Cómo resolver ecuaciones logarítmicas paso a paso. Ejercicios resueltos.

A continuación te voy a explicar cómo resolver ecuaciones logarítmicas paso a paso.

Para entender bien todos los pasos es importante que domines las propiedades de los logaritmos perfectamente. Además, también debes saber convertir un número en logaritmo. Ambas cosas te las explico paso a paso, con todo detalle en el Curso de Logaritmos.

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Cómo resolver las ecuaciones logarítmicas

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita aparece dentro del logaritmo, como por ejemplo:

Al estar la incógnita, dentro del logaritmo no es posible despejarla directamente.

Para poder resolver este tipo de ecuaciones, debemos dejar un sólo logaritmo en cada miembro de la ecuación. Además, cada logaritmo no puede estar multiplicado por ningún número.

Una vez tenemos un sólo logaritmo a ambos lados de la igualdad, podemos eliminar los logaritmos y poder así despejar la incógnita.

En el ejemplo anterior, ya tenemos un logaritmo en cada miembro, por lo que podemos eliminar los logaritmos y nos queda:

Que es una ecuación de primer grado, en la que podemos despejar la incógnita sin problemas:

Este ejemplo que acabamos de ver, es un ejemplo muy sencillo, pero lamentablemente, pocas veces te vas a encontrar ecuaciones logarítmicas tan simples.

Lo más normal es que te encuentres con ecuaciones donde tengas varios logaritmos en cada miembro, algunos multiplicados por algún número y además combinados con términos sin logaritmos (números o incógnitas).

Ahí es donde entran en juego la aplicación de las propiedades de los logaritmos, las cuales nos ayudarán a simplificar la ecuación para conseguir que nos quede un logaritmo en cada miembro y así poder eliminarlos.

Lo mejor para aprender a resolver ecuaciones logarítmicas es practicar y practicar. Así que vamos a ir resolviendo unas cuantas ecuaciones logarítmicas paso a paso.

Ejercicios resueltos de ecuaciones logarítmicas

Ejercicio 1:

No podemos eliminar los logaritmos porque en el segundo miembro tenemos un 2 multiplicando al logaritmo.

Gracias a la siguiente propiedad:

Podemos pasar el número que multiplica al logaritmo como exponente y nos queda:

Ahora ya podemos eliminar los logaritmos y despejar la x:

Ejercicio 2:

Tenemos una suma de dos logaritmos en el primer miembro y un número en el segundo miembro.

La suma de dos logaritmos la podemos simplificar en uno, gracias a la siguiente propiedad de los logaritmos:

El primer miembro nos quedaría:

Por otro lado, gracias a la propiedad 3, puedo convertir cualquier número en un logaritmo:

Para convertir el 2  a logaritmo, tengo que expresarlo como un logaritmo donde la base y el contenido sean iguales y que el contenido esté elevado a 2. Como tengo un logaritmo en base 10, el contenido del logaritmo será por tanto un 10 elevado a 2:

Después de aplicar estas dos propiedades, la ecuación queda:

Ahora ya podemos eliminar los logaritmos:

Y despejar la x:

En el Curso de Logaritmos, te explico paso a paso, al detalle qué es un logaritmo y cómo funciona su fórmula. Además te explico también cada una de sus propiedades más despacio y con ejemplos.

Ejercicio 3:

En esta ecuación, en primer lugar, el 2 que está multiplicando al primer logaritmo, lo pasamos como exponente. Por otro lado, el 2 lo convertimos a logaritmo, igual que en el ejemplo anterior:

Ahora, en el primer miembro, convertimos la resta de logaritmos en un único logaritmo aplicando la siguiente propiedad:

Y nos queda:

Ya tenemos un único logaritmo en cada miembro, por lo que los podemos eliminar:

Vamos a operar para poder resolver la ecaución que nos ha quedado. Pasamos el denominador al segundo miembro multiplicando

Eliminamos el paréntesis multiplicando:

Y pasamos todos los términos al primer miembro:

Nos ha quedado una ecuación de segundo grado, cuyas soluciones son:

Pero mucho cuidado, hay que comprobar en la ecuación original si las dos soluciones son válidas. Si alguna de estas dos soluciones hiciera algún logaritmo negativo, la solución no sería válida.

En este caso, ambas soluciones son válidas.

Ejercicio 4:

En el primer miembro tenemos una división de logaritmos. No hay ninguna propiedad que podamos aplicar para simplificar una división de logaritmos (no confundir con la propiedad 5)

Lo que podemos hacer es pasar el logaritmo del denominador al segundo miembro multiplicando al 2.

Y ahora el 2 lo pasamos como exponente del logaritmo:

En este caso, no conviene convertir el 2 en logaritmo, porque nos quedaría una multiplicación de logaritmos y tampoco tenemos una propiedad que podamos aplicar para simplificarlo.

Eliminamos logaritmos y queda:

Desarrollamos el producto notable del segundo miembro:

Pasamos todos los términos al primer miembro:

Y resolvemos, cuyas soluciones son:

Comprobamos si ambas soluciones son válidas, sustituyendo en la ecuación original. En este caso la segunda solución no es válida, ya que vuelve negativo al contenido del logaritmo del denominador y los logaritmos de un número negativo no existen:

Por tanto, la solución es:

Ejercicio 5:

En primer lugar, pasamos los números que tengamos multiplicando a los logaritmos como exponente y el 2 lo convertimos a logaritmo:

Ahora podría seguir varios caminos. Yo voy a pasar el primer logaritmo del segundo miembro restando al primer miembro, para tener dos logaritmos en cada miembro y poder aplicar las propiedades:

En el primer miembro aplico la propiedad de la suma de logaritmos y en el segundo miembro la propiedad de la resta:

Elimino logaritmos:

Simplifico:

Y despejo la x:

Cuyas soluciones son:

Pero el -20 no es solución ya que vuelve negativo al número del logaritmo, por lo que la solución de la ecuación es:

Ejercicio 6:

No siempre las ecuaciones logarítmicas van a ser con logaritmos en base 10. En este caso, es con logaritmos en base 2, pero la forma de resolverlos es exactamente la misma.

Pasamos el 2 que está multiplicando al primer logaritmo como exponente y convertimos el 3 a un logaritmo. Date cuenta que ahora, como tenemos logaritmos en base 2, el 3 será un logaritmo en base 2, de 2 elevado a 3 (mismo base del logaritmo y número del logaritmo y el 3 es el exponente):

Aplicamos la propiedad de la resta de logaritmos en el primer miembro:

Y eliminamos logaritmos:

Pasamos la x del denominador multiplicando al segundo miembro:

Desarrollamos al producto notable:

Pasamos todos los términos al primer miembro y resolvemos:

Cuyas soluciones son:

Ambas válidas, ya que no convierten el contenido de ningún logaritmo negativo.

Ejercicio 7:

Por último, vamos a resolver un sistema de dos ecuaciones logarítmicas con dos incógnitas.

Vamos a despejar al x de la primera ecuación:

Aplicamos la propiedad de la suma de logaritmos en el primer miembro y el 3 del segundo miembro lo convertimos a logaritmo:

Eliminamos logaritmos:

Y despejamos la x:

Ahora vamos a despejar también la x en la segunda ecuación:

Aplicamos la propiedad de la resta de logaritmos en el primer miembro y el 10 del segundo miembro lo convertimos a logaritmo:

Eliminamos logaritmos:

Y despejamos la x:

Igualamos ambas expresiones en las que despejamos las x:

Y en esta expresión que nos queda, despejamos la y:

Cuyas soluciones son:

La segunda solución no es válida, por lo que la descartamos.

La primera solución de y, la sustituimos en cualquiera de las expresiones en las que despejamos la x, por ejemplo en la segunda expresión:

Sustituimos la y por un 10 y queda:

Por lo que la solución del sistema es:

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