera solución:

ecuaciones exponenciales explicacion paso a paso

No es posible indicar el 81 como potencias de 5, por lo que se resuelve tomando logaritmos en los dos miembros, igual que hemos hecho en el aparado de la “ecuación exponencial 2”:

ejemplo de ecuaciones exponenciales

ejercicios con ecuaciones exponenciales

ejercicio de ecuaciones exponenciales

ejercicios de funciones exponenciales resueltos

Esta es la primera solución de x.

Hacemos lo mismo con la segunda solución de t:

ecuaciones exponenciales ejemplos resueltos

ecuaciones exponenciales 4 eso

ejercicios resueltos de funciones exponenciales

como resolver funciones exponenciales

problemas resueltos de ecuaciones exponenciales

Y ya tenemos la segunda solución.

Si ademas de saber cómo se resuelven las ecuaciones exponenciales quieres aprender a resolver ecuaciones logarítmicas, te explico cómo hacerlo paso a paso en el Curso de Logaritmos.

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